解幾中一類題不同的處理視角舉隅

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解幾中一類題不同的處理視角舉隅

江蘇省蘇州市吳縣中學(215151)張文海

向量作為現(xiàn)代數(shù)學的重要基礎進入高中數(shù)學知識體系后，不僅成為支撐數(shù)學學科知識體系的重點知識，也是研究許多重要數(shù)學問題強有力的工具之一.而“注重通性通法，淡化特殊技巧”、“在知識網(wǎng)絡交匯點設計試題”是近幾年來新高考命題的重要理念.本文擬從坐標、距離、向量三個角度分析處理解析幾何中的一類向量數(shù)量積或線段之積問題的解法，以供復習參考.

一、從“坐標”的角度轉化問題

平面向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重屬性，它融數(shù)形于一體，與解析幾何的本質一脈相承，所以聯(lián)系向量和解析幾何的重要橋梁就是坐標，利用坐標解向量與解析幾何的綜合題是通性通法之一.

圖1

(1)求橢圓C的方程；

二、從“距離”的角度轉化問題

(1)若A為橢圓的下頂點，求橢圓的離心率e；

解：(1)略.

圖2

(1)試建立適當?shù)淖鴺讼?，求動點P的軌跡E；

圖3

(x+4)2+y2-4=2[(x-4)2+y2]，化簡得(x-12)2+y2=124．

三、從“向量”的角度轉化問題

圓錐曲線中的定值問題一直是高考的熱點問題，由于定值一般沒有給出，這類題不僅考查邏輯思維和綜合運用知識的能力，還要具備較強的目標意識和轉化與化歸的能力．由于向量的模是數(shù)量，從而在解決線段長度問題時，可以通過把長度問題轉化為向量問題進行優(yōu)化處理．

例4設圓C:(x-3)2+(y-4)2=4，直線l1過定點A(1,0).

(1)若直線l1與圓C相切，求直線l1的方程；

(2)若直線l1與圓C相交于直線P,Q兩點，線段PQ的中點為M，又直線l1與直線l2:x+2y+2=0的交點為N，求證：AM·AN為定值．

圖4

解：(1)①若直線l1的斜率不存在，即直線l1的方程為x=1，符合題意．