數(shù)學理解及其教學實施路徑

孔凡哲

【編者按】什么是數(shù)學理解？《義務教育數(shù)學課程標準（2011）》中有這么一段話：數(shù)學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數(shù)學知識之間的關聯(lián)。學生掌握數(shù)學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化。可以看出“理解”二字在小學數(shù)學教學中的重要地位。那么，如何在教學中實現(xiàn)“數(shù)學理解”？本期話題圍繞“深化數(shù)學理解，激發(fā)學習動力”展開。

如眾所知，判斷數(shù)學學習成功與否的重要標志之一，就是學生是否獲得數(shù)學理解。究竟什么是數(shù)學理解？如何幫助學生獲得數(shù)學理解？本文結合小學數(shù)學課程與教學的實際，闡述數(shù)學理解及其教學實施路徑。

一、何謂數(shù)學理解

“數(shù)學理解”其實是一個很難準確下定義的概念——盡管數(shù)學定義要求準確無誤。通俗地講，如果一位學生已經(jīng)獲得了“數(shù)學理解”，就意味著這位學生能夠用自己的故事表達相應的數(shù)學內涵，對其中本質內涵的反映準確無誤。也意味著，在這次數(shù)學學習中，學生對于活動中所包含的數(shù)學本質內涵已經(jīng)“內化”。按照認知心理學的觀點，獲得數(shù)學理解意味著數(shù)學本質內涵已經(jīng)融化在學生原有的數(shù)學認知結構之中，并形成相應的數(shù)學觀念。

綜上，針對“數(shù)學理解”，我們認為，如下三個要點極為重要。

1. 在數(shù)學學習中，“理解”不等于“會背定義”。在中小學數(shù)學中，無論是解釋性的定義，還是相對嚴格的定義，其核心都在于數(shù)學概念的本質內涵，即使學生準確無誤地背出定義，也未必真正理解其中的本質內涵。

2. “數(shù)學理解”具有典型的數(shù)學學科韻味（或稱之為數(shù)學學科特征）。亦即，數(shù)學理解雖然具有個體特征，但其要害在于，這種理解具有典型的數(shù)學學科特征。舉例來說，“某個自然數(shù)能夠拆成兩個相同的自然數(shù)之和”就是“理解”偶數(shù)所必需的數(shù)學特征，至于學生采用什么樣的語言、什么樣的方式，都是次要的。

3. 數(shù)學理解是個體對于數(shù)學學習內容所包含的數(shù)學內涵的自我構建，進而形成具有個人意義的典型標志。對學生而言，數(shù)學理解的本質在于，學生已經(jīng)用原有的數(shù)學認知結構的相應觀念（或替代物，或相應素材）詮釋新知，構建了新知與已知之間的自然聯(lián)系，而每個學生的數(shù)學認知結構都具有典型的個性特征，這種特性在“產生數(shù)學理解”的數(shù)學認知結構中的相應成分（相應部件）上表現(xiàn)得尤為充分。

二、數(shù)學理解的若干特征

與一般的“理解”相比，“數(shù)學理解”更復雜、更富有數(shù)學特征。

1. 獲得數(shù)學理解意味著，學生已經(jīng)把握了相應數(shù)學內容背后的數(shù)學學科特征。

2. 獲得數(shù)學理解必然是學生對直接經(jīng)驗和間接經(jīng)驗的親身加工所致，其中的核心在于學科思維活動。對學生而言，獲得了數(shù)學理解意味著，他一定經(jīng)歷了概念抽象，或者法則概括或者其他新知構建的過程，而這個構建過程恰恰是學生對于原有的經(jīng)驗素材和剛剛獲得的素材的加工整合所致，這種加工整合的本質內涵屬于數(shù)學學科思維活動。

3. 獲得數(shù)學理解的一個重要標志是，學生能講述自己的“故事”，而這個“故事”恰恰能體現(xiàn)相應數(shù)學內容的學科本質特征。

三、幫助學生獲得數(shù)學理解的教學實施路徑

正如弗賴登塔爾所言：“與其說學數(shù)學，倒不如說學會數(shù)學化?！睂W生的數(shù)學學習本質上就是實現(xiàn)數(shù)學化，而幫助學生獲得數(shù)學理解正是走向數(shù)學化的必經(jīng)之路。

在小學數(shù)學日常教學中，幫助學生獲得數(shù)學理解，不僅需要課程教材的設計者精心設計課程內容及其恰當?shù)某尸F(xiàn)形式，更需要教師精心設計、組織小學數(shù)學課堂教學過程，充分喚醒學生已有的數(shù)學活動經(jīng)驗和相關的生活經(jīng)驗，使學生在輕松愉悅中主動建構自己對于新知的理解，進而獲得理解性掌握。

1. 幫助學生親身經(jīng)歷數(shù)學概念的抽象過程、數(shù)學法則規(guī)律的概括過程，以及數(shù)學模型的構建歷程，是獲得數(shù)學理解必不可少的重要環(huán)節(jié)。

【教學案例】“破損的椅子”與角

在進行“認識角”的教學中，有教師采取這樣的情境導入。

用動畫展示聰明貓做開車旅行前的準備工作情境。聰明貓需要調試駕駛員的椅背（動畫呈現(xiàn)椅背三種狀態(tài)：銳角、鈍角和直角），同時用畫外音表達“只有（直角的）這種狀態(tài)開車才方便”（而這一點恰恰是多數(shù)學生生活經(jīng)驗所熟知的）。同時，課件設計時特意將駕駛室的椅背的旋鈕漏出來，突出一個頂點、兩條邊，即“一個地方是尖尖的，兩邊是直直的”。而后將聰明貓一路見到的生活中的各種形狀的“角”凸顯出來、抽象出來，初步認識角的概念和本質特征。教師對于聰明貓所見到各個相關圖片（其中都包含“角”）都進行教學加工（比如，椅背的旋鈕露出來了，而生活中是看不見的），其目的在于幫助學生更好地從生活情境中抽象出數(shù)學中的角。

這種課堂教學設計，其根本用意在于，喚醒學生已有的生活經(jīng)驗，利用學生喜愛的聰明貓開車旅行的背景，將“角的概念與角的關鍵特征”融在有趣的情境之中，具有幫助學生自我建構的明顯傾向，即從找角，到歸納角的特征（一個地方是尖尖，兩邊是直直的）。設計者堅信：“學生學角不是為了記住角的概念，而是讓學生經(jīng)歷從生活中大量的素材抽象出數(shù)學中的角的過程?！弊寣W生經(jīng)歷這種抽象過程，對人的大腦確實是一次激發(fā)——不只是讓學生記住某個概念，而是在獲得數(shù)學理解過程之中，通過各種活動將學生的潛質激發(fā)出來，進而獲得終生受用的智慧和素養(yǎng)。

2. 幫助學生自我建構，實現(xiàn)樂學、能學、會學，是數(shù)學理解教學的利器。

正是由于數(shù)學理解需要學習者有效利用已知，主動構建對于新知的理解，獲得數(shù)學理解、形成新知，從而樂學、能學、會學，所以成為數(shù)學理解教學的利器。

（1）樂學的中心工作在于激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣，充分利用數(shù)學有趣、數(shù)學好玩，喚醒學生主動學習的原動力，解決學習動機問題。為此，激發(fā)學生參與數(shù)學學習的主動性，喚醒學生享受數(shù)學學習快樂的主動意識，是教師解決學生樂學所必備的工作。

（2）能學包含學習能力和學習毅力兩個方面，前者包括具備學習的能力，包括閱讀能力、理解能力、語言對話交流能力、正確的書寫能力，以及獲取新知的基本能力。后者特指具備數(shù)學學習的毅力。其實，數(shù)學學習必須具備一定的毅力，要能夠堅持下來。畢竟數(shù)學是思維科學，既需要大膽的猜測猜想，也需要謹慎的分析論證（包括縝密的計算、推理過程）。

（3）會學是指掌握小學數(shù)學學習的基本策略方法。諸如，如何閱讀數(shù)學教科書，如何思考數(shù)學問題，如何動手動腦在做中學數(shù)學，如何主動參與課堂教學，如何總結每節(jié)課的要點、每周的數(shù)學學習要點、每單元的數(shù)學學習要點，如何避免“丟三落四”、毛毛糙糙等不良現(xiàn)象。

3. 抽象和類化，都是獲得數(shù)學理解不可缺少的教學渠道。

正如前文提及的，數(shù)學理解的一個重要特征就是具有數(shù)學學科內涵，而抽象、推理、模型恰恰是數(shù)學的基本思想，構成義務教育階段數(shù)學的核心思想。對于小學數(shù)學而言，抽象及其逆向過程（即類化）占據(jù)更大的比例成分，畢竟小學數(shù)學是數(shù)學科學的起始和基礎，為數(shù)甚多的小學數(shù)學概念其實是現(xiàn)代數(shù)學許多分支的原始概念或起始概念。

例如，以“圓”的概念為例，在認識到圓在現(xiàn)實生活中的普遍存在性后，教師設計“如何用一張紙撕出一個近似的圓紙片”活動，幫助學生先思考再動手做，在撕出一個近似的圓紙片后再重演“撕的過程”，分析對折的目的及其效果，才能幫助學生一邊做一邊感悟圓的概念，進而實現(xiàn)“圓”概念的抽象過程。只有幫助學生親身經(jīng)歷數(shù)學概念的抽象過程，才能幫助學生獲得數(shù)學理解，理解抽象思想，形成初步的數(shù)學抽象能力。

4. 恰當?shù)乩脦缀沃庇^、學生的操作活動與合作分享等，可以有效增加學生對新知的理解程度。

對于小學數(shù)學教學而言，幾何直觀必不可少。例如，對于理解“數(shù)位”的概念，最有效的途徑就是利用現(xiàn)實素材。以“27+4”的教學為例，教師呈現(xiàn)“準備請客人到家吃飯的情境”——老師計劃用“西紅柿炒雞蛋”招待客人，而家里的冰箱里僅有4個雞蛋，老師從超市里剛剛買來1箱雞蛋（共3層，每層都有用紙漿做成的10個窩，每個窩放1個雞蛋，一共30個），打開后發(fā)現(xiàn)破損了3個，僅僅剩下27個（教師將雞蛋帶到課堂教學現(xiàn)場，只不過將雞蛋做了特殊處理，用針管將蛋清蛋黃抽出來，僅剩下了蛋殼）。教師馬上提出：“現(xiàn)在的雞蛋數(shù)量一共多少個？”

課堂教學中的學生親自操作表明，學生很自然地將4個雞蛋中的3個補到3個空缺中，湊成完整的三層，而剩下1個雞蛋，一共31個。幾乎所有的學生憑著自然的感覺認為，必須湊成整屜整屜的，也就是說“10個雞蛋一屜”是現(xiàn)實生活中真實存在的，更是學生所認同的，用它來作為實物直觀實施十進制的教學是智慧的、成功的。

5. 在教學過程中，教師創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境，搭建學生認知的最近發(fā)展域，將新知融于學生原有經(jīng)驗組成的情境素材中，進而進行抽象、推理、建模，這是獲得數(shù)學理解不可缺少的重要的教學環(huán)節(jié)。

例如，“感受可能性”是小學數(shù)學教學的難點，即使是小學數(shù)學教師，有時也會遭遇困難。在教學中，搭建學生的認知腳手架，可采用如下方式。

教師首先出示一枚硬幣，提出“你覺得連續(xù)擲10次，會出現(xiàn)幾次正面”問題，供全班學生猜想。而后，教師現(xiàn)場操作，一般不會一定出現(xiàn)5次。此時，教師提出：“如果你來操作，結果會怎樣呢？”將全班同學分為每兩位一組，分組擲硬幣，每組5分鐘。而后將全班每組的數(shù)據(jù)現(xiàn)場統(tǒng)計在黑板上，隨著統(tǒng)計的一組組數(shù)據(jù)的出現(xiàn)，教師引導學生分析這些數(shù)據(jù)，感受數(shù)據(jù)的隨機性。一旦將全班各組的數(shù)據(jù)疊加在一起（相當于連續(xù)擲200次以上），那么，正面、反面出現(xiàn)的可能性就相差無幾，亦即，出現(xiàn)正面的可能性非常接近0？郾5。由此可以推斷，這個硬幣是均勻的。

這種設計，其用意一方面在于學生親身操作、全班合作完成數(shù)據(jù)的收集過程，另一方面在于，幫助學生獲得直接的數(shù)學活動經(jīng)驗，體會數(shù)據(jù)的由來，親身獲得數(shù)據(jù)隨機的直接體驗。同時，更有利于培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析意識，建立歸納思維。而從統(tǒng)計學的學科屬性而言，這種設計的本質在于，利用頻率刻畫概率必須保證頻數(shù)足夠大，否則達不到效果。

6. 學生之間的交流分享是促進數(shù)學理解的加速器。

理解的一個重要標志就是準確表達。而學生之間的交流分享，既可以誘發(fā)學生積極表達交流，并在其中主動反思自己理解的漏洞，又可以增進學生自我身份的強化和集體認同，有助于構建良好的朋輩關系，實現(xiàn)個人的社會化。

正如蘇聯(lián)教育家贊可夫所言：“當教師把每一位學生都理解為他是一個具有個人特點的、具有自己的志向、自己的智慧和性格結構的人的時候，這樣的理解才能有助于教師去熱愛兒童和尊重兒童?！逼溽槍π噪m然是“教育”，但其核心其實已經(jīng)觸及“理解”的本質。

（作者單位：東北師范大學）