例談?wù)w代換思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張結(jié)軍

絕大多數(shù)高中生在解決數(shù)學(xué)問題時，缺乏一種全局觀念，對整體代換思想的理解和使用存在缺陷.而整體代換思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的作用，是解決三角函數(shù)、代數(shù)、數(shù)列等知識的有效工具.對此，我們必須在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，聯(lián)系實際案例，強(qiáng)化對學(xué)生整體代換思想的教學(xué).

整體代換思想是指將問題或者是問題的一部分看成一個整體，或者將一些相關(guān)量視作整體研究，從整體入手，簡化求解過程.下面我將結(jié)合教學(xué)實踐，分析整體代換思想在解題中的幾例應(yīng)用.

一、三角函數(shù)的整體代換

例1已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ） （x∈R，ω>0，0<φ<π2）的部分圖象如圖1所示，試求：（1）函數(shù)f（x）的解析式；（2）求函數(shù)g（x）=f（x-π12）-f（x+π12）的單調(diào)增區(qū)間.

解析從問題上不難看出，本題主要考查的是學(xué)生對三角函數(shù)的概念及對其單調(diào)區(qū)間的求法.由該函數(shù)圖形，容易得到它的周期為π，故ω=2πT=2；再由圖形的已知點元素為（5π12，0）與（0，1），可以繼續(xù)求出φ=π6、A=2，得到函數(shù)f（x）=2sin（2x+π6）.將函數(shù)f（x）的表達(dá)式代入g（x）中，可以得到g（x）=2sin（2x-π3）.欲求解g（x）的單調(diào)增區(qū)間，可以利用整體代換，令t=2x-π3，原題則變成了求解y=sint的單調(diào)增區(qū)間，大大簡化了求解過程.由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t∈[-π2+2kπ，π2+2kπ]（k∈Z）時，即是函數(shù)y=sint的單調(diào)增區(qū)間.因此，當(dāng)2x-π3∈[-π2+2kπ，π2+2kπ]時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增.化簡整理后可以得到函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-π12，kπ+5π2]，k∈Z.

點評在求解正弦三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ） （A>0，ω>0）的單調(diào)區(qū)間時，只需要利用元素t將函數(shù)中的ωx+φ整體代換即可，然后再利用基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.在碰到余弦函數(shù)時，可以先使用誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再繼續(xù)進(jìn)行求解.

二、數(shù)列的整體代換

例2已知數(shù)列{an}中，a1=32，a2=2，同時有Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0 （n≥2），請問{an-1} （n∈N*）是等比數(shù)列嗎？試證明.

解析拿到此類題目，很多學(xué)生的第一反應(yīng)就是利用數(shù)列的前n項和公式進(jìn)行求.由于求和公式的復(fù)雜性，很多時候會給學(xué)生的證明與求解帶來障礙.對此，我們不妨引導(dǎo)學(xué)生利用已知式來變換關(guān)系，采用整體代換進(jìn)行簡化求解.

由Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0 （n≥2），

可得（Sn+1-Sn）-2（Sn-Sn-1）+1=0.

此時，由Sn+1-Sn=an+1與Sn-Sn-1=an可進(jìn)行表達(dá)式的簡化，即可得an+1-2an+1=0.當(dāng)看到以上的表達(dá)式時，學(xué)生們很容易聯(lián)想到代數(shù)式的簡化運算，繼續(xù)使用整體代換思想，得到an+1-1=2（an-1），即是an+1-1an-1=2 （n≥2）.

同時，當(dāng)n=1時，也存在關(guān)系式a2-1a1-1=2.

至此，可以看出數(shù)列{an-1}是以12為首項，2為公比的等比數(shù)列，即{an-1} （n∈N*）是等比數(shù)列，得證.

點評在數(shù)列知識的常見問題中，對通項公式求解、等差等比證明與求和公式的求解，切勿盲目利用數(shù)列求解的公式進(jìn)行展開.在求解前必須仔細(xì)閱讀審題，將已知條件整體代換到數(shù)列的遞推公式中進(jìn)行求解.

三、代數(shù)式的整體代換

例3設(shè)x、y為實數(shù)，已知4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是多少？

解法一欲求代數(shù)式2x+y的最值，我們不妨直接用t=2x+y進(jìn)行整體代換，則可知y=t-2x.將上式代入表達(dá)式4x2+y2+xy=1中，可以得到6x2-3tx+t2-1=0.此時，可以將其視作關(guān)于x的一元二次方程，要想該一元二次方程有實根，即要使Δ>0即可.利用一元二次方程有實根可得

Δ=3t2-4×6×（t2-1）≥0，

求得-2510≤t≤2510.

故由t的取值范圍可以得到代數(shù)式2x+y的最大值為2510.

解法二對代數(shù)式4x2+y2+xy=1進(jìn)行移項轉(zhuǎn)化，

可得（2x+y）2-1=3xy.

此時，可以利用基本不等式性質(zhì)進(jìn)行整體代換，

即（2x+y）2=4x2+y2+4xy≥4|xy|+4xy≥8xy.

故（2x+y）2-1=3xy≤38（2x+y）2，

移項后可得58（2x+y）2≤1，

即可得到2x+y的最大值為2510.

點評（解法一）通過整體代換思想的使用，學(xué)生們避免了復(fù)雜的計算分析過程，實現(xiàn)了解題的高效性.（解法二）分別將元素xy與2x+y視為整體，通過基本不等式的運用，也同樣實現(xiàn)了代數(shù)式最值的求解.

總之，整體代換思想是高中數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一.作為高中數(shù)學(xué)教師，我們必須積極拓寬整體代換思想的使用，幫助學(xué)生從整體上認(rèn)識數(shù)學(xué)知識.