逆向思維在解數(shù)學(xué)高考題中的應(yīng)用研究

王婷

【摘 要】“逆向思維”不僅是一種數(shù)學(xué)思想，還是一種能夠?qū)ふ业浇忸}突破點(diǎn)的重要方法。很多利用傳統(tǒng)解題方法無法尋找到突破點(diǎn)、或招致極大的計(jì)算量時(shí)，逆向思維則可以化繁為簡、化難為易。鑒于此，本文以“逆向思維在解數(shù)學(xué)高考題中的應(yīng)用”為主要研究對象，分別從三個(gè)角度對這一問題進(jìn)行了討論。本文研究的目的在于，能夠結(jié)合歷年高考數(shù)學(xué)試題當(dāng)中的代表性題目，針對近年來高考重點(diǎn)考察的“逆向思維”問題進(jìn)行簡單的歸納和總結(jié)，望能對廣大身處高三的師生給予一定的幫助和借鑒。

【關(guān)鍵詞】逆向思維；高中數(shù)學(xué)教學(xué)；高考試題

近年的高考試卷當(dāng)中常常出現(xiàn)這樣一類題目：其按照傳統(tǒng)的、按部就班的思路雖然能夠解題，但過程即為麻煩、計(jì)算量過多，在爭分奪秒的高考考場上極為浪費(fèi)時(shí)間；還有一類題，按照傳統(tǒng)的解題思路根本無法尋找到突破點(diǎn)、以至于讓考生陷入解題的困局之中，一時(shí)迷失方向。事實(shí)上在解題過程中，當(dāng)學(xué)生遭遇上述兩種情況時(shí)，不妨采用“逆向思維”的方法，正所謂“山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”。

一、反證應(yīng)用

從解題的思維過程來說，高考中的任何數(shù)學(xué)題目，都是命題者主觀性設(shè)置方法尋求障礙的存在。所以同一道題目，當(dāng)學(xué)生由已知出發(fā)，以“碰撞”的形式尋找解題方法、探索答案時(shí)，往往會發(fā)現(xiàn)由固定條件所引申出的眾多“岔路”，甚至于將已知的內(nèi)容推斷得越來越復(fù)雜，離所求相隔越來越遠(yuǎn)。那么當(dāng)遇到這樣一種情況時(shí)，學(xué)生不妨從“解題要求”入手，以問題為突破口，通過挖掘解題所需要的已知條件，來方向探尋所需的“可知”。

以2016年高考數(shù)學(xué)I卷（理科）第22題第（1）問為例：

如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O為圓心，OA為半徑作圓。

（I）證明：直線AB與O相切；

根據(jù)證明要求，要想得出直線AB與O相切的結(jié)論，即需要證明圓心O到直線AB的距離等于圓的半徑。在知ABC本身是等腰三角形的情況下，可以判斷圓心到直線AB距離所需要的垂點(diǎn)即AB的中點(diǎn)，同時(shí)也是三角形ABC的高。另外鑒于30°角本身所具有的邊長特殊性（直角三角形，30°角所對的邊長度等于斜邊的一半），再根據(jù)題目已知“OA為半徑作圓”，即可以得出點(diǎn)O到直線AB的距離，等于OA的一半，也就是等于圓的半徑，那么即可得出圓與直線相切的結(jié)論。

很顯然這道題目求解的關(guān)鍵就在于，如何根據(jù)既定的求證結(jié)論，反向推斷出“圓心到直線的距離等于半徑”的間接性結(jié)果。事實(shí)上，很多幾何類證明題都可以采取這樣一種逆向反證的方式來推導(dǎo)求解。

二、公式反用

高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中涉及到各式各樣的公式，但高考當(dāng)中對數(shù)學(xué)公式的考察，并不會如同其他文史類學(xué)科對基本概念的考察一般，要求默記或書寫，而是融匯在多樣化的題型當(dāng)中，進(jìn)行綜合化的考核。這其中較為常見的既有最為基本的直接帶入式的考察，也有公式逆推、逆用的考察。相對于前者，后者對學(xué)生共識靈活運(yùn)用的考察更為全面和具體，也更具有難度。比如以這樣一道題目：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，且 。求證：sinAsinB

=sinC。（2016年四川省高考數(shù)學(xué)理科第17題，第一問）

很明顯在這道題目中，已知條件是一組結(jié)合了邊角關(guān)系的等式，而高中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過的涉及到邊角關(guān)系的等式中最為常用的就是 ，那么根據(jù)這則關(guān)系就可以將題目當(dāng)中已知的關(guān)系式置換成 ，整理可得： 。

等式左面有 ，根據(jù) = ，等式可以繼續(xù)整理成 ，去分母得 。

這時(shí)，我們觀察等式的右邊，已經(jīng)與求證等式的一側(cè)相同，而等式的左邊明顯是 的公式逆用，即 ，同時(shí)根據(jù)同一三角形當(dāng)中 ，即刻得出求證的結(jié)論。

縱觀整道題目的求解過程，可以看到期間多出運(yùn)用到三角函數(shù)公式，包括對其基本公式的正用和逆用，這要求學(xué)生在求解題目時(shí)必須將所有的公式都能做到爛熟于心、信手拈來。很多學(xué)生在面對高考試題時(shí)，其慣性思維會導(dǎo)致其對公式的記憶和使用方式，維持在最為基本的形態(tài)上，以至于在解題過程中直接出現(xiàn)公式的右半部分時(shí)，一時(shí)難以將其與公式的本來形態(tài)相關(guān)聯(lián)。同時(shí)，就這道題目本身而言，求證部分的“ ”也是一極為有效的題目信息，其可以推斷出這道題目將用到邊角關(guān)系公式來的結(jié)論。在三角函數(shù)中，邊與角的關(guān)系，最為直接的一組公式就是通過 = = 來體現(xiàn)的，以此為突破口，也可以探索出解題的線索和思路。

三、逆用定理

很多學(xué)生在高考數(shù)學(xué)題目求解的過程中，在遇到一道全新的題目時(shí)，會習(xí)慣性的選擇與題目所涉及范圍內(nèi)的各類公式，卻不自覺的忘記與之相關(guān)的最為基本的概念。比如雙曲線題目求解離心率時(shí)，會第一時(shí)間想到e= 的公式，一旦陷入求解c和a的瓶頸中時(shí)，這道題目就變成了短期內(nèi)無法攻克的難題。但事實(shí)上，在實(shí)際高考有關(guān)此部分的題目考察中，還會應(yīng)用到根據(jù)雙曲線定義來求解的可能性，以這樣一道題目為例：

已知點(diǎn)F1、F2是雙曲線 （a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，其中MF1邊的中點(diǎn)恰在雙曲線上，求該條雙曲線的離心率。

這道題目的求解關(guān)鍵就在于對雙曲線的概念以及離心率計(jì)算公式的應(yīng)用。首先，雙曲線離心率公式e= ，只要求解除這條雙曲線中c和a的值就能達(dá)到求解的目的，但是這道題目中的正三角形是一個(gè)非常有效的條件，假設(shè)P點(diǎn)就是MF1的中點(diǎn)，便說明了PF2和PF1的垂直關(guān)系，那么在直角三角形當(dāng)中，直角、60度角的同時(shí)出現(xiàn)，即意味著PF1等于F1F2的一半，即等于c，根據(jù)邊角關(guān)系，既可以得出三角形PF1F2利用c所表示的邊長：

PF1= F1F2= .2c=c

PF2= PF1= c

這個(gè)時(shí)候，我們不妨將目光回歸到雙曲線概念的本身——到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。換言之雙曲線上的點(diǎn)必然滿足到兩大焦點(diǎn)之間的距離等于2a。

那么很顯然，這道題目當(dāng)中有一非常明顯的暗示條件，點(diǎn)P在雙曲線上，即意味著P點(diǎn)到F1和點(diǎn)F2的距離是相等的，等于2a，即|PF2|-|PF1|=2a，鑒于此前已經(jīng)利用了題目中的已知條件，將PF1和PF2的長度置換成了用c表示，所以|PF2|-|PF1|= c-c=2a

c-c=2a

根據(jù)離心率求解公式e= ， = =e

總而言之，逆向思維在高考數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛。近年來高考命題對學(xué)生此方面能力的考察頻率也在逐年上升，鑒于此，高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)過程中應(yīng)注重對學(xué)生此方面能力的培養(yǎng)，除卻本文中筆者所提到的幾種案例之外，還可以采用逆向替代法、逆向驗(yàn)證法以及逆向判定等方式來進(jìn)行演算和推論，這將有助于進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)知識綜合應(yīng)用能力。

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