利用構(gòu)造方程求解解析幾何問題

張志奎

我們在談求解析幾何問題時，如能敏稅地捕捉信息，聯(lián)想方程原理，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助方程，則使求解簡捷速成，且有助于培養(yǎng)學(xué)生的形象思維和創(chuàng)造能力.首先強調(diào)一點，構(gòu)造就是要“無中生有”.

一、構(gòu)造輔助虛圓解題（即把“點”看成是半徑為零的圓解題）

例1求與圓（x-1）2+（y+1）2=4相切于（-1，1），且通過點P（-2，1）的圓的方程.

解把切點（-1，1）看作是半徑為零的圓（虛圓）：（x+1）2+（y-1）2=0，則所求圓屬于圓系：（x-1）2+（y+1）2-4+λ[（x+1）2+（y-1）2]=0②.

由點P（-2，1）在所求圓上，

將P點坐標(biāo)代入②得λ=-95.

從而可得所求圓的方程為（x+72）2+（y+1）2=254.

二、構(gòu)造輔助圓解題

例2過圓外一點P（a，b）作圓x2+y2=r2的兩條切線，切點分別為M、N.證明：直線MN的方程為ax+by=r2.

證明點M、N的已知圓上，又在以O(shè)P為直徑的圓上，

所以以O(shè)P為直徑的圓的方程為

（x-12a）2+（y-12b）2=14（a2+b2），

即x2+y2-ax-by=0.（1）

又圓O的方程是x2+y2-r2=0，（2）

（1）-（2），整理得ax+by=r2，此為過兩切點M、N的直線方程.

三、構(gòu)造輔助拋物線解題

例3求拋物線y=18x2中，以P（1，2）為中點的弦所在直線的方程.

解設(shè)所求弦的一個端點為A（x，y），則由中點公式得另一個端點為B（2-x，4-y）.由A、B在拋物線上，有

y=18x2，（1）

（4-y）=18（2-x）2.（2）

由（1）-（2）得x-4y+7=0，此為所求直線方程.

四、構(gòu)造輔助橢圓解題

例4過點A（2，1）引直線與橢圓x216+y29=1相交于P、Q兩點，若點A恰好是線段PQ的中點，求直線PQ的方程.

解設(shè)P（x，y），則Q（4-x，2-y）.

因為點P、Q在橢圓上，

所以x216+y29=1，（1）

（4-x）216+（2-y）29=1.（2）

（1）-（2），整理得9x+8y-26=0，此為所求直線PQ的方程.

五、構(gòu)造二元一次方程解題

例5已知直線a1x+b1y+8=0與直線a2x+b2y+8=0相交于點（3，-2），求過兩點（a1，b1）（a2，b2）的直線方程.

解因為（3，-2）為直線a1x+b1y+8=0與直線a2x+b2y+8=0的公共點，

所以3a1-2b1+8=0，

3a2-2b2+8=0，

構(gòu)建二元一次方程3x-2y+8=0，由上式知點（a1，b1）、（a2，b2）的坐標(biāo)適合此方程.由“兩點定線”原理知方程表示的直線3x-2y+8=0過（a1，b1）（a2，b2）兩點.故所求直線方程為3x-2y+8=0.

六、構(gòu)造直角三角形（利用垂直）解題

例6過點A（4，0）的直線與圓x2+y2=4相交于B、C兩點，求弦BC的中點M的軌跡.

解連OM，根據(jù)圓的垂徑性質(zhì)性質(zhì)，可知OM⊥MA.所以點M的軌跡是以|OA|為直徑的圓（x-2）2+y2=4，位于圓x2+y2=4內(nèi)的一段弧.

由此可見，構(gòu)造輔助方程，并利用方程的相關(guān)知識來解題，解答過程極具想象力和創(chuàng)造力.其實有的時候不怕做不到，只怕想不到.只要我們多觀察、多思索、多探索，數(shù)學(xué)解題就會變得充滿活力與樂趣.

著名的教育家波利亞說過：“當(dāng)原問題看來不可解時，人類的高明之處就在于會迂回繞過不能直接克服的障礙，就在于能想出某個適當(dāng)?shù)妮o助問題.”可見，利用構(gòu)造法解題是數(shù)學(xué)常用的方法，也常能出奇制勝，起到化難為易、簡化解題的作用.