從間接設(shè)元中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維——以華東師大版教材習(xí)題為例

☉海南省華僑中學(xué)　王明照

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從間接設(shè)元中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維——以華東師大版教材習(xí)題為例

☉海南省華僑中學(xué)王明照

筆者剛剛教完華東師大版七年級(jí)下冊(cè)第六章一元一次方程及第七章方程組，對(duì)于其中難點(diǎn)應(yīng)用題的講授有了更深一步的認(rèn)識(shí)，以前最多教學(xué)生要按以下步驟列方程解應(yīng)用題：審題—找等量關(guān)系—列方程—檢驗(yàn)—作答，這樣基本就可以把一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而也實(shí)現(xiàn)了一次數(shù)學(xué)建模的過程，同時(shí)也強(qiáng)調(diào)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，但在今年的教學(xué)中，筆者關(guān)注了學(xué)生容易忽略的地方，以往也容易一筆帶過的地方，那就是在審題后，如何設(shè)立適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)的問題，一般題目都是問什么設(shè)什么，直接設(shè)元，但是設(shè)立適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)可以使所列的方程大大簡(jiǎn)化，就是說當(dāng)直接設(shè)元很難列方程或列的方程很復(fù)雜時(shí)，我們可以采用間接設(shè)元，設(shè)對(duì)了未知數(shù)會(huì)給問題的解決帶來很大的方便.下面以華東師大版教材上的習(xí)題為例進(jìn)行說明.

例1（教材13頁練習(xí)1）學(xué)校田徑隊(duì)的小剛在400米跑測(cè)試時(shí)，先以6米/秒的速度跑完了大部分路程，最后以8米/秒的速度沖刺到達(dá)終點(diǎn)，成績(jī)?yōu)?分零5秒，問：小剛在沖刺階段花了多少時(shí)間？沖刺的路程是多少米？

分析：這道題里面有兩個(gè)等量關(guān)系：大部分的路程+沖刺路程=總路程400米；跑大部分路程的時(shí)間+沖刺的時(shí)間=65秒.根據(jù)哪個(gè)等量關(guān)系都可以，不過有難易之分.

解法1：設(shè)沖刺階段用了x秒，則原先用（65-x）秒，根據(jù)題意可得8x+6（65-x）=400，解得x=5.則沖刺路程為8× 5=40米，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

解法2：如果設(shè)沖刺的路程為x米，則大部分路程為（400-x）米，根據(jù)題意可得=65，解得x=40.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

點(diǎn)評(píng)：從這道題來看，間接設(shè)元列的方程比直接設(shè)元列的方程簡(jiǎn)潔得多.

例2（教材22頁復(fù)習(xí)題B組12題）從甲地到乙地公共汽車原需行駛7個(gè)小時(shí)，開通高速公路后，路程近了30千米，而車速平均每小時(shí)增加了30千米，只需4個(gè)小時(shí)即可到達(dá).求甲乙兩地之間高速公路的路程.

分析：這里面仍然有兩個(gè)等量關(guān)系：高速公路路程=普通公路路程-30；高速公路速度=普通公路速度+30.

解法1：設(shè)原來公共汽車的速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意可得7x=4（x+30）+30，解得x=50.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.則現(xiàn)在高速公路的長(zhǎng)度為4（x+30）=320（千米）.

解法2：設(shè)高速公路路程為x千米，則原路程為（x+ 30）千米，根據(jù)題意可得+30，解得x=320.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

例3（教材20頁第4題）一輛汽車從A地駛往B地，前三分之一的路段為普通公路，其余路段為高速公路，已知汽車在普通公路上行駛的速度60km/h，在高速公路上行駛的速度為100km/h，汽車從A地到B地一共行駛了2.2h.請(qǐng)你根據(jù)以上信息，就該汽車行駛的“路程”或“時(shí)間”，提出一個(gè)用二元一次方程組解決的問題，并寫出解答過程.

分析：這道題就是近年來很流行的開放性問題，可以求高速公路路程，也可以求在高速公路上跑的時(shí)間.假設(shè)本道題求高速公路的長(zhǎng)度.

解法1：設(shè)在普通公路行駛的時(shí)間為xh，則在高速公路上行駛的時(shí)間為（2.2-x）h，普通公路的長(zhǎng)度為60x，高速公路的長(zhǎng)度=100（2.2-x）.

根據(jù)等量關(guān)系：高速公路的長(zhǎng)度（占全長(zhǎng)三分之二）=普通公路的長(zhǎng)度（占全長(zhǎng)三分之一）×2，得到2×60x= 100×（2.2-x），解得x=1h.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意故普通公路行駛時(shí)間為1h，長(zhǎng)度為60km.高速公路的行駛時(shí)間為1.2h，長(zhǎng)度為1.2×100=120 km.

點(diǎn)評(píng)：此題還可以用二元一次方程組來求解..

例4（教材22頁復(fù)習(xí)題16題）一批樹苗按下列方法依次由各班領(lǐng)?。旱谝话嗳?00棵和余下的，第二班取200棵和余下的，第三班取300棵和余下的，……最后樹苗全部被取完，且各班的樹苗數(shù)都相等.求樹苗總數(shù)和班級(jí)數(shù).

解法1：設(shè)樹苗總數(shù)為x棵，則第一班取走的樹苗數(shù)為100+（棵）.

根據(jù)題意中各班的樹苗數(shù)量相等的條件可列式得班級(jí)數(shù)為8100÷900=9.即有9個(gè)班.

解法2：設(shè)有x個(gè)班，則第（x-1）個(gè)班取走了100（x-1）棵樹和剩下的，而第x個(gè)班剛好取完沒有剩下，于是第x個(gè)班一共取走了100x棵樹，剛好是第（x-1）個(gè)班取走了100（x-1）棵樹后剩下的，于是根據(jù)每個(gè)班取得樹木棵樹相等得到等量關(guān)系，列方程100（x-1）+×100x=100x，解得x=9.每班取走樹苗數(shù)為900.

點(diǎn)評(píng)：有時(shí)候直接設(shè)元在充分理解題意的基礎(chǔ)上列的方程反而更簡(jiǎn)單直接.

例5（教材17頁問題2）某校是三個(gè)年級(jí)為地震災(zāi)區(qū)捐款，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，七年級(jí)捐款數(shù)占全校三個(gè)年級(jí)捐款總數(shù)的，八年級(jí)捐款數(shù)是全校三個(gè)年級(jí)捐款數(shù)的平均數(shù)，已知九年級(jí)捐款1964元，求其他兩個(gè)年級(jí)的捐款數(shù).

解法2：若設(shè)八年級(jí)捐款x元，則全年級(jí)捐款3x元，七年級(jí)捐款×3x=x元，根據(jù)題意可得x+x+1964=3x，解得x=2455.

點(diǎn)評(píng)：可以看出，設(shè)未知數(shù)的方法是靈活的，是道訓(xùn)練思維靈活度的好題.

例6（一道中考題）一次越野賽跑中，當(dāng)李明跑了1600米時(shí)，小剛跑了1450米，此后兩人勻速跑的路程s（米）與時(shí)間t（秒）的關(guān)系如圖1所示，結(jié)合圖像解答下列問題：

（1）根據(jù)圖中信息，直接寫出EF與GD的比值：_____；

（2）求圖中s1和s0的值.

圖1

（2）解法1：由圖可知EF∥DG，則△CEF∽△CDG，所以，即3（s0-1600）=s1-1600①.

由①、②得s0=1750（米），s1=2050（米）.

教學(xué)反思：從上述的例題不難看出，設(shè)立一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)會(huì)給問題的解決帶來很大的方便，另外讓學(xué)生在解題結(jié)束后都要反思：能不能設(shè)另外的未知數(shù)求解？能不能有更好的解法？教師一點(diǎn)撥，學(xué)生思維一打開，不同的解題思維在交流中碰撞，就會(huì)可能產(chǎn)生比教師設(shè)想的最優(yōu)解法還要好，在有時(shí)間的情況下大膽讓學(xué)生去嘗試，不要怕麻煩，這樣他們的數(shù)學(xué)思維會(huì)越來越活躍，思考就會(huì)越來越深入，對(duì)培養(yǎng)他們的發(fā)散思維是個(gè)很好的訓(xùn)練途徑.

所以s1=2050（米）.

s0=1450+