一道最值問題解決的思維三步曲

周寅鋒

【摘要】現(xiàn)代教育觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，即思維活動的教學(xué)，而思維能力是一切能力的核心.但是，在日常教學(xué)中，我們常常發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)在數(shù)學(xué)思維上會出現(xiàn)種種缺陷，從而導(dǎo)致在學(xué)習(xí)過程中形成各種錯誤的認(rèn)識和理解.利用均值不等式求最值，是高中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)，而靈活使用均值不等式卻成了一個難點(diǎn).本文通過剖析一道典例的錯解與多解及應(yīng)用，與同仁一起體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)過程.

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)；解題；思維

例 設(shè)x>0，y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.

錯解 由x>0，y>0，得1=1x+9y≥29xy=6xy，故xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)y=9x時取等號，所以x+y≥2xy≥236=12.當(dāng)且僅當(dāng)y=x時取等號.

所以，x+y的最小值為12.

剖析 在運(yùn)用均值定理求最值時，必須考慮等號成立的條件是否具備，但當(dāng)對同一個問題兩次或多次運(yùn)用均值定理時，還要考慮這些等號能否同時成立，或者這些等號能否傳遞.即錯解須滿足條件y=9xy=x，即x=y=0，這與已知條件矛盾.故本錯解中的等號不能同時成立.

點(diǎn)評 均值定理在不等式的證明、求函數(shù)的最值和解決實(shí)際問題中應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)用這個定理求最值時，應(yīng)滿足“一正、二定、三等”三個條件，即各項或各因式均為正；和式或積式為定值；各項或各因式能取得相等的值；且缺一不可.

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，往往一道題會有多種解答方法，不同的分析方式會使解題的過程不一樣，但整體的思考方向是一樣的.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的就是掌握思考問題的方法.有了正確的思路，最終才能解決問題.在學(xué)習(xí)中應(yīng)養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣，這樣才能發(fā)散思維，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性結(jié)合本題特點(diǎn)，現(xiàn)介紹幾種解法供同仁們參考.

思維一 考慮錯解因兩次使用均值不等式，導(dǎo)致等號不能同時取到的錯誤，通過消元最終達(dá)到減少使用均值不等式的次數(shù).

點(diǎn)評 該解法充分體現(xiàn)了方程思想的運(yùn)用，引入?yún)?shù)t后，根據(jù)條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化為“方程（組）必有正實(shí)數(shù)解的問題”來處理，回避了構(gòu)造代數(shù)式，再運(yùn)用均值定理過程，顯然也是一種可取的解法.