一道拋物線定直線問(wèn)題的再探究

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一道拋物線定直線問(wèn)題的再探究

福建省莆田第五中學(xué)(351100)鄭劍暉

《數(shù)學(xué)通訊》2014年第5、6期(上半月)文[1]由2014年《福建省高考“集結(jié)號(hào)”最后沖刺模擬卷》中的一道壓軸題給出了拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的關(guān)聯(lián)性質(zhì)及推廣，即結(jié)論1、2、3、4，并發(fā)現(xiàn)了拋物線另一優(yōu)美性質(zhì)，即結(jié)論5、6. 讀后頗受啟發(fā)，但覺(jué)意猶未盡.本文擬對(duì)這些結(jié)論進(jìn)行推廣，并進(jìn)一步探究拋物線在這一相同條件下的另一些優(yōu)美性質(zhì). 先把結(jié)論1～6抄錄如下：

已知點(diǎn)A、B為拋物線C：y2=2px(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，直線l1、l2分別過(guò)點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，點(diǎn)P為直線l1、l2的交點(diǎn).

結(jié)論1 若直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，則動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C的準(zhǔn)線上.

結(jié)論2若動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C的準(zhǔn)線上，則直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F.

結(jié)論3 若直線AB過(guò)定點(diǎn)Q(a,0)(a>0),則動(dòng)點(diǎn)P在定直線x=-a(a>0)上.

結(jié)論4若動(dòng)點(diǎn)P在定直線x=-a(a>0)上， 則直線AB過(guò)定點(diǎn)Q(a,0).

結(jié)論5若直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，則以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P.

結(jié)論6若以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，則直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F.

以上結(jié)論揭示了拋物線C的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線、類焦點(diǎn)與類準(zhǔn)線的關(guān)聯(lián)性質(zhì)，下面對(duì)以上性質(zhì)進(jìn)行推廣和再探究.

一、再探究1：探究結(jié)論的推廣

上述結(jié)論1、2分別是結(jié)論3、4的特殊情況，而結(jié)論3與結(jié)論4、結(jié)論5與結(jié)論6互為逆命題 .能否把結(jié)論3、4，結(jié)論5、6推廣到更一般的情形？

先看結(jié)論3、4，若把其中直線AB所過(guò)的“定點(diǎn)Q(a,0)”推廣為“定點(diǎn)Q(a,b)”，那么動(dòng)點(diǎn)P是否在某定直線上？

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0, y0)，則切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為y0y=p(x+x0). 若直線AB過(guò)定點(diǎn)Q(a,b)(b2<2pa)，則有by0=p(a+x0)，即p(x0+a)-by0=0.這表明動(dòng)點(diǎn)P(x0, y0)在定直線p(x+a)-by=0上； 反之，若點(diǎn)P(x0, y0)在定直線p(x+a)-by=0(b2<2pa) (在拋物線外部(不含焦點(diǎn)的區(qū)域)的部分)上，則有p(x0+a)-by0=0,即px0=by0-ap.代入直線AB的方程y0y=p(x+x0)，得y0y=px+by0-ap，即y0(y-b)=p(x-a).這表明直線AB過(guò)定點(diǎn)Q(a,b).由此可把結(jié)論3、4推廣為：

已知點(diǎn)A、B為拋物線C：y2=2px(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，直線l1、l2分別過(guò)點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，點(diǎn)P為直線l1、l2的交點(diǎn).

結(jié)論7直線AB過(guò)定點(diǎn)Q(a,b)(b2<2pa)，則動(dòng)點(diǎn)P在定直線p(x+a)-by=0上.

結(jié)論8若動(dòng)點(diǎn)P在定直線p(x+a)-by=0(b2<2pa)上,則直線AB過(guò)定點(diǎn)Q(a,b).

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，結(jié)論7、8分別為結(jié)論3、4.

對(duì)于結(jié)論5、6 ，其中“以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P”，即兩切線l1、l2的斜率k1、k2滿足k1k2=-1.若把其中直線AB所過(guò)的“焦點(diǎn)F”推廣為“類焦點(diǎn)Q(a,0)”，那么兩切線l1、l2的斜率k1、k2應(yīng)滿足什么條件？

綜上，可把結(jié)論5、6推廣為：

已知點(diǎn)A、B為拋物線C：y2=2px(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，直線l1、l2分別過(guò)點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，點(diǎn)P為直線l1、l2的交點(diǎn).

二、再探究2： 探究新結(jié)論

在上述結(jié)論的條件下，拋物線C還具有哪些優(yōu)美的性質(zhì)？經(jīng)探究，拋物線C還具有如下一些優(yōu)美的性質(zhì)：

已知點(diǎn)A、B為拋物線C：y2=2px(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，直線l1、l2分別過(guò)點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，點(diǎn)P為直線l1、l2的交點(diǎn).

結(jié)論11若直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，則分別以PA、PB為直徑的圓均過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F.

結(jié)論12若分別以PA、PB為直徑的圓均過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，則直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F.

結(jié)論15若直線AB過(guò)定點(diǎn)Q(a,0)(a>0)，且直線l1、PQ、l2的斜率k1、k2、k3均存在，則k1、k3、k2成等差數(shù)列,即k1+k2=2k3..

結(jié)論16若直線l1、PQ、l2的斜率k1、k3、k2均存在且成等差數(shù)列,即k1+k2=2k3.，則直線AB過(guò)定點(diǎn)Q(a,0)(a>0).

顯然，結(jié)論11、12是結(jié)論13、14的特殊情況，下面只證明結(jié)論13、14、15、16.

至此，我們完成了對(duì)文【1】的結(jié)論的推廣和再發(fā)現(xiàn).

參考文獻(xiàn)

[1]卓文隆.一道拋物線定直線問(wèn)題的推廣[J].數(shù)學(xué)通訊，2014(5、6)(上半月).