數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量

張偉 朱曉安

學(xué)生的學(xué)習(xí)和思考從生活中的實例和現(xiàn)象開始，這是深度學(xué)習(xí)的起點之一，學(xué)生遇到的任何一個問題都不是孤立的，不同的學(xué)科會從不同的角度進行研究，體現(xiàn)出不同學(xué)科的特點和本質(zhì)。學(xué)科教學(xué)設(shè)置了明確的學(xué)科邊界，經(jīng)常將學(xué)生原本整體的認(rèn)知割裂開來，穿越學(xué)科邊界進行設(shè)計課程，回歸學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，通過跨學(xué)科的知識解決問題，我們在高中數(shù)學(xué)“平面向量”的教學(xué)中進行了嘗試。

進行學(xué)科穿越的課程設(shè)計首先要明確學(xué)科間聯(lián)系的本質(zhì)。數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)學(xué)對象既有代數(shù)的特性，又有幾何的特性，平面向量也具備這兩種特性，它是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，在物理中有廣泛的應(yīng)用，有極其豐富的實際背景。物理中的力、速度、加速度、位移都是矢量，在數(shù)學(xué)學(xué)科中抽象成自由向量，矢量和向量都是既有大小又有方向的量，是同一性質(zhì)的量在不同學(xué)科中的描述。有大量的物理問題或現(xiàn)象能夠抽象成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)問題對應(yīng)的數(shù)學(xué)本質(zhì)研究會促進相應(yīng)物理問題的解決。結(jié)合高中物理必修1和必修2中的物理問題，總結(jié)出數(shù)學(xué)和物理學(xué)科聯(lián)系的內(nèi)容（見表1）。

學(xué)科穿越的邊界在哪里？這需要從學(xué)科的界定談起。物理中的矢量除了有大小和方向要素外，還有作用點，每個矢量有其物理意義，而在數(shù)學(xué)學(xué)科向量只有大小和方向的要素，是在矢量基礎(chǔ)上的進一步抽象。實驗?zāi)芰κ俏锢韺W(xué)科的重要能力之一，在高中物理必修1教材中通過實驗探究求合力的方法得到矢量求和的平行四邊形定則，進而應(yīng)用這一法則解決問題，運算求解是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要能力之一，數(shù)學(xué)中平面向量的加法運算是借助物理學(xué)科的位移求和問題進行定義，然后研究向量加法的符號表示、運算律及其坐標(biāo)運算，突出運算的特性。不同的學(xué)科對同一對象的研究關(guān)注點不同，與學(xué)科能力的培養(yǎng)有密切關(guān)系。學(xué)生在遇到問題的時候，需要明確不同學(xué)科的邊界，又要綜合運用不同的學(xué)科能力解決問題。

物理教師積累的學(xué)生測試數(shù)據(jù)顯示：學(xué)生對于物理問題，能從實際問題當(dāng)中抽象模型的占11%，熟練掌握矢量的表示方式與運算方法的占14%，理解并能運用力的運動關(guān)系的物理思想的占29%，能對結(jié)果進行正確討論的占17%，從這些數(shù)據(jù)可以看出，學(xué)生將實際的物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型的能力欠缺，應(yīng)用數(shù)學(xué)進行運算的意識比較薄弱，在物理學(xué)科中只用物理方法來解物理題，在數(shù)學(xué)學(xué)科中只用數(shù)學(xué)方法來做數(shù)學(xué)題，孤立的、割裂的學(xué)習(xí)使得學(xué)生在面對實際問題的時候不能綜合分析，整體認(rèn)知，所以在平面向量教學(xué)中，我們通過設(shè)計盡量來改善這個問題。

我們將單元設(shè)計的主題選定為：數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量。單元目標(biāo)的設(shè)計也突出學(xué)科間的穿越，例如：學(xué)生通過抽象引體向上運動，分析理解向量的基本概念和基本運算；學(xué)生更新已有初中時對功的公式的認(rèn)識，通過功的背景來理解向量的數(shù)量積運算，用函數(shù)的思想來研究功與力和位移的關(guān)系，探究向量與數(shù)量的關(guān)系；學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積以后，學(xué)生通過功的專題學(xué)習(xí)來整理總結(jié)學(xué)習(xí)收獲等。這些目標(biāo)的設(shè)計從真實的問題出發(fā)，結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知水平，需要經(jīng)歷分析問題—抽象概念—探究方法和策略—體會學(xué)科思想—解決實際問題的過程，這個過程中既有物理學(xué)科的知識和方法，也有數(shù)學(xué)學(xué)科的思想和方法，二者交融在一起。

學(xué)科穿越的設(shè)計要以學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)科認(rèn)知為基礎(chǔ)。平面向量單元的概念較多，核心概念是向量，它的兩個要素是大小和方向，需要在向量概念的基礎(chǔ)上繼續(xù)抽象相關(guān)的概念。為了整合學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中已有的知識和經(jīng)驗，實現(xiàn)數(shù)學(xué)課的進一步抽象和運算，我們在課程設(shè)計的時候設(shè)計學(xué)生熟悉的物理情境：在單杠上做引體向上，兩臂的夾角越小越省力。你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？

Q1.用圖和式表示題目中的量及其關(guān)系。

Q2.用什么數(shù)學(xué)方法解釋現(xiàn)象？

Q3.問題中的量與數(shù)量有什么不同？

Q4.向量的定義和表示方法。

Q5.舉例說明你學(xué)習(xí)過的向量有哪些？

Q6.你能發(fā)現(xiàn)問題中的向量之間有哪些關(guān)系？

Q7.分別從大小和方向兩個角度說明問題中特殊的向量有哪些？

Q8.如何計算做一次引體向上需要消耗的能量？

Q9.物理中的平行四邊形法則和數(shù)學(xué)中向量的加法有什么關(guān)系？

Q10.平面向量的代數(shù)形式是什么？

在物理情境的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠自發(fā)地提出上述的一些問題。學(xué)生提問題的過程就是參與思考、進行數(shù)學(xué)抽象的過程。與以往的概念和運算學(xué)習(xí)相比，學(xué)生對概念抽象的意義理解更深刻，對概念的本質(zhì)把握更準(zhǔn)確，在經(jīng)歷了充分地分析和抽象以后，學(xué)生不僅能夠自主地建構(gòu)平面向量的概念網(wǎng)，而且也體驗了將知識應(yīng)用于生活的過程。

要通過穿越學(xué)科的邊界來看問題的本質(zhì)，比如，物理學(xué)科中矢量的分解問題，對應(yīng)到數(shù)學(xué)內(nèi)容上是平面向量基本定理，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科基本量的思想，即要用平面內(nèi)基本的量來表示平面內(nèi)的任意一個向量。這個內(nèi)容在物理學(xué)科中有相應(yīng)的體現(xiàn)，如圖2所示。

圖2

這個問題的實質(zhì)就是平面向量基本定理的應(yīng)用，需要學(xué)生結(jié)合知識進行物理現(xiàn)象的想象并用運動軌跡呈現(xiàn)出來。在平面向量基本定理教學(xué)的時候，可以從基本的物理問題出發(fā)進行探究：任何一個力都可以沿著兩個方向進行分解嗎？如果能，說明怎么分解，如果不能，說明理由。需要學(xué)生將這個問題用數(shù)學(xué)語言進行描述，應(yīng)用已有的向量加法法則進行探究，最后給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，是物理實驗結(jié)果的抽象化和邏輯化的提升。怎么讓學(xué)生體會平面向量基本定理中蘊含的基本量的思想？我們設(shè)計了圖3的例題。

圖3

這個例題的設(shè)計，教師關(guān)注三個方面的內(nèi)容：（1）在同一基底下表示不同的向量；（2）在不同的基底下來表示同一個向量；（3）比較選取不同基底的優(yōu)劣，突出對數(shù)學(xué)思想的體驗過程。

評估也能夠體現(xiàn)出穿越學(xué)科邊界學(xué)習(xí)的意義。作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種評估，我們設(shè)計應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來解決的物理問題，比如說這樣的一個問題：如圖4所示，電線AB下有一盞電燈，用繩子BC將其拉離墻壁。在保證電線AB與豎直墻壁間的夾角θ不變的情況下，使繩子BC由水平方向逐漸向上轉(zhuǎn)動，則繩子BC中的拉力的變化情況是（）

A. 逐漸增大

B. 逐漸減小

C. 先增大，后減小

D. 先減小，后增大

這一問題的解決對學(xué)生來講有一定難度，對于物理中的三個矢量來說，其中一個矢量始終是不變的，另外一個矢量是方向不變，第三個矢量是大小和方向都在變，這是從變化的角度來分析物理中矢量的變化。那么構(gòu)建數(shù)學(xué)模型以后，學(xué)生就需要應(yīng)用學(xué)習(xí)的向量加法的三角形法則進行分析，對矢量進行平移，平移以后已經(jīng)不是具有物理意義的矢量了，而是應(yīng)用數(shù)學(xué)中向量的三角形法則，還可以進一步應(yīng)用函數(shù)的模型解決，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題也是物理學(xué)科中重要的能力之一。

在學(xué)科穿越的過程當(dāng)中，怎么能夠體現(xiàn)學(xué)科的本質(zhì)？需要從學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)角度審視我們的設(shè)計。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科重要的學(xué)科素養(yǎng)，目前學(xué)生在這方面相對較弱，我們設(shè)計了“功”的主題研究，讓學(xué)生從學(xué)科發(fā)展和學(xué)科融合的方面進行知識和方法的總結(jié)，體會數(shù)學(xué)和物理學(xué)科的相互融合和相互促進，形成學(xué)科思想指導(dǎo)下的認(rèn)知整體。

圖5 數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)學(xué)科穿越

數(shù)學(xué)學(xué)科和物理學(xué)科的關(guān)系非常緊密，比如學(xué)生接觸到的物理公式與數(shù)學(xué)學(xué)科的函數(shù)模型是對應(yīng)的，都體現(xiàn)了變量和對應(yīng)思想，物理學(xué)科中有簡諧振動、勻速圓周運動，怎么來刻畫這些物理現(xiàn)象，三角函數(shù)是必要的形式……學(xué)生對問題的認(rèn)知是一個整體，打破學(xué)科邊界對學(xué)生能力培養(yǎng)的束縛，還要突出學(xué)科的本質(zhì)，對教師的課程觀和課程建構(gòu)能力都是很大的挑戰(zhàn)，我們愿意進行嘗試和改進，深度學(xué)習(xí)，從認(rèn)識學(xué)生學(xué)習(xí)開始。

課題合作者：曾輝、張國宏、?；菝?/p>

（作者單位：北京市海淀區(qū)教師進修學(xué)校附屬實驗學(xué)校）

責(zé)任編輯：任媛媛

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