化歸思維在初中數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用

顧志明

摘 要：?jiǎn)为?dú)的公式概念不能滿(mǎn)足當(dāng)前考試對(duì)于學(xué)生的要求，考試中滲透了各種數(shù)學(xué)思想及其變形運(yùn)用?；瘹w思想作為其中的一種，在課堂教學(xué)中占有非常重要的地位。數(shù)學(xué)課堂可以通過(guò)化數(shù)為形、化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體、化特殊為一般等方式訓(xùn)練學(xué)生的化歸思維。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 化歸思維 有效運(yùn)用

化歸思維在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，占有非常重要的地位，其核心觀點(diǎn)是學(xué)生在積累了一定的基礎(chǔ)知識(shí)后，對(duì)于一些看似復(fù)雜或無(wú)處下手的問(wèn)題，可以運(yùn)用這種思想將其轉(zhuǎn)化為教材或經(jīng)驗(yàn)中熟悉的例子和模型，從而巧妙地解決問(wèn)題。

一、化數(shù)為形，活潑生動(dòng)

數(shù)字關(guān)系是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的最常見(jiàn)到的，有的簡(jiǎn)單易懂，有的卻十分復(fù)雜或讓人捉摸不透，無(wú)法快速地理清思路。這時(shí)就可以借助簡(jiǎn)單的圖形來(lái)進(jìn)行問(wèn)題的解答，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一定程度的轉(zhuǎn)化與簡(jiǎn)化。課堂教學(xué)中要注意讓學(xué)生了解到這一解析過(guò)程是如何在解決問(wèn)題的過(guò)程中呈現(xiàn)的。對(duì)于學(xué)生的疑問(wèn)，教師要認(rèn)真聆聽(tīng)和解答，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和感悟數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想，并及時(shí)進(jìn)行課堂小結(jié)與針對(duì)復(fù)習(xí)，以鞏固學(xué)生所學(xué)到新思想、新方法。

例如，對(duì)于正數(shù)a，則b=+的最小值為多少？

分析：如果直接對(duì)這道題進(jìn)行計(jì)算，根本無(wú)法下手。對(duì)于根式和絕對(duì)值求極值的問(wèn)題，我們可以采用坐標(biāo)軸輔助數(shù)形結(jié)合法來(lái)理解題意。本題中的的式子可以變化成b=+，即可以視為是直角坐標(biāo)系的某動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離之和，這樣題目就變成了求解最短距離的問(wèn)題。

解析：b=+可以借助坐標(biāo)系來(lái)理解（見(jiàn)圖1），設(shè)P（x，0），A（0，2），B（2，1），所以y=PA+PB，在坐標(biāo)系中做出B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′（2，-1），那么最小值就是AB==。

通過(guò)解答可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)轉(zhuǎn)化為形時(shí)，對(duì)于根式和絕對(duì)值的式子，就是利用直角坐標(biāo)系為代數(shù)式賦予了一定的幾何意義。構(gòu)造常見(jiàn)的幾何圖形，有時(shí)也可能需要在得到的圖形中作出輔助線(xiàn)來(lái)幫助理解題意。圖形能解決的問(wèn)題還有很多；二次方程中的根的個(gè)數(shù)判斷；拋物線(xiàn)開(kāi)口方向判斷，一次方程和二次方程中的截距；直角三角形邊的數(shù)量關(guān)系等，都需要學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中慢慢積累。

二、化繁為簡(jiǎn)，提綱挈領(lǐng)

數(shù)學(xué)思維注重嚴(yán)密的邏輯性和思維的簡(jiǎn)潔性，在處理問(wèn)題的過(guò)程中，采用一定的解決方法將原有問(wèn)題簡(jiǎn)化是十分必要的，這便是化歸思想中的化繁為簡(jiǎn)?；睘楹?jiǎn)，是指將繁雜的問(wèn)題進(jìn)行化整為零的處理，簡(jiǎn)化為一系列基礎(chǔ)性的簡(jiǎn)單問(wèn)題，然后運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行分步處理，進(jìn)而解決問(wèn)題。在處理過(guò)程中，要注意分解適當(dāng)，過(guò)分地追求簡(jiǎn)潔也可能會(huì)將問(wèn)題搞得更加復(fù)雜，而且得到的一定要是自己能處理的問(wèn)題，這才是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

例如，當(dāng)a的取值如何時(shí)，二次方程2（a+1）x2-4ax+3（a-1）=0至少存在一個(gè)正的實(shí)數(shù)根。

通過(guò)對(duì)題目分析，可以知道，至少存在一個(gè)正實(shí)數(shù)根的情況有很多種，不能一概而論。那么，對(duì)題目進(jìn)行簡(jiǎn)單的分解：從補(bǔ)集角度看，至少存在一個(gè)正實(shí)數(shù)根的補(bǔ)集為：①兩個(gè)根全為負(fù)根；②方程無(wú)解；③方程一根為零且另外一根為非正數(shù)根。從補(bǔ)集中得到答案后，取補(bǔ)集的補(bǔ)集即可。

解析：方程為二次方程，即a+1≠0，即a≠-1，而方程有實(shí)根的話(huà)，Δ=（-4a2）-4×2×3（a2-1）≥0，解之可得-≤a≤，設(shè)方程根為x1和x2，補(bǔ)集分為三種情況：①設(shè)兩根都是負(fù)根，則x1+x2=<0，x1x2=>0，解之，無(wú)解。②方程無(wú)解，此時(shí)Δ<0，即a>或a<-。③方程一根為零且另外一根為非正數(shù)根，此時(shí)a=1。綜合三種情況取補(bǔ)集，即a的取值為-≤a≤且a≠-1。

遇到這類(lèi)復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，要沉下心來(lái)認(rèn)真分析。題目的情況是多種多樣的，經(jīng)過(guò)分析和排除，就可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)單的分步求解即可得出結(jié)論，也就是對(duì)題目進(jìn)行了化繁為簡(jiǎn)?？赐竼?wèn)題的本質(zhì)是至關(guān)重要的，一步步的理順才能“撥云見(jiàn)日”，問(wèn)題簡(jiǎn)化后，再運(yùn)用基本知識(shí)進(jìn)行求解。

三、化抽象為具體，形象直觀

抽象的概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不易理解和掌握的，需要通過(guò)具體例子來(lái)呈現(xiàn)，對(duì)概念中的數(shù)量關(guān)系、定量準(zhǔn)則等進(jìn)行直觀的理解和學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)到抽象函數(shù)的知識(shí)，不少學(xué)生對(duì)這部分的各種對(duì)稱(chēng)關(guān)系感到茫然。其實(shí)，只要對(duì)這部分的內(nèi)容進(jìn)行直接練習(xí)就可以將其掌握。對(duì)抽象函數(shù)的掌握就是其直觀化的坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化過(guò)程，理解了函數(shù)關(guān)系中的對(duì)稱(chēng)與坐標(biāo)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就很容易掌握抽象函數(shù)了。

例如，若函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上是奇函數(shù)，并且f（x+2）=-f（x），若0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，那么f（7，5）等于（ ）。

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

分析：有如下定理，若函數(shù)y=f（x）的圖像既關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于直線(xiàn)x=b對(duì)稱(chēng)（其中a≠b），那么函數(shù)y=f（x）是周期為T(mén)=4|b-a|的周期函數(shù)，應(yīng)用這個(gè)定理即可解題。

解析：f（x）是奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），所以f（x+2）=f（-x）且f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)。所以y=f（x）的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，根據(jù)定理可知函數(shù)y=f（x）是以T=4×|1-0|=4為周期的函數(shù)。故f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5。

通過(guò)解答過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一般性的抽象函數(shù)，最好的解決辦法就是理解定理并加以應(yīng)用，這個(gè)過(guò)程是在課堂上進(jìn)行的。教師在講解這些定理時(shí)，就可以利用坐標(biāo)系這一輔助工具進(jìn)行坐標(biāo)與函數(shù)之間對(duì)稱(chēng)關(guān)系的相互對(duì)應(yīng)，實(shí)現(xiàn)抽象到具體的轉(zhuǎn)換。抽象到具體的轉(zhuǎn)化還有負(fù)數(shù)與坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)各次項(xiàng)系數(shù)與根的坐標(biāo)關(guān)系轉(zhuǎn)化等，都是比較典型的由抽象到具象的化歸思維的體現(xiàn)。

四、化特殊為一般，增強(qiáng)自信

數(shù)學(xué)問(wèn)題從分類(lèi)的角度來(lái)講，可以分為一般的和特殊的，辨別方式從我們所學(xué)的內(nèi)容中便可見(jiàn)一斑。在平時(shí)學(xué)習(xí)中，基本上都以特殊的例子做引導(dǎo)，從而引出一般性的推廣結(jié)論，這種思想同樣可以運(yùn)用在解題中?？荚囍校岩恍┨厥饫幼鳛樵囶}，可能會(huì)讓學(xué)生感到頭疼，學(xué)生需要冷靜地觀察題目，將其化為一般性的字母或代數(shù)進(jìn)行解決，便可發(fā)現(xiàn)其中隱含的規(guī)律，從而快速地解答題目。

例如，計(jì)算（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

分析：看到這么大的計(jì)算數(shù)字，學(xué)生一開(kāi)始會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手，但如果采用對(duì)代數(shù)問(wèn)題處理的一般性策略，即通過(guò)換元來(lái)將題目轉(zhuǎn)化為一般性的運(yùn)算，通過(guò)計(jì)算得出一般性的結(jié)論，從而解決問(wèn)題。

解析：對(duì)于較大數(shù)字中所隱含的運(yùn)算規(guī)律，直接觀察不易發(fā)現(xiàn)，可以換元解答，設(shè)a=3009，則原式====，結(jié)果為。

通過(guò)解答過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，換元法屬于化歸思維中的一種，其核心思想就是通過(guò)用字母代換復(fù)雜的數(shù)字進(jìn)行化簡(jiǎn)和運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)式子中所隱含的一般規(guī)律，從而更好地進(jìn)行問(wèn)題解答。除了換元思想，還可以通過(guò)猜想推測(cè)、歸納總結(jié)等特殊問(wèn)題一般化的應(yīng)用策略來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題。

以上例子是化數(shù)為形、化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體、化特殊為一般的化歸思維的典型應(yīng)用，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中，是思維點(diǎn)撥的一項(xiàng)重要內(nèi)容。教師要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維方法的學(xué)習(xí)和總結(jié)，達(dá)到舉一反三的教學(xué)效果，同時(shí)，學(xué)生也要盡量理解思維方法在初中學(xué)習(xí)中的重要性。

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