數(shù)學概念教學應立足幾何直觀

徐玉釵

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學”[1]。利用幾何直觀的直觀圖形語言幫助學生更好地理解抽象數(shù)學語言，將形象思維同抽象思維有機結合是學生學習數(shù)學概念、理解概念本質(zhì)十分重要而有效的手段。因此，在數(shù)學概念教學過程中，我們應立足幾何直觀，形象地揭示知識的形成過程，展現(xiàn)知識的抽象過程，讓學生更為深入地理解、領悟概念的內(nèi)涵。本文以人教版三年級上冊“認識幾分之一”為例，談談如何立足幾何直觀，幫助學生理解數(shù)學概念的內(nèi)涵。

一、 直觀感知，形成表象

數(shù)學概念的引入是學生形成概念的初始階段，是學生學習概念十分重要的環(huán)節(jié)。小學生的思維特點以具體形象思維為主，在概念學習的初始階段，如教師能為學生提供實物、圖形等直觀材料，那么他們就能較輕松地感知概念，從而形成表象。

[片段一]喚起記憶，豐富“平均分”。

一上課，筆者先通過PPT直觀演示“切蛋糕”的過程。教師談話：在日常生活中，我們經(jīng)常要分東西。你看，老師把一個蛋糕切成兩部分。這兩部分怎樣？（一大一?。┤绻蠋煆闹虚g切，這兩部分就（一樣大），象這樣分得的每一份同樣大在數(shù)學里稱為“平均分”。通過簡單的對話，喚起學生以前多物平均分的經(jīng)驗，直觀認識到“一個蛋糕從中間切，象這樣分得的每一份同樣大，數(shù)學上也稱平均分”，從而豐富了學生對平均分的認識，為后續(xù)認識幾分之一做準備。利用直觀圖形的動態(tài)演示，讓學生迅速直觀感知，達到事半功倍的效果。

[片段二]兩次分類，深化“平均分”。

提供給學生大量的直觀材料：

教師提問：“觀察這些圖形和物體，如果讓你分類，你準備怎么分？”片刻沉默后，學生顯露激動、興奮的眼神：“可以把平均分的分一類，沒有平均分的分為一類?！币皇て鹎永?，在同學的互相啟發(fā)下大家眼睛一亮，“可以把（1）、（4）、（6）、（8）分為一類，它們都沒有平均分?！薄埃?）、（3）、（5）、（7）、（9）、（10）、（11）、（12）分為一類，它們都是平均分的?！备鶕?jù)學生的回答，筆者利用PPT動態(tài)整理了所有圖片，隱去不平均分的，留下所有平均分的直觀材料，再次引導學生觀察、分類，很快學生整理出如下表格：

立足幾何直觀，筆者抓住分數(shù)的本質(zhì)“平均分”，引導學生在觀察、辨析、比較中經(jīng)歷了兩次分類，讓學生直觀地感知圖形本身“整體與部分”的關系，初步形成表象。在這一過程中，不僅培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)“同中隱藏各自不同”的數(shù)學眼光，而且還培養(yǎng)了學生透過表面現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)其中本質(zhì)的能力。

因此，教學中應選擇那些能充分顯示概念特征的直觀事例，正確引導學生去觀察和比較，才能使學生從事例中歸納和概括出它們的本質(zhì)屬性，形成概念。

二、 直觀理解，自主建構

建構主義認為，學習不是教師把知識簡單地傳遞給學生，而是學生自己建構知識的過程[2]。當學生對圖形本身“整體與部分”的關系已有了初步感知后，教師應利用這些直觀材料，通過幾何直觀將分數(shù)的形成及具體表示的意義充分表征出來，從而幫助學生在直觀理解上自主建構分數(shù)的意義。

[片段三]引發(fā)沖突，初識。

當學生有了“平均分”的豐富體驗后，筆者通過PPT動態(tài)演示平均分過程，“一個蛋糕用1表示，把它平均分成兩份，其中一份還能用1表示嗎？”學生的認知一下子產(chǎn)生了沖突，一個新的數(shù)之欲出。學生通過動作、語言多種表征后，對蛋糕的有了初步的建構，并嘗試遷移到三角形的、圓形的、披薩的。筆者不失時機追問：“ 這些圖形、物體都不同，為什么都能表示？”

觀察這些圖式，學生發(fā)現(xiàn)了它們的本質(zhì)特征“都是平均分成了兩份，表示出了一份”。圖形是學生思維的腳手架，分數(shù)“整體與部分的關系”通過圖形表征，更加直觀而形象。筆者借助幾何直觀，幫助學生在豐富的直觀實例與觀察類比中，抽象出它們的本質(zhì)，認識、理解的含義。

[片段四]實踐辨析，深化。

有了前面對的直觀感知，筆者設計了一個讓學生動手折、涂的操作活動，引導學生用長方形紙表示出的圖式。當展示出來的圖式涂色各不相同時，學生再次產(chǎn)生思維的碰撞：“怎么同樣是這張長方形紙的，折法不同，涂色部分也不同呢？”

在深入的討論、觀察中，學生通過幾何直觀“看圖想事”，發(fā)現(xiàn)了雖然這張長方形紙折法不同，涂色部分也不同，但都是把這張長方形紙平均分成兩份，涂其中一份，所以都是它的。接著筆者又設計了一個“老師變”的活動。

教師出示錯誤的圖式（圖4），頓時激起學生糾錯的熱情。教師“不平均分”的錯誤圖式與學生“平均分”的正確圖式形成鮮明對比。利用幾何直觀，“平均分”的分數(shù)本質(zhì)更加突顯。接著筆者再出示一個超大的圖式，貼在黑板上。兩個大小差異很大的圖式再次激發(fā)學生的思考和討論：“都是，怎么涂色的部分差別這么大？”學生利用幾何直觀“看圖說事”，在沖突、對比中主動辨析，認識到“不同大小的長方形”它們的也不同，讓學生對分數(shù)的內(nèi)涵形成更深刻的認識。

數(shù)學教學不只限于學生對結果的掌握，更重要的是經(jīng)歷知識的形成過程，加深對知識的理解。而只有讓學生做到直觀上的理解，才是真正的理解。

三、 直觀洞察，抽象本質(zhì)

直觀洞察，即觀察、發(fā)現(xiàn)直觀載體的深層意義或內(nèi)在本質(zhì)[3]。當學生直觀理解分數(shù)的意義后，教師利用學生積累的大量分數(shù)幾何直觀經(jīng)驗，引發(fā)學生直觀洞察，抽取分數(shù)概念的本質(zhì)，并通過變式練習，幫助學生更加深入地理解分數(shù)的內(nèi)涵。

[片段五] 觀察概括，巧抽象。

當學生擁有了大量的幾分之一圖式的直觀感知后，筆者再把學生之前已認知的、創(chuàng)造的幾分之一圖式集中呈現(xiàn)出來。觀察后，一位學生激動地說：“我發(fā)現(xiàn)這些圖有一個共同的秘密?！逼渌瑢W睜大眼睛，好奇地觀察，筆者順勢而導：“觀察這些圖形和分數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？”他們爭先恐后發(fā)言：“它們都是把一個圖形平均分成幾份?！薄八麄兌贾煌可环?，分數(shù)的分子都是1?！薄耙粋€圖形或物體平均分成幾份，其中的一份就是整個物體的幾分之一?！薄懻摯似鸨朔?，學生有了之前的幾何直觀經(jīng)驗的積累，很快透過直觀載體的表面觀察發(fā)現(xiàn)了幾分之一的本質(zhì)，更加深刻地理解了幾分之一的內(nèi)涵。

兒童學習心理學表明，學生自己“悟”出的知識，能更快納入自己的知識系統(tǒng)。因此，在數(shù)學概念的抽象與變式中，教師有意識地給予學生直觀洞察的機會，更能深刻理解概念的本質(zhì)與內(nèi)涵。

四、 直觀想象，創(chuàng)造拓展

學生對數(shù)學概念掌握得好不好，往往通過鞏固與應用練習來檢驗。因此，概念練習的設計很關鍵。如果教師能立足幾何直觀，設計開放的，能引發(fā)學生聯(lián)想、想象的練習，就可以讓學生借助直觀想象，提高思維的靈活性和深刻性，進而更準確地理解概念的本質(zhì)與內(nèi)涵，激發(fā)學生的創(chuàng)造意識，提高學生的創(chuàng)造性思維的能力。

[片段六] 看圖聯(lián)想，試創(chuàng)造。

在基本練習過后，筆者設計了一道“看圖片，聯(lián)想幾分之一”的問題，如圖5。

教師引導：“其實生活中處處藏著有趣的分數(shù)，從圖片中，你聯(lián)想到幾分之一？”一分鐘的沉默后，教室里頓時活躍了起來，筆者仿佛看到學生思維的火花在跳動，學生看圖聯(lián)想：……一個個分數(shù)迸發(fā)而出?？梢?，直觀想象發(fā)揮著強大的力量。

[片段七] 直觀想象，拓思維。

在最后的變式拓展中，筆者設計了一道問題：涂色部分是整體的幾分之一？如圖6。

這顛覆了學生原來的看法，教室里出現(xiàn)了質(zhì)疑聲：“這兩個圖形都沒有平均分，哪能用分數(shù)表示？”教師故作吃驚：“哦，看來題目錯了?！边@時，同學們又產(chǎn)生了不同的聲音：“老師，我覺得沒出錯。”兩分鐘的思考后，教室里展開了一場激烈的討論。學生借助幾何直觀，通過轉化、移動，變“不平均分”為“平均分”，從而得出結果。在這一過程中，學生的思維跳出原來的定勢，轉向更高級、更抽象的空間形式，學生體驗到直觀想象的神奇與作用。

幾何直觀能將復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，運用幾何直觀進行概念教學正好適應小學生的思維特點，能夠幫助他們理解和接受抽象的概念，更深刻地理解數(shù)學概念的內(nèi)涵，積累學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，促進學生思維能力的發(fā)展。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 李維東.皮亞杰的建構主義認知理論[J].中國教育技術裝備，2009（6）.

[3] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心詞的實踐解讀之四——幾何直觀[J].小學數(shù)學教師，2013（7、8）.

【責任編輯：陳國慶】