入乎其內(nèi) 出乎其外

【摘 要】“正方形中的45°美”一課通過一個(gè)基本圖形的變換，以核心知識(shí)點(diǎn)為線索展開變式教學(xué)，將核心思想方法穿插其間，通過數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與變化，既“入乎其內(nèi)”，又“出乎其外”，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、小心求證，直抵?jǐn)?shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型；本質(zhì)特征；入乎其內(nèi)；出乎其外；課例評(píng)析

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）33-0130-03

【作者簡(jiǎn)介】章曉東，江蘇省無錫市甘露學(xué)校（江蘇無錫，214117）校長(zhǎng)，江蘇省特級(jí)教師，江蘇省首批基礎(chǔ)教育課程改革先進(jìn)個(gè)人，省教育廳教師培訓(xùn)中心“送培到市縣”專家組成員，常熟理工學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院兼職教授。

前不久，我有幸參加了江蘇教育報(bào)刊總社與江蘇省中小學(xué)教研室聯(lián)合主辦的“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學(xué)展評(píng)活動(dòng)，對(duì)王湘云老師的一節(jié)數(shù)學(xué)課“正方形中的45°美”印象頗深。

這節(jié)課通過正方形與一個(gè)45°角疊合而成的圖形的變換（旋轉(zhuǎn)、翻折），以核心知識(shí)點(diǎn)（正方形、全等三角形、45°角）為線索展開變式教學(xué)，將核心思想方法（類比、特殊到一般、截長(zhǎng)補(bǔ)短法）穿插其間，通過數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與變化，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、小心求證，直抵?jǐn)?shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、入乎其內(nèi)，從“建?！钡健白R(shí)模”

1.構(gòu)建模型。

王老師一開始就給出了一個(gè)正方形，問學(xué)生它有哪些性質(zhì)？顯然，學(xué)生很容易回答四個(gè)角都是直角，四條邊相等。這樣做的好處是面向全體學(xué)生，知識(shí)起點(diǎn)低，能夠激活學(xué)生已有的知識(shí)積淀，讓每個(gè)學(xué)生都能夠獲得成功的體驗(yàn)。在這個(gè)基礎(chǔ)上，王老師將三角板中45°角的頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)A重合，將角的一邊與正方形的一邊AB重合（特殊位置），再旋轉(zhuǎn)到一般位置（幾何畫板演示），從而得到本課的一個(gè)重要的基本圖形，參見本刊前面王湘云老師的文章中的圖1。

接下來，王老師引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測(cè)：在將45°角繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，△EFC的周長(zhǎng)是否會(huì)發(fā)生改變。有學(xué)生猜測(cè)△EFC的周長(zhǎng)等于兩個(gè)邊長(zhǎng)，關(guān)鍵在于證EF=BE+DF。教師讓學(xué)生上講臺(tái)用幾何畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，拖動(dòng)點(diǎn)E，使45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生在他喜歡的位置停下來，請(qǐng)其他學(xué)生注意觀察測(cè)量數(shù)據(jù)EF與BE+DF的變化，結(jié)果發(fā)現(xiàn)無論在特殊位置還是一般位置，兩者的長(zhǎng)度是相等的。然后，學(xué)生通過“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法中的“補(bǔ)短法”證明了猜測(cè)的結(jié)論。學(xué)生經(jīng)歷了基本圖形呈現(xiàn)、大膽猜測(cè)、操作測(cè)量（合情推理）、證明驗(yàn)證（演繹推理）、數(shù)學(xué)思想方法提煉的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。整個(gè)過程“以學(xué)定教、以教促學(xué)”，一氣呵成地奠定了本課的基本數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)學(xué)習(xí)作了很好的鋪墊。

這個(gè)數(shù)學(xué)模型的核心知識(shí)點(diǎn)是正方形中AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∠EAF=45°以及建立在核心知識(shí)點(diǎn)上的核心思想方法，如特殊到一般，二次全等，截長(zhǎng)補(bǔ)短法，從而完成了一個(gè)基本模型的構(gòu)建，雖然對(duì)學(xué)生來說還只是停留在淺層次的解決問題的層面，還無法理解整個(gè)模型的數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，但畢竟有了初步的成功體驗(yàn)。

可見，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)由淺入深，螺旋遞進(jìn)的理解、探究和解決問題，進(jìn)而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)常常是從一個(gè)基本問題出發(fā)再逐漸進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情景中去的。

2.識(shí)別模型。

王老師緊接著提出：在45°角的頂點(diǎn)繞點(diǎn)A逆時(shí)針繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，圖形發(fā)生了什么變化？讓學(xué)生仔細(xì)觀察，動(dòng)手畫圖，親身體驗(yàn)45°角與正方形∠CAB重合再旋轉(zhuǎn)到形外的過程。而且在問題的設(shè)計(jì)上更加開放，如教師問：若繼續(xù)連接EF，你想研究什么問題？有學(xué)生說想繼續(xù)研究BE+DF是否還等于EF？馬上有學(xué)生提出不同意見（觀察度量），并猜想BE-DF可能等于EF。這時(shí)教師又讓學(xué)生通過幾何畫板的測(cè)量功能驗(yàn)證了這個(gè)新的結(jié)論。當(dāng)學(xué)生在用截長(zhǎng)法證明結(jié)論的過程中思維出現(xiàn)卡殼時(shí)，教師很智慧地把問題拋給學(xué)生：誰可以幫助一下？馬上有學(xué)生幫助解決了。這樣的生生互動(dòng)，師生互動(dòng)常常出現(xiàn)在王老師的課堂里，不斷地推動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)向深度進(jìn)行。

通過教師的不斷追問，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的識(shí)別能力增強(qiáng)了，對(duì)模型的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性也越來越清晰了。學(xué)生不僅知道了“形變法不變，全等沒變”，更慢慢地知道了內(nèi)隱在“方法不變”背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)是“因?yàn)榫€段的長(zhǎng)度和角的度數(shù)沒變”（正方形與45°角）。如果王老師能夠在這里再追問一下，△EFC的周長(zhǎng)還會(huì)是正方形邊長(zhǎng)的兩倍嗎？如果不是，則還會(huì)是定值嗎？這樣做，就會(huì)很好地呼應(yīng)例題1提出的猜想，讓學(xué)生感悟，在圖形變化中，雖然方法沒變，但有些結(jié)論卻變化了。

二、出乎其外，從“用?！钡健俺瞿！?/p>

1.運(yùn)用模型。

我們?cè)賮砜赐趵蠋熅脑O(shè)計(jì)的第三個(gè)例題：如王文中圖5，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，E是BC邊上的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊到△AFE，延長(zhǎng)EF交DC于點(diǎn)G，連接AG。探究：你能得到哪些結(jié)論？

此題的圖形和例題1幾乎是一模一樣的，表面上看似乎條件也發(fā)生了變化，題目中原先已知的45°角不見了（其實(shí)是被折疊的條件隱藏了），∠EAG“化動(dòng)為靜”了（E點(diǎn)固定了，成為BC的中點(diǎn)），邊長(zhǎng)也告訴你是12了，條件增加了，背景也復(fù)雜了些（增加了非本質(zhì)特征）。但圖形中本質(zhì)的核心條件一點(diǎn)都沒變，如正方形中AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，外加被折疊隱藏的∠EAG=45°，所以核心的方法沒變（截長(zhǎng)補(bǔ)短法），核心的結(jié)論沒變（EG=DG+BE，△EGC的周長(zhǎng)是正方形邊長(zhǎng)的兩倍）。

如果王老師在這里還是緊緊扣住數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生來回顧總結(jié)基于“正方形和45°角”這樣三個(gè)特殊的數(shù)學(xué)模型，而不是對(duì)例題3進(jìn)行問題發(fā)散（盡管留到課后思考好了），則會(huì)給學(xué)生留下足夠的時(shí)間來發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。一是核心知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)：蘊(yùn)含在正方形中的核心條件是AB=AD，∠B=∠D=90°，本質(zhì)的條件其實(shí)是∠B+∠D=90°+90°=180°，這是一次全等的重要條件，還有∠BAD=90°及外加的∠EAF=45°（圖5中是∠EAG，以下同），其實(shí)本質(zhì)的條件是∠EAF=∠BAD，這是二次全等的重要條件，這才是數(shù)學(xué)模型最本質(zhì)的特征，也是后續(xù)探究特殊模型到一般模型的基礎(chǔ)。二是核心方法的總結(jié)：三個(gè)例題的方法既“求同”（都統(tǒng)稱是截長(zhǎng)補(bǔ)短法），又“存異”，需要學(xué)生靈活運(yùn)用，如例題1中用了補(bǔ)短法，因?yàn)榻亻L(zhǎng)法行不通，而例題2中使用的卻是截長(zhǎng)法，例題1中過點(diǎn)A作EF的垂線段（也是截長(zhǎng)法），但也行不通，但例題3中的折疊，正是作垂線段（截長(zhǎng)法）的體現(xiàn)。三是核心結(jié)論的總結(jié)：當(dāng)E點(diǎn)在正方形BC邊上（如例1例3），則EF=BE+DF（EG=DG+BE），△EFC（△EGC）的周長(zhǎng)是正方形邊長(zhǎng)BC的2倍（定值），當(dāng)E點(diǎn)在正方形BC邊上的延長(zhǎng)線上（如例2），則結(jié)論變?yōu)锽E-DF=EF，△EFC的周長(zhǎng)是BE的2倍（非定值）。如果教師能有時(shí)間在總結(jié)中進(jìn)一步揭示三個(gè)問題的同一性與差異性，將使學(xué)生的思維更具深刻性和靈活性。

2.跳出模型。

正如王老師在教學(xué)結(jié)束時(shí)所說，若保持圖形和結(jié)論的同一性，我們可以繼續(xù)做如下研究：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=30°。求證：EF=BE+FD。若使問題（模型）更具有一般性，則可以探究：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=■∠BAD，圖1中的結(jié)論是否仍然成立？其實(shí)還可以繼續(xù)追問（如圖1、2）：如果逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠EAF，使得E點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上結(jié)果又如何呢？甚至還可以引導(dǎo)學(xué)生課后思考：在原有條件不變的前提下，四邊形ABCD（如圖2）變成五邊形、六邊形……，結(jié)論是否發(fā)生變化？

另外，有學(xué)生提出，我們今天探究的是正方形中與45°角相關(guān)的問題，我還想繼續(xù)研究在正方形中若∠EAF為30°或60°特殊角時(shí)，圖形中存在什么結(jié)論？甚至有學(xué)生提出正三角形中與30°相關(guān)的問題是不是有類似的結(jié)論呢？即：如圖3，在正三角形ABC中，∠DAE=30°，試探究BD、DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系。王老師在教學(xué)過程中不斷引導(dǎo)學(xué)生做一個(gè)快樂的發(fā)現(xiàn)者、學(xué)習(xí)的建構(gòu)者，建構(gòu)自己的知識(shí)，思考、尋找自己的答案，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步研究的興趣并確定研究的方向。在這樣的教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了從構(gòu)建特殊數(shù)學(xué)模型到探究一般數(shù)學(xué)模型甚至還超越數(shù)學(xué)模型的研究過程。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程從某種意義上說是學(xué)生理解領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程。數(shù)學(xué)本質(zhì)雖然普適和樸實(shí)，但常常內(nèi)隱于表象之中。我們?cè)跀?shù)學(xué)專題教學(xué)中，需要從基本的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，讓學(xué)生逐漸領(lǐng)悟蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想，然后變換不同的背景、角度進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生“淡化技巧，注重本質(zhì)”，從而使其非本質(zhì)特征逐漸淡化，本質(zhì)特征逐漸凸顯。從長(zhǎng)期的意義上來講，真正影響一個(gè)學(xué)生的思想、行為是在學(xué)習(xí)過程中所形成的習(xí)慣、思維方法，而不是數(shù)學(xué)模型本身，所以我們必須挖掘技巧背后的問題解決的本質(zhì)，才能真正意義上地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

只有這樣，學(xué)生才能真正做到既“入乎其內(nèi)”（入模），構(gòu)建基本的數(shù)學(xué)模型，理解數(shù)學(xué)方法與技巧，體現(xiàn)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性；又“出乎其外”（出模），跳出特殊的數(shù)學(xué)模型，走向更加一般的數(shù)學(xué)模型，甚至提出并構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”的境界，從而讓學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)與思想，彰顯思維的靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，“讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生”。