例說極限思想在數(shù)學(xué)解題中的妙用

張鋒道

極限思想是高中數(shù)學(xué)中的一種重要數(shù)學(xué)思想，在解題中切不可忽視其應(yīng)用.對于某些數(shù)學(xué)問題，若能靈活運用極限思想，從其極端情形入手，就可以避開一些抽象復(fù)雜的運算，降低解題的難度，還可以優(yōu)化解題的思路，收到事半功倍的效果.下面舉例說明，極限思想在解題中的妙用.

一、妙用極限思想求解數(shù)量變化范圍

例1若α∈[π6，π2），則直線2xcosα+3y+1=0的傾斜角的取值范圍是

A.[π6，π2）B.[5π6，π）C.（0，π6]D.（π2，5π6]

解析因為斜率k=-23cosα，又α∈[π6，π2），所以當(dāng)α→π2時，cosα→0，k→0（從負值趨于零），所以傾斜角→π，因此選B.

一、妙用極限思想求解估算問題

例1如圖1三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為a，且側(cè)面A1B1BA⊥底面A1B1C1，P為棱B1B上一動點（不與點B1、B重合），則直線C1P與平面A1B1BA所成角的范圍是

A.（0，π6）B.（π6，π3）

C.（π6，π4）D.（π4，π2）

解析用極限估算.取A1B1中點D，連C1D，則∠C1PD為直線C1P與平面A1B1BA所成角.因為C1D為常數(shù)，所以只要確定PD的變化范圍.

當(dāng)P→B1時，

∠C1PD→∠C1B1D=π3，且∠C1PD<∠CB1D=π3.

當(dāng)P→B時，則∠C1PD→∠C1BD，且∠C1PD>∠C1BD.

而在Rt△CBD中，∠C1DB=90°，

C1D=32a，BD=52a，

tan∠CBD=C1DBD=35>33=tanπ6，

即∠C1BD>π6.所以π6<∠C1PD<π3，故選B.

二、妙用極限思想求解探索性問題

例2已知數(shù)列{an}中，a1=1，且對于任意正整數(shù)n，總有an+1=anan-2，是否存在實數(shù)a，b，使得an=a-b（-23）n對于任意正整數(shù)n恒成立？若存在，給出證明；若不存在，說明理由.

解析如果存在實數(shù)a，b滿足題設(shè)要求，

則由an=a-b（-23）n，可得limn→∞an=a.

對an+1=anan-2兩邊取極限，得a=aa-2，

所以a=0或a=3.

若a=0，則數(shù)列{an}是以1為首項，公比為-23的等比數(shù)列，顯然，不可能對于任意正整數(shù)n都滿足an+1=anan-2；

若a=3，將a1=1代入an=a-b（-23）n，可得b=-3，

此時，an=3+3×（-23）n，所以a2=133，這與a2=-1矛盾.所以滿足題設(shè)條件的實數(shù)a，b不存在.

三、妙用極限思想求解曲線方程

例3求離心率e=25，過（1，0）點且與直線l：2x-y+3=0相切于點P（-23，53），長軸平行于y軸的橢圓方程.

解析按常規(guī)，設(shè)橢圓中心為（x0，y0），可得橢圓的方程，再列出過已知點P的切線方程，聯(lián)立消參可求得橢圓方程.但按極限思想，將點P視為橢圓的極限情形，可利用曲線系方程求解.

已知e=25，則a2=5b2.把點P（-23，53）看作長軸平行于y軸且離心率e=25的橢圓系

（x+23）2+15（y-53）2=k，

當(dāng)k→0時的極限情形（點橢圓）.

則與直線l：2x-y+3=0相切于該點的橢圓系，即為過直線l與“點橢圓”的公共點的橢圓系方程

（x+23）2+15（y-53）2+λ（2x-y+3）=0.

又因為所求橢圓過（1，0）點，代入求得λ=-23.

因此所求橢圓方程為x2+y25=1.

四、妙用極限思想畫出函數(shù)圖象

例4已知f（x）=xx2+1，試畫出圖象，并結(jié)合圖象指出其值域.

解析先研究其奇偶性與單調(diào)性，再畫出圖象.

因為f（x）=xx2+1，所以定義域為R且為奇函數(shù)，

又f ′（x）=1-x2x2+1，所以f（x）在（-∞，-1]上遞減，[-1，1]上遞增，[1，+∞）上遞減，且有極小值f（-1）=-12，極大值f（1）=12，畫圖時很可能畫成圖2而出錯，得出值域為R，它是很好的滿足了單調(diào)性與奇偶性，但還不夠，圖象有問題.

問題在哪兒呢？

因為limx→-∞f（x）=0（即x<0，f（x）<0），

limx→+∞f（x）=0（即x>0，f（x）>0），

所以圖形應(yīng)該為圖3，x軸變成了漸近線.

所以值域為[-12，12].

總之，恰當(dāng)運用極限思想，抓住問題的極端情形解題，不僅使復(fù)雜問題的解決簡單化，而且也有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維及探究能力.