追溯數(shù)學(xué)本質(zhì)促進(jìn)深度理解

張莉

筆者一直在思考：什么是理解？什么是數(shù)學(xué)理解？怎樣才算是真正地理解？理解帶來的終極目標(biāo)是什么？

實(shí)際上，要真正做到理解并不容易，首先要花費(fèi)精力讓事物本身的內(nèi)容顯露出來，其次要尊重事物原來的特點(diǎn)，合乎事物本來的道理。運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，則是指學(xué)生在經(jīng)歷知識形成的過程中，會操作、會辨別、會用自己的語言來描述，會應(yīng)用所學(xué)的知識來解決生活中的實(shí)際問題。即經(jīng)歷數(shù)學(xué)體驗(yàn)，追溯數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)深度理解，推動創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

本文以北師大版一下第一單元“買鉛筆”為例，從課堂教學(xué)過程、學(xué)生分享交流和課后實(shí)踐應(yīng)用這三個(gè)方面來論述促進(jìn)學(xué)生深度理解的幾點(diǎn)嘗試。

一、教學(xué)中挖掘?qū)W生的思維深度

課堂上，首先展示具體情境：熊貓商店里有15支鉛筆，兔妹妹購買了9支。隨后提出數(shù)學(xué)問題：還剩下多少支鉛筆？結(jié)合已學(xué)知識，學(xué)生迅速列出了算式：15-9，并直接報(bào)出了結(jié)果6。面對學(xué)生已經(jīng)知道15-9的計(jì)算結(jié)果，并且大多數(shù)學(xué)生都會進(jìn)行計(jì)算的現(xiàn)實(shí)情況，筆者思考：他們計(jì)算正確的原因是什么？他們計(jì)算的方法是怎樣的？他們理解為什么這樣算嗎？既然有計(jì)算器輔助生活，他們有理解20以內(nèi)退位減法算理的必要嗎？

一般情況下，面對教學(xué)中學(xué)生都會的現(xiàn)實(shí)，緣于對計(jì)算算理的追問，教師們可能會進(jìn)行以下處理：①表揚(yáng)會算的學(xué)生，再出示同類計(jì)算題進(jìn)行訓(xùn)練；②請學(xué)生描述自己的思考方法；③了解學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，溝通各算法間的聯(lián)系。選擇①說明對數(shù)學(xué)的運(yùn)算教學(xué)停留在粗淺的會計(jì)算階段，學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)也將一直停留在知道和了解的初級層面。選擇②則說明教師的課堂已轉(zhuǎn)向幫助學(xué)生經(jīng)歷過程，理解算理的較深層次。而選擇③，就意味著對知識的理性分析與判斷，透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的聯(lián)系，激起深度思考。如果能讓學(xué)生經(jīng)歷操作的過程，通過實(shí)物邊擺邊講，清楚陳述自己的思考與發(fā)現(xiàn)，再抽象出其原型，理清一類運(yùn)算的基本方法，溝通知識間前后的聯(lián)系，比較不同方法之中的相同之處，就可以追溯數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

筆者在課堂中是這樣處理的。筆者：“你們真了不起，一眼就知道答案了。誰愿意把你的思考和大家分享呢？”生：“我知道9+6=15，所以15-9=6?！鄙骸拔視?5-5=10，所以15-6=9，15-7=8，15-8=7，15-9=6?！鄙骸跋扔?5中的10-9=1，再用1+5=6。”生：“15先減10，再加1?！薄?/p>

當(dāng)學(xué)生斷斷續(xù)續(xù)出現(xiàn)了這么多不同的思維方式時(shí)，除了感慨學(xué)生思維的多樣化，筆者依然花大力氣讓學(xué)生拿出小棒，通過擺一擺、畫一畫的形式再次感悟了這樣計(jì)算的動態(tài)思維過程，并通過課件的動態(tài)展示，又一次經(jīng)歷了小棒從1捆拆開的過程，真正實(shí)現(xiàn)了算法與算理的融合?？墒钦n后反思交流中，也有教師質(zhì)疑：我們需要傾聽學(xué)生這么多的算法嗎？學(xué)生會說了，還有動手拼擺的必要嗎？有沒有必要小結(jié)并提出最優(yōu)化的計(jì)算策略呢？

站在知識教學(xué)的角度，我們已圓滿地完成了“十幾減9的退位減法”教學(xué)，靜下來再思考，我們的教學(xué)真正實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的深層發(fā)展了嗎？學(xué)生收獲的數(shù)學(xué)思想方法是什么？學(xué)生學(xué)會退位減法計(jì)算的終極目標(biāo)是什么？反思這些，再回歸課堂，于是便有了對“十幾減9”這節(jié)退位減法課進(jìn)一步的思考：學(xué)生想到的這些算法中，哪些有必要重點(diǎn)經(jīng)歷思維過程，理解算理？這些算法有什么共同點(diǎn)？學(xué)生在什么樣的背景下才想到這些不同的算法？學(xué)生現(xiàn)在思考的這種算法，他在今后的學(xué)習(xí)生活中會常用嗎？他喜歡自己的這種算法嗎？這些算法的理解對學(xué)生今后的發(fā)展有什么影響？追溯本源，學(xué)生呈現(xiàn)的不同的思維方式，是每個(gè)學(xué)生在自己已有知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，大腦不斷進(jìn)行想象與重組后對這個(gè)算式的理解。種種不同的思維方法，有些窮其一生也可能不會再用到，但其中學(xué)生們個(gè)體的分析與交流，從他們經(jīng)歷的分析推理中都真實(shí)再現(xiàn)了每個(gè)學(xué)生站在自己個(gè)體的角度對運(yùn)算的深層理解。這其實(shí)就是創(chuàng)造性思維發(fā)展的一個(gè)源頭。

二、分享中拓展學(xué)生思維寬度

我們常說，知道了就是了解了；會說了便是懂了；懂了即是理解了。語言是思維的外衣，正確的數(shù)學(xué)語言能更準(zhǔn)確、清晰地反映一個(gè)人的思維過程，當(dāng)我們在數(shù)學(xué)知識的研究領(lǐng)域里，能夠用自己的語言清楚、流暢地表達(dá)自己的思維過程，展示思維能力的發(fā)展水平時(shí)，也可以說，我們真正實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)理解，而學(xué)生則在理解的基礎(chǔ)上拓寬了自己的思維。

在教學(xué)“15-9”的過程中，當(dāng)教師問道：“誰愿意和大家分享一下自己的思考過程。生：“15根小棒可以捆成1捆和散著的5根，先用左邊的1捆即10根減去9根后還剩下1根，再將這1根與旁邊的5根合在一起就是6根，即將減法15-9轉(zhuǎn)化為1+5進(jìn)行計(jì)算。”生：“我是先拿走旁邊散著的5根，再從1捆中拿走4根，即將15-9寫成15-5-4=6?！鄙骸拔铱梢韵冉鑱?根，原來有15根，就變成了19根，19-9=10，可是先借來的4根要還回去，所以再用10-4=6，你們明白了嗎？”……

學(xué)生知道這個(gè)結(jié)果容易，聽懂別人的方法也不太費(fèi)事，但是將自己的思維過程用別人能懂的語言完整地組織并描述出來，卻是有一定難度。能夠這樣清晰地表達(dá)必須經(jīng)歷幾個(gè)過程：①經(jīng)歷實(shí)際操作的過程；②在腦海中將具象與經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重組；③大腦對組合的事實(shí)進(jìn)行深入分析；④學(xué)生經(jīng)驗(yàn)連接語言組織進(jìn)行理性判斷；⑤驗(yàn)證思考。這一系列的動態(tài)分析過程，靠眼睛是觀察不到的，必須是大腦內(nèi)部的瞬間重組。而語言的表達(dá)則將思考的過程外顯出來，讓我們可見、可感、可知。同時(shí)，大腦這一分析的過程，通過學(xué)生的講解與陳述，凸顯了思維的變化：即懂、了解的基礎(chǔ)，到理清，再到理解的全過程。其中，滲透著學(xué)生個(gè)人的理解與創(chuàng)造，拓寬了學(xué)生思維，為后面學(xué)習(xí)減法的性質(zhì)進(jìn)行簡便運(yùn)算埋下伏筆。

三、應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的深度理解

深度理解知識蘊(yùn)含的其中一個(gè)意義便是能在生活中靈活應(yīng)用所學(xué)知識來解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)即應(yīng)用，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界是應(yīng)用，應(yīng)用意識與創(chuàng)造能力是密不可分的。因此，學(xué)會基本的數(shù)學(xué)知識，掌握必備的數(shù)學(xué)技能，潛意識里調(diào)動腦海中的數(shù)學(xué)信息靈活解決問題，并在生活中游刃有余，那便是真正理解了。

計(jì)算是生活的必備技能。生活中每天都會伴隨著運(yùn)算：購物的策略比較，旅行費(fèi)用的設(shè)計(jì)與比較，家庭各種支出與收入的計(jì)算，工資的合理安排，房屋的裝修設(shè)計(jì)等，無一不滲透著數(shù)學(xué)在生活中的價(jià)值。而對數(shù)據(jù)的分析與比較，對最優(yōu)化選擇的推理與思考，時(shí)時(shí)處處應(yīng)用著數(shù)學(xué)知識靈活解決數(shù)學(xué)問題，推動著我們對數(shù)學(xué)本質(zhì)意義的深層理解，彰顯著數(shù)學(xué)理解中信息處理、邏輯思維推理分析的強(qiáng)大魅力。

（作者單位：湖北省宜昌市西陵區(qū)外國語實(shí)驗(yàn)小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）