如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想

徐莉麗

摘 要：建立適應(yīng)實(shí)際情況的幾何模型是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵。從起點(diǎn)較低的、容易學(xué)會(huì)的知識(shí)入手，增加知識(shí)的趣味性和可操作性，從數(shù)學(xué)教材中挖掘數(shù)學(xué)建模的典范，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在生活中提煉建模素材，把建模思想滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) 建模 解決問(wèn)題

我們?cè)谏钪袝?huì)遇到各種各樣的問(wèn)題，在對(duì)其深入了解的基礎(chǔ)上，利用各種數(shù)學(xué)符號(hào)、語(yǔ)言來(lái)模擬、假設(shè)并構(gòu)建一個(gè)類似于實(shí)際問(wèn)題的模型，以揭示問(wèn)題的內(nèi)在因果關(guān)系或相互關(guān)系，從而得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型，這個(gè)過(guò)程就是我們所說(shuō)的建模。學(xué)習(xí)建模有助于學(xué)生運(yùn)用建立數(shù)學(xué)模型的方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

一、七座橋引發(fā)的爭(zhēng)論與思考

18世紀(jì)在古哥尼斯堡城市中，一個(gè)公園里有七座橋，它連接著城里的兩座島與河岸，使其成為一體（見(jiàn)圖1）。針對(duì)這一情況，當(dāng)?shù)氐娜藗兲岢隽艘粋€(gè)饒有興趣的問(wèn)題：從這座橋中的四塊地面任選一點(diǎn)作為出發(fā)點(diǎn)，是否能夠不兩次通過(guò)的情況下再回到出發(fā)點(diǎn)，這一問(wèn)題即是后人津津樂(lè)道的“哥尼斯堡七座橋問(wèn)題”。

對(duì)于七座橋問(wèn)題，眾說(shuō)紛紜，有人認(rèn)為可以，有人認(rèn)為不可以，爭(zhēng)論不休。18世紀(jì)40年代，偉大的幾何學(xué)家歐拉在一篇論文《哥尼斯堡的七座橋》中對(duì)這一問(wèn)題給予了合理解答，并開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)分支——圖論與幾何拓?fù)洹，F(xiàn)實(shí)中的歐拉并未真正地到橋上踐行了這一過(guò)程，而是通過(guò)其極高的數(shù)學(xué)天賦和建模技術(shù)有效解決了這一問(wèn)題。在他這篇論文中，給出了詳細(xì)的解答過(guò)程：他把陸地看成“點(diǎn)”，橋比作“線”，七座橋問(wèn)題則轉(zhuǎn)化成了“一筆畫問(wèn)題”，即從圖2中的任何一點(diǎn)能否一筆畫出這樣的幾何圖形。歐拉最后利用數(shù)學(xué)建模證明了圖2這一幾何圖形無(wú)法“一筆畫”的現(xiàn)實(shí)，即證明了“哥尼斯堡七座橋問(wèn)題”是沒(méi)有解的，人們無(wú)法一次性通過(guò)每座橋而又不重復(fù)。

通過(guò)歐尼斯堡七座橋問(wèn)題，我們可以有如下啟示：實(shí)際生活中的問(wèn)題若能通過(guò)合適的數(shù)學(xué)工具建立模型，是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵步驟。數(shù)學(xué)建模不僅是解決各種問(wèn)題的有效工具，更是一種積極有益的數(shù)學(xué)思維，是一種有效的教學(xué)方法。如何將各種數(shù)學(xué)建模理論和知識(shí)傳授給學(xué)生，讓學(xué)生具備各種建模思想，這些都將變得十分具有現(xiàn)實(shí)意義和方法論價(jià)值。數(shù)學(xué)建模的掌握與運(yùn)用將使得學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中更上一層樓，那么，在教學(xué)活動(dòng)中教師如何培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的建模思想將變得尤為重要。

二、教學(xué)活動(dòng)中各種建模思想的滲入

教師把建模思想傳授給學(xué)生的方法有很多，我憑借多年的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)出以下四種可行性方法。

1.從起點(diǎn)較低的、容易學(xué)會(huì)的知識(shí)入手

數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)是由實(shí)際到抽象的過(guò)程。若起點(diǎn)過(guò)高，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)出現(xiàn)混亂，覺(jué)得難于接受。為此，在教學(xué)中，教師應(yīng)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知能力和學(xué)習(xí)水平來(lái)選擇一個(gè)合適的教學(xué)起點(diǎn)，以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。與此同時(shí)，課堂教學(xué)中所運(yùn)用的教學(xué)案例也要貼近實(shí)際生活，從學(xué)生的認(rèn)知角度選題。比如，在“正數(shù)與負(fù)數(shù)”的教學(xué)中，我利用溫度計(jì)加以闡述（冬天的溫度）；通過(guò)設(shè)置多重條件來(lái)計(jì)算父子年齡，等等，以便于學(xué)生理解知識(shí)點(diǎn)。把各種問(wèn)題簡(jiǎn)單化，并與實(shí)際生活相聯(lián)系，從學(xué)生可感知的角度列舉事例，并加深對(duì)問(wèn)題的理解。

2.教學(xué)問(wèn)題興趣化，“看得見(jiàn)，摸得著”

學(xué)生對(duì)各種“看得見(jiàn)，摸得著”并富有趣味性的事物，能夠較快地接受，喜歡嘗試探究他們所未知的世界。他們對(duì)感興趣的東西往往更樂(lè)于去學(xué)習(xí)和參與，也更容易接受。所以，教材內(nèi)容如枯燥無(wú)味、難于理解，他們的學(xué)習(xí)興趣就會(huì)大打折扣。新版教材內(nèi)容明顯區(qū)別于舊版教材，與各種知識(shí)點(diǎn)相應(yīng)配備的相關(guān)內(nèi)容都接近初中生的實(shí)際生活且充滿樂(lè)趣，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)，更是數(shù)學(xué)建模的啟蒙教育。比如，在某市郊區(qū)一條公共道路的同一側(cè)，有兩個(gè)新開(kāi)發(fā)的住宅區(qū)，由于政府配套設(shè)施不完善，考慮在此設(shè)置一個(gè)公交站點(diǎn)以解決居民出行問(wèn)題。為此，出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：如何在這條公共道路選址，才能使兩個(gè)新建住宅區(qū)到公交站點(diǎn)的距離之和最小。

面對(duì)這一問(wèn)題，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想來(lái)解決。在此案例中，我們可以把兩個(gè)住宅區(qū)看作是A、B兩點(diǎn)，把公共道路看作是一條直線，把生活實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一道幾何建模問(wèn)題，即如何在圖3模型中的直線上尋找一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離最小。

3.挖掘教材中數(shù)學(xué)建模的典范

我國(guó)古代有一些建模精品，如“勾股方圓圖”；教材中的“踢球?qū)ふ易罡唿c(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)”等，這些均是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行各種數(shù)學(xué)建模的有效工具，可以有效啟發(fā)學(xué)生的各種建模思想。教學(xué)中，我們可以把現(xiàn)實(shí)生活中的各種問(wèn)題有效地轉(zhuǎn)換成各種數(shù)據(jù)模型，使之成為解決實(shí)際問(wèn)題的“成品”。而這些經(jīng)過(guò)建模的“成品”因貼近生活，學(xué)生也易于掌握與理解。學(xué)生運(yùn)用建模知識(shí)解答問(wèn)題時(shí)，既能培養(yǎng)了他們利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，又啟發(fā)了他們的思維，能夠不斷完善自己所學(xué)的建模知識(shí)。可見(jiàn)，在利用建模思想解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生扮演了微型研究中的“科研學(xué)者”“設(shè)計(jì)師”等角色，有利于學(xué)生創(chuàng)新思維、提高能力。

4.學(xué)會(huì)在生活中提煉建模素材

教學(xué)中，教師要把握一個(gè)原則，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)源于生活并運(yùn)用于生活，讓學(xué)生從中尋找到解決問(wèn)題的建模方法，激發(fā)學(xué)生對(duì)各種數(shù)學(xué)模型的遐想與創(chuàng)造。在例題講解過(guò)程中，通過(guò)對(duì)生活中各種案例的剖析，學(xué)生學(xué)得更加輕松了。如生活中的購(gòu)房貸款問(wèn)題；天氣溫度隨著海拔高度的不同而不同等，這些都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)問(wèn)題。再如，如何測(cè)量樓房的高度？這是一個(gè)三角形模型。詩(shī)中有云：“欲窮千里目，更上一層樓。”我們可以把地球看成是一個(gè)圓，樓是過(guò)圓心的一條線段，“一千里”是圓上的一段弧BD，人眼到目標(biāo)的視線可以看成是圓的一條切線AB（見(jiàn)圖4）。教師要善于將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系，以提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，人們借助計(jì)算機(jī)技術(shù)構(gòu)建各種數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題已變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)。在教學(xué)中，教師要善于思考，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，利用各種數(shù)學(xué)建模方法來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與綜合素質(zhì)。

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