讓理解性學習走進初中數學課堂

陸壽華

在現實課堂中，存在著諸多的理解性問題，例如對于一些抽象的概念好似已經辨明，然而在課后又混淆不清；對知識的應用感到很困難，在做作業(yè)的時候，錯漏百出；常常不能充分地使用學科語言深入分析問題或表達觀點.以往有些教師對數學理解的研究主要集中在數學概念、功能、模式與層次、對數學理解的評價、以及提高學生數學理解能力的教學策略等方面，很少關注學生的理解性學習策略.對此，筆者在教學實踐中進行了一些思考和探索.

一、通過問題總結階段的反思進行理解性學習

數學解題后的反思，就是指學生對數學解題思維過程中的一個問題的思維結果從一個新的角度進行慎重全面的分析和思考，從而深化對問題的理解，優(yōu)化思維過程.數學理解性學習要求解題之后，還要去進一步反思與理解為什么要這樣做、怎樣做的、還可以怎么做，運用了什么樣的知識與思想方法以及遇到困難時思維為何受阻，以便有意識地了解自身思維后面潛藏的認知，提高學生對數學的認知水平，洞悉數學思維，達到高層次的數學認知理解水平.

具體來說，學生可以從以下幾個方面反思：反思題目特征；反思解題思路；反思解題策略的多處應用；反思題目結論，能否一般化、特殊化，能否將結論拓展；反思重要環(huán)節(jié)的易錯處、多解處、困難處；反思解題中反映出的數學思想方法.

反思數學思想方法是進行理解性學習很重要的一個途徑.數學思想方法是數學知識的精髓，是知識轉化為解決問題能力的橋梁.數學學習過程是一個數學認知結構的發(fā)展變化過程，這個過程是經同化和順應兩種方式實現的.數學思想方法擔當著指導“加工”、“改造”的重擔，它不僅提供思維策略，而且提供實施目標的具體手段.在問題解決后，學生反思所用到的數學思想方法，可以更好地正確理解數學.比如，分類討論是貫穿整個初中數學的一種重要數學思想，也是一種重要的解題策略，通過它可以把一個較為復雜的問題分解成若干個相對確定的問題來處理.每遇到這類題型，數學教師都應把分類討論的思想方法體現給學生，從分類的原則、對象、標準，到分類的層次，著重調動學生的心智活動，讓學生體味思想方法在掌握學習重點、突破學習難點及解決具體數學問題中的靈魂作用，進而達到提高學習效率，促使學生學會學習的目的.

二、從錯誤分析入手進行理解性學習

學生在數學學習活動中經常會出現各種錯誤，這種錯誤往往體現了學生在數學思維以及對某些數學概念、命題的建構等方面的缺漏.但另一方面，作為理解的必要發(fā)展階段，錯誤的產生又顯示出某種合理性.從錯誤分析入手進行理解性學習能促進學生對概念、命題的更加充分的理解.

1.做好選擇性注意策略

選擇性注意策略是指學習者在數學學習情境中激活與維持學習的心理狀態(tài)，將注意集中于有關學習信息或重要信息上，對初中數學學習材料保持高度的覺醒或警覺狀態(tài).教師在培養(yǎng)學生對錯誤的選擇性注意的時候可以幫助學生確立學習目標，使學生樹立目標意識，能優(yōu)先選擇與目標有關的信息，學生在確立和完成目標的時候可以根據反饋信息，對教學目標適時地進行調整、優(yōu)化.

案例1解分式方程要檢驗.

這是初中數學考查的一個重要知識點，不少學生在各種測驗、考查中重復出現忘記檢驗的問題.每次分析試卷時，學生都表示這次疏忽了，可下次考試依然如此.這是由于解分式方程時，“去分母”等步驟在練習中地位舉足輕重，學生的注意力過份集中于此，而抑制了“檢驗”這個注意點，所以，這時應將記憶的重點轉移到易被忽略的“檢驗”上，使“檢驗”的地位得到強化和凸現.如解分式方程xx-1-1=2x-1x2-1時，可以先求解使分式以及分式方程有意義的未知數的取值范圍，在此前提下再解這個分式方程，學生就能自然地把所求得的未知數的值與未知數的取值范圍進行對比，從而把x≠1及時舍去，達到檢驗的效果.還可再編一個分式化簡題，如x+2x-1+2xx2-4，并請學生代入一個自己喜歡的數求代數式的值，再一次體會代入的自己喜歡的數必須保證分式有意義即x≠±2且x≠0的大前提.這種針對錯誤的訓練可以培養(yǎng)學生轉換思維方式、轉變思維方向的自覺性，有利于對實際問題的動態(tài)處理，突破思維和心理定勢，在長期的訓練中不僅可使思維深刻靈活，而且極大地提高學生的理解思維品質.

2.做好糾錯策略

教師可給予學生足夠的時間對自己的錯誤進行反思，可以提示學生問自己一些反思的問題：這個題我為什么錯了？錯誤的原因是什么？這個內容和前面學過的知識有什么關系嗎？等等.這不僅可以使得對于錯誤的糾正真正成為學生的自覺行動，更有利于學生養(yǎng)成良好的數學學習習慣和自學能力，而這些習慣和能力對學生的學習終生有益.結合平時的初中數學教學實踐，筆者在教學中先讓學生把作業(yè)或測試中出現的錯誤當天及時訂正；同時指導學生建立數學錯題集，把平時做錯的題收入其中，并注明錯在哪里，如概念不清、審題不仔細、錯用公式、計算失誤、解答不具體不完整等；然后每章小結時進行典型錯題的交流，讓學生互相糾錯，還要求學生從教材或資料中找出2～3道相同類型的數學題目，或同學間互相找題、編題，并認真解答，以達到鞏固、預防之目的.最后，利用每周練習的時間，對一些容易讓學生產生錯誤理解的題目進行檢測，再次檢驗學生是否消除了錯誤，這樣可以有效提高學生的理解能力.

三、通過“說數學”進行理解性學習

1.通過“說數學”加強數學理解

理解是以語言為媒介的，能用語言表述是衡量學生對初中數學知識理解的標志.通過表述，一方面，學生自己進一步理解問題，澄清一些模糊性認識；另一方面，學生理解其他學生問題解決方法，互相比較各自問題解決過程，擴展解決問題的思路，顯示出學生理解問題的自主性，也提醒學生要學會從顯性的條件中挖掘隱性條件，幫助學生更好地理解數學原理.“說數學”是指用自己的語言敘述數學知識，敘述要完整、準確、流暢，能對敘述的內容作適當解釋，經得起老師和同學進一步追問.在這種既聽又說的數學交流活動中，教師把學習主動權交給學生，激發(fā)和調動學生的學習積極性，促使他們積極思考、積極交流、主動理解.同時，教師也可以從中發(fā)現、分析學生的理解情況，做到有的放矢.通過這個表述過程，可以充分暴露學生理解上的缺陷，知道學生哪些地方理解了，哪些地方沒理解，理解的程度如何；可以使學生重新認識、思索那些理解得不很透徹的知識，從而促進對知識的理解.

案例2若關于x的方程ax2+2x-1=0有解，求a的取值范圍.

絕大部分學生都能算出正確答案a≥-1，但讓學生敘述解題方法時發(fā)現很多學生是用一元二次方程的根的判別式b2-4ac≥0計算得到，也有同學提出因為二次項系數為字母，所以此方程不一定是一元二次方程，應該先對方程類型進行分類討論，若a=0，此方程為一元一次方程，此時方程有解，所以a=0成立；若a≠0，則此方程為一元二次方程，再利用一元二次方程的根的判別式b2-4ac≥0計算出a≥-1，所以a≥-1且a≠0.最后兩種情況綜合得到a≥-1.同樣的答案，通過說數學，充分暴露學生理解上的缺陷，知道學生哪些地方理解了，哪些地方沒理解，從而促進對知識的準確理解.

2.“說數學”的內容與數學思想方法

數學知識主要是數學基本事實、概念、原理、法則等.學生運用普通語言和數學語言描述和展示自己對數學現象、事實、概念、法則、定理、公式等知識的理解、把握和應用.學生“說數學”需要經歷下面過程：熟練說出數學知識的內容，用飽含著自己體驗的語言表達數學知識，能多方位對概念進行解釋，說出知識點的內涵和外延，說出與相似知識點的聯系、區(qū)別以及這類概念的易混淆之處，最后利用準確的數學語言表達數學知識.在這一過程中，經過爭辯、互動、小組交流等方式學生逐步形成共識，加深對數學知識的理解.

此外，數學思想方法是數學概念、理論的相互聯系和本質所在，是貫穿于數學的、具有一定概括性的概念，一直貫穿于數學知識的學習和問題解決的過程之中.學生“說數學”主要是說出用到的數學思想方法，并能在不同知識和背景下，提煉共同的數學思想方法.通過這個過程，學生加深對數學思想方法的理解，從而能夠提高自身靈活遷移理解數學知識的能力.

在初中數學學習中，加強初中學生數學理解性學習很重要.只要我們在初中數學教學中，有意識加強這方面的思考與探索，圍繞著加強學生數學理解性學習，采取切實有效的措施，就會收到好的理解效果.