協(xié)同學(xué)，陰陽互變的Lorenz模型和太極數(shù)學(xué)

張一方

(云南大學(xué)物理系，云南昆明　650091)

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協(xié)同學(xué)，陰陽互變的Lorenz模型和太極數(shù)學(xué)

張一方

(云南大學(xué)物理系，云南昆明650091)

[摘要]首先討論協(xié)同學(xué)的中華傳統(tǒng)文化基礎(chǔ).其次研究由協(xié)同學(xué)定量導(dǎo)出陰陽互變的Lorenz模型.由此說明生命、宇宙都在于混沌中的協(xié)同.第三提出太極數(shù)學(xué)和循環(huán).第四探討易和協(xié)同學(xué)的推廣研究.最后總結(jié)并指出易和協(xié)同學(xué)的一致性.

[關(guān)鍵詞]協(xié)同學(xué)；Lorenz模型；中華傳統(tǒng)文化；和諧；易；太極圖

0引言

哈肯提出的協(xié)同學(xué)是一個應(yīng)用非常廣泛的橫向科學(xué)[1,2].筆者討論了協(xié)同學(xué)及其基本方程和應(yīng)用，由此說明生命在于混沌中的協(xié)同[3].中華傳統(tǒng)文化自古就有協(xié)同及與之相關(guān)的思想傳統(tǒng).《尚書.湯誓》中的“有眾率怠弗協(xié)”，《孟子》中的“天時不如地利，地利不如人和”，都是強(qiáng)調(diào)協(xié)力同心的重要性.揚(yáng)雄的《太玄·玄數(shù)》中的“聲律相協(xié)而八音生”，指出美妙的音樂來源于聲音的協(xié)調(diào).《后漢書·呂布傳》中的“將軍宜與協(xié)同策謀，共存大計”，更是直接指明用兵決策應(yīng)當(dāng)協(xié)同商議.

要協(xié)力同心就必須具備某些條件，于是由此衍變出一系列的思想：寬容、忍讓、和諧、中庸等.周成王告誡君陳說：“必有忍，其乃有濟(jì)；有容，德乃大.”意思是必須有忍讓性，事情才能辦成；有度量，道德才能高尚.《左傳·昭公元年》中的“魯以相忍為國也”，意思是魯國以相互忍讓來治理國家.孔子說：“百行之本，忍之為上.”孔子在《中庸》中又說：“和也者，天下之大道也.”并指出：“喜怒哀樂之未發(fā)，謂之中；發(fā)而皆中節(jié)，謂之和.中也者，天下之大本也；和也者，天下之達(dá)道也.致中和，天地位焉，萬物育焉.”意思是做各種事情，最基本的態(tài)度是忍讓.只有達(dá)到“中和”，天地萬物才能自然發(fā)展.

作為六經(jīng)之首的易經(jīng)，其核心包含三重意義：變易，“易者，易也，變易也”(《周易乾鑿度》)；不易，恒久不變的道(自然規(guī)律)；簡易.在易經(jīng)中，天地山澤等最基本的八卦，都是一些自然現(xiàn)象.“有天地，然后萬物生焉.”它們相互作用，循環(huán)變化就形成五彩繽紛的大千世界.

老莊哲學(xué)以道為中心，深刻論述了人類應(yīng)該順應(yīng)自然的超前思想.道是“萬物之奧”，“萬物之母”，“萬物莫不遵道”.它是不變的自然規(guī)律.人作為自然的一部分，是天地人三才之一，順之則泰、吉，逆之則否、兇.易經(jīng)是世界上第一部論述人天觀的書.它及其中的卦闡述的就是人與自然的關(guān)系.如果“賁”文過飾分，征服自然，而任意“剝”奪，則將自作自受，自取“復(fù)”亡.只有“無妄”、“謙”，才能“大畜”，興旺發(fā)達(dá).“同人”(上下協(xié)同)，則“大有”(長久存在).“易與天地準(zhǔn)，故能彌綸天地之道.仰以觀于天文，俯以察于地理，是故知幽明之故，……與天地相似，故不違(自然規(guī)律).知周乎萬物而道濟(jì)天下，故不過(過分索取)……樂天知命，故不憂.安土敦乎仁，故能愛.”(《易·系辭上》)不憂、能愛應(yīng)是我們對待自然的態(tài)度.總之，不易的道是自然法則，是宇宙萬物形成的原因，也是它們變化、變易的規(guī)律.人類必須遵循自然法則，這是最基本、最簡易的道理.易學(xué)的根本是生生不息，持續(xù)發(fā)展.

在以老莊哲學(xué)為代表的中國傳統(tǒng)理想中，最完美的未來模式是人與自然的完全和諧.老子說：“上善若水，水善利萬物而不爭.”莊子說：“道者，萬物之所由也.庶物失之者死，得之者生；為事逆之者敗，順之者成.”(《漁父》) “天地有大美而不言，四時有明法而不議，萬物有成理而不說.圣人者，原天地之美，而達(dá)萬物之理.是故至人無為，大圣不作，觀于天地之謂也.”(《知北游》)因此，“知天之所為，知人之所為者，至矣！”(《大宗師》)即知彼知己，順乎自然，才是最高明、最具有深遠(yuǎn)意義的大德.“知人者智，自知者明.”(《老子三十三章》)，人與自然和平相處，才是最明智的人.老莊哲學(xué)的無為而治，道法自然，順應(yīng)天理，符合人心，實在是一種十分高明的協(xié)同哲學(xué).這與近年熱烈討論的“社會與自然協(xié)調(diào)發(fā)展”模式是完全一致的.

西漢董仲舒指出“道必歸于和”的思想.他認(rèn)為：和是天地之道的根本.“夫德莫大于和，而道莫正于中.中者，天地之美達(dá)理也.”“舉天地之道而美于和.”陰陽調(diào)和的中和狀態(tài)是社會長治久安、謹(jǐn)守王道、慎行德政的理論基礎(chǔ)，是人類修養(yǎng)的最大的德.協(xié)調(diào)、和諧是中華傳統(tǒng)文化的精髓.老莊、佛教、儒墨等均主張人與自然、人與社會、人與人、人的心身都要和諧.

中華傳統(tǒng)文化認(rèn)為“和”是自然生化的規(guī)律.有無相和則生陰陽，陰陽相和則生天地，天地相和則生萬物.“和”是養(yǎng)生之道的根本.《內(nèi)經(jīng)》指出：“氣和而生有，神乃自生.”“和”可使心身相合，陰陽調(diào)和，經(jīng)絡(luò)通暢，氣血順和，使人性命雙修.“和”是修身的首要，使天地人心相和，心平氣和，萬物親和，才能生浩然之氣.因此，“和”是天人合一的橋梁，是天地合德、日月和明、四時合序的紐帶.

《易經(jīng)》乾卦中有：“大哉乾元，萬物資始，乃統(tǒng)天.云行雨施，品物流形……乾道變化，各正性命，保合太和，乃利貞.首出庶物，萬國咸寧.”乾卦中的“元亨利貞”四德，敘述的是“元”為萬物的開始；“亨”為萬物的生長；“利”為萬物的成熟；“貞”為萬物的完成.它們指出天地萬物各按照其本性，井然有序，生生不息，各得其所.這是一種宇宙社會的大和諧，宇宙協(xié)同的大交響樂.《易經(jīng)·系辭下》說：“天地氤氳，萬物化醇；男女構(gòu)精，萬物化生.”它指出“和能生物”的道理.和能結(jié)合眾多資源創(chuàng)造出新的品質(zhì)、新的事物.這是和諧的力量、和諧的偉大.

此外，眾多的中國成語，“統(tǒng)籌兼顧”，“群策群力”，“同舟共濟(jì)”，“集思廣益”，“集腋成裘”，“聚沙成塔”，“眾志成城”，“眾擎易舉”，“眾人拾柴火焰高”等，都體現(xiàn)了協(xié)同思想已經(jīng)深深融入華夏文化傳統(tǒng)中.

1協(xié)同學(xué)及陰陽互變的Lorenz模型

用協(xié)同學(xué)中的單模激光方程[1]

b'=-kb-i∑gμαμ+F(t),

αμ'=γαμ+igμ*bσμ+Γμ(t),

αμ'=γ11(d0-σμ)+2i(gμb*-c.c.)+Γσ,μ

(1)

其中b是場的振幅，αμ是原子的偶極矩，αμ是原子的反轉(zhuǎn)數(shù).當(dāng)k<0時，可以描述激光及其類似的有序系統(tǒng)的產(chǎn)生.

設(shè)b=x, ∑αμ=y, σμ=z, 則(1)可以化為

x'=-kx-ay+F(t),

y'=-by+cxz+Γ(t),

z'=A-dz+exy+Γ1(t).

(2)

當(dāng)我們略去隨機(jī)項F(t)和Γ(t),Γ1(t),并且令z=A-dz，(2)就可以化為Lorenz方程

x'=-k(x+y),

y'=-xz-y+rx,

z'=xy-dz.

(3)

Lorenz方程導(dǎo)致著名的Lorenz模型(圖1).它像一只十分靈巧敏捷的蝴蝶的兩片翅膀，每片各自圍繞著原來的一個不動點旋轉(zhuǎn).運(yùn)動軌道在一片中由外向內(nèi)沿一個方向繞到中心附近后，“隨機(jī)”地跳到另一片的外緣沿相反方向繼續(xù)向內(nèi)旋轉(zhuǎn).然后周而復(fù)始，再突然跳回原來那片的外緣.這是非線性動力學(xué)中的一種奇怪吸引子，它的分維為2.06.這個模型可以非常生動地描述三維空間中陰陽的互相轉(zhuǎn)化.

圖1　Lorenz模型

由協(xié)同學(xué)的基本方程可以定量導(dǎo)出Lorenz方程和Lorenz模型，因此具有其各種特征.哈肯已經(jīng)指出描述單模激光的方程與Lorenz方程是等效的[2].由此可以描述大腦的形成和功能，其中的兩翼相應(yīng)于兩儀，對應(yīng)大腦的兩個半球，兩翼之間的跳來跳去形象地描述思維[4,5].并且大腦協(xié)同學(xué)具有三個層次：大腦的結(jié)構(gòu)、活動和思維.進(jìn)而我們定量分析了生物協(xié)同學(xué)及種群動力學(xué)，并由Lorenz模型可以描述兩種種群的變化關(guān)系.當(dāng)取絕熱近似時，還可以導(dǎo)致種群動力學(xué)的不同模型，并指出保護(hù)瀕危物種的兩條出路.因此，生物協(xié)同學(xué)能夠深刻揭示不同物種之間，既競爭又協(xié)同的復(fù)雜的非線性關(guān)系.進(jìn)一步可以把氣功作為一種心身協(xié)同學(xué)，人體協(xié)同，大腦是指揮.并且應(yīng)用于肺的形成，輿論聚焦于兩種等各種對稱結(jié)構(gòu)的形成等.這都是由協(xié)同、混沌產(chǎn)生對稱.由此說明生命、甚至宇宙都在于混沌中的協(xié)同.

筆者提出協(xié)同學(xué)可以成為老莊哲學(xué)、易經(jīng)、中醫(yī)、氣功及互助論等和諧、統(tǒng)一哲學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)[3].并且研究過人-自然協(xié)同學(xué)[6]、社會演化方程和中國經(jīng)濟(jì)改革的協(xié)同理論[7]、戰(zhàn)爭協(xié)同學(xué)和《孫子兵法》中取勝的最小熵原理[8]、社會協(xié)同學(xué)[9]等.

由協(xié)同學(xué)得到Lotka-Volterra(LV)等非線性方程組，相應(yīng)于陰陽互相消長.進(jìn)一步建立各種周期的泛理論.

2太極數(shù)學(xué)和循環(huán)

太極圖和易經(jīng)、八卦、64卦都是一種循環(huán)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)就是循環(huán)代數(shù)、循環(huán)數(shù)學(xué).最簡單的例子是時鐘算術(shù)，它把無窮的直線點化為有限的封閉環(huán)；例如11+5=4.其中數(shù)學(xué)可以是三角函數(shù).循環(huán)幾何對應(yīng)于圓、環(huán)、球、超球等，而圓是最簡單的循環(huán).球面算數(shù)有多種循環(huán).進(jìn)一步是球面幾何、球面代數(shù)、球面分析等.而且它可以推廣、發(fā)展為循環(huán)代數(shù)、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、科學(xué)等.在一定程度DNA也存在循環(huán)，具有4種基本元.這些是把無限化為有限的循環(huán).

這還可以聯(lián)系于符號動力學(xué)，n個字母對應(yīng)n元循環(huán)，陰陽是2元，五行是5元等.筆者研究后指出易經(jīng)就是一種完全符合現(xiàn)代科學(xué)的古老的符號動力學(xué)，由此可以方便地揭示易理中的各種規(guī)律，開拓對傳統(tǒng)文化，如太玄、五行等的研究，并對現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展有所啟示[10].

在一定程度，進(jìn)位制也是一種循環(huán)，循環(huán)數(shù)學(xué)對應(yīng)一般的進(jìn)位制.1969年6月筆者得到規(guī)律：在任何進(jìn)位制中，1)如果數(shù)a是10n-1的因數(shù)，則任意數(shù)是否是a的倍數(shù)，只要看這個任意數(shù)以n為一節(jié)是否能夠被a除盡.2)如果數(shù)a是10n的因數(shù)，則任意數(shù)是否是a的倍數(shù)，只要看這個任意數(shù)的數(shù)尾n位是否能夠被a除盡.3)任意數(shù)an...a2a1a0是否是a的倍數(shù)，只要看這個任意數(shù)以數(shù)位n+1，2×n為一節(jié)，各節(jié)相加所得數(shù)(an+..+a2+a1+a0)moda是否能夠被a除盡，就是數(shù)n的倍數(shù)，即(an...a2a1a0)moda=0.

二進(jìn)位制對應(yīng)陰陽.三進(jìn)位制對應(yīng)太玄，其基元都是三.四進(jìn)位制對應(yīng)四象，五進(jìn)位制對應(yīng)五行，七進(jìn)位制對應(yīng)音階，八進(jìn)位制對應(yīng)八卦，十二進(jìn)位制對應(yīng)時鐘，其它還有60進(jìn)位制等.

循環(huán)又聯(lián)系于周期性.這是實數(shù)對應(yīng)一維的直線化為平面的循環(huán)，推廣到二維即無限復(fù)平面對應(yīng)復(fù)球面，相應(yīng)于復(fù)數(shù)z=r0eit就是圓，z=aebt是對數(shù)螺線.推廣到高維就是n維平面化為n+1維超球.三維、高維時就是螺旋形循環(huán)、上升.高維循環(huán)數(shù)學(xué)對應(yīng)超循環(huán)論[11].

循環(huán)數(shù)學(xué)常常聯(lián)系于復(fù)數(shù)，特別是指數(shù)形式和三角函數(shù)形式，二者已經(jīng)有周期性，及復(fù)變函數(shù)(complexvariables).復(fù)數(shù)太極圖可能就是多葉的，對應(yīng)于三維空間雙葉太極圖[12].相應(yīng)的八卦、64卦及九宮八卦五行圖[13]等發(fā)展為三維的，其中九宮八卦五行圖第二葉的矩陣形式就是：

(4)

陰陽是二維流形，這是平面拓?fù)?，S形的太極圖不變.平面太極方程加第三維z=at就是空間方程.DNA二維投影也類似太極圖.

復(fù)數(shù)和矩陣都對應(yīng)平面，復(fù)數(shù)是域，矩陣也可以構(gòu)成數(shù)域[14,15].而矩陣元可以是任意數(shù)、代數(shù)式等.復(fù)平面相應(yīng)于Riemann球的表面，稱為球極平面射影(stereographicprojection)[16].其中Cauchy-Goursat定理指出：對單連通域，函數(shù)f(z)沿任何一條封閉曲線C的積分為零

(5)

對多連通域，

(6)

其中C與Ck均取正方向.

拓?fù)鋵W(xué)中循環(huán)可以是一種回路、環(huán)(loop)，因此循環(huán)數(shù)學(xué)聯(lián)系于弦，循環(huán)粒子聯(lián)系于閉弦.所以它可以結(jié)合任何循環(huán)理論和循環(huán)現(xiàn)象.循環(huán)宇宙即宇宙有限.易理的“否極泰來”，“物極必反”，其實整個東方文明，無論是印度或者中國都是基于循環(huán)觀點.

太極對應(yīng)混沌，分為兩儀，形成太極圖中陰陽互變的Lorenz方程等.從人的腦電到雙星演化、棒旋星系SBC，太極圖的形式廣泛存在于大千世界中[13].太極圖中為太陰、太陽，二點為少陰、少陽.陰中有陽，陽中有陰，二者互補(bǔ)、轉(zhuǎn)化.陰陽是分形，發(fā)展則其中又有陰陽.相應(yīng)于太極圖中的魚眼又是太極.太極圖由協(xié)同學(xué)描述，對應(yīng)宇宙、時空，整個世界和諧一致.

3易和協(xié)同學(xué)的推廣研究

易學(xué)的原理(規(guī)律)主要包括[17,18]：1.對稱；2.互補(bǔ)；3.轉(zhuǎn)化；4.不變；5.簡易.此外具有預(yù)測的幾率性，數(shù)學(xué)的模糊性等.并且可以用符號動力學(xué)[10]解釋這些原理，及劉牧等的卦變.

已知圖論中的圖G=(V,E)，其中V是點集，E是邊集[19].在此提出易圖論，其基元作為點集是陰陽二爻，邊集是彼此間的關(guān)系.陰陽的完全圖是G=(2,1)，四象的完全圖是G=(4,6)，八卦的完全圖是G=(8,28)，64卦的完全圖是G=(64,2016)，可以描述的系統(tǒng)越來越復(fù)雜.太玄的基元是三畫，其完全圖是G=(3,3)和G=(9,36)等.在圖論中五行具有最完備的對稱性(圖2)[20]，不考慮方向時是一種Kuratowski圖，是符合所有結(jié)點的度數(shù)都是偶數(shù)的Euler圖.它的點連通度k(G)和邊連通度λ(G)都是4.五行如果都作為點，其完全圖是G=(5,10)，而且相生相克圖既是同構(gòu)圖，又是互補(bǔ)圖.這是作為無向圖.

圖2　五行生克模型

如果作為有向圖，太極圖是最簡單的陰陽二點彼此循環(huán)，G=(2,2).如果五行都作為一種循環(huán)，其圖G=(5,15).用圖論的矩陣表示，對五行無向圖相應(yīng)矩陣各元aij≡1；對有向圖，相應(yīng)矩陣為：

(7)

對五行G=(5,10)無向圖相應(yīng)矩陣除對角元aii=0外，各元恒為1；對有向圖，相應(yīng)矩陣為：

(8)

進(jìn)而矩陣方法還可以非線性化.

由五行理論結(jié)合圖2，筆者提出社會進(jìn)步(民主、公平、穩(wěn)定)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展、科技、教育、環(huán)境相輔相成的社會可持續(xù)發(fā)展模式，并且討論相應(yīng)的東方經(jīng)濟(jì)學(xué)，非線性經(jīng)濟(jì)增長理論等[21,12].因為網(wǎng)絡(luò)由結(jié)點和連線組成，由易圖論可以發(fā)展易學(xué)的網(wǎng)絡(luò)理論，描述世界的復(fù)雜性.這類似中醫(yī)的網(wǎng)絡(luò)理論.

易的數(shù)學(xué)是23=8卦，26=64卦，推廣即an=M，其中a是基元數(shù)(如陰陽爻等)，n是每卦爻數(shù).這是a分叉.太玄亦然，34=81；這是三分叉，推廣即混沌.五行學(xué)說a=5，53=125，五分叉包羅萬象.七音符a=7，加上升降調(diào)共21個；對固定3/4，4/4調(diào)各有73=343，213和74，214.還有半拍、1/4拍、3/4拍，則對4/4就可能有n=16，即2116.所以音樂是十分豐富的.

榮格(C.G.Jung)討論的曼茶羅(mandala)圖已經(jīng)包括易與陰陽.煉金術(shù)(對應(yīng)道教)二重性中：其象征是日(陽性法則)、月(陰性法則)；而日月為易.物質(zhì)是硫磺和鹽.再加上第三種因子汞，則陰陽兼具[22]，并且對應(yīng)三元和道、太玄.由此陰陽、三元又聯(lián)系于化學(xué)[18].而原子核中質(zhì)子、中子也是一陽一陰，但奇?zhèn)€核子數(shù)的核不穩(wěn)定.

易經(jīng)及其方法對榮格的共時性(synchronicity，因果聯(lián)系的原則；內(nèi)在與外在事件同時發(fā)生的一種意義重大的巧合)概念的發(fā)展起了主要的推動性.榮格的八種人格對應(yīng)八卦.這又相應(yīng)于宏觀的天人合一和微觀的粒子結(jié)構(gòu)[23].

4總結(jié)

協(xié)同學(xué)研究整體性、整體運(yùn)動、整體狀態(tài).筆者提出的負(fù)物質(zhì)及相應(yīng)的正反粒子、負(fù)粒子及負(fù)反粒子四種物質(zhì)對應(yīng)于四象，組成整體最完美的對稱世界[24-28].廣義協(xié)同學(xué)還應(yīng)該研究結(jié)構(gòu)解體，熵極大，混沌，序參量向相反方向變化等相反或更深的領(lǐng)域.耗散結(jié)構(gòu)、混沌和超循環(huán)可以認(rèn)為是廣義協(xié)同學(xué)的三種結(jié)構(gòu).易經(jīng)作為具有整體性的系統(tǒng)論[3]，筆者提出易拓?fù)鋵W(xué)，并探討了系統(tǒng)論、控制論、信息論、突變論和混沌等五種被廣泛應(yīng)用的橫向理論與易的關(guān)系[29].對分形筆者討論了它的推廣及某些應(yīng)用，包括應(yīng)用于社會科學(xué)和文學(xué)，并且探索了宇觀-微觀分形、泛量子理論和對分形的展望[30].

更一般，任意兩個(多個)相關(guān)系統(tǒng)的強(qiáng)或弱協(xié)同學(xué).基本原則是協(xié)同，但協(xié)同學(xué)已經(jīng)包括競爭.具體原則是競爭中1)多數(shù)為主原則，僅有小漲落；2)力度原則.二者結(jié)合導(dǎo)致伺服原理.激光方程和各種可用于種、群的方法都可用于此及人-自然協(xié)同學(xué)[6]，可以討論其雙螺旋結(jié)構(gòu)及相應(yīng)的方程組，并且DNA可以由推廣的量子方程的解形成[31,32].

基于協(xié)同學(xué)的基本方程可以導(dǎo)致Lorenz方程和模型，由此形象描述陰陽互變.除這一定量關(guān)系外，作為橫跨各種領(lǐng)域的現(xiàn)代科學(xué)的協(xié)同學(xué)和作為中國傳統(tǒng)文化精髓的易學(xué)在本質(zhì)上都是基于合作協(xié)同而具有一致性.因此協(xié)同學(xué)可以廣泛應(yīng)用的領(lǐng)域，應(yīng)該也可能應(yīng)用易經(jīng).

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[責(zé)任編輯：閆昕]

Synergetics, Lorenz Model of Yin-Yang Enantiotropy and Mathematics of Taiji Figure

CHANG Yi-fang

(Department of Physics,Yunnan University, Kunming 650091, China)

Abstract：First, the base of Chinese traditional culture on synergetics is discussed. Next, it is investigated that the Lorenz model of Yin-Yang enantiotropy is quantitatively obtained from synergetics, which shows that life and Universe lie in cooperation in chaos. Third, the mathematics of the Taiji Figure and cycle is proposed. Fourth, the extension and investigation of Yi and synergetics are researched. Final, summary and the consistency between Yi and synergetics is proposed.

Key words：synergetics; corenz model; fhinese traditional culture; harmony; yi; taiji figure

[中圖分類號]R338

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1004-7077(2016)02-0001-07

[作者簡介]張一方(1947-)，男，云南大學(xué)物理系教授，主要從事理論物理研究.

[基金項目]國家自然科學(xué)基金項目(項目編號：11164033).

[收稿日期]2016-01-05