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    改編習(xí)題注重關(guān)聯(lián),系統(tǒng)開發(fā)引領(lǐng)思考——以“勾股定理”相關(guān)編題為例

    2016-05-11 09:49:48浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年8期
    關(guān)鍵詞:編題手記勾股定理

    ☉浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學(xué) 陳 波

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    改編習(xí)題注重關(guān)聯(lián),系統(tǒng)開發(fā)引領(lǐng)思考——以“勾股定理”相關(guān)編題為例

    ☉浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學(xué)陳波

    華東師大鐘啟泉教授指出:“‘練習(xí)’的系統(tǒng)開發(fā)是每一個教師義不容辭的責(zé)任”“練習(xí)是一個系統(tǒng),應(yīng)當(dāng)把練習(xí)作為一個系統(tǒng)來開發(fā)”.基于上述認(rèn)識,我們在新學(xué)期“勾股定理”教學(xué)期間,有計劃地研制了一系列深度改編的習(xí)題,并在所在學(xué)校、班級積極實踐,取得了一定的教學(xué)效果,本文展示相關(guān)題例,并跟進(jìn)解讀闡釋設(shè)計意圖,供研討.

    一、題例展示與解讀說明

    題1:如圖1,在四邊形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°.

    圖1

    (1)求AC;

    (2)求證:△ACD是直角三角形;

    (3)求四邊形ABCD的面積.

    編題說明與教學(xué)手記:這道習(xí)題改編自教材原題,原題只要求四邊形ABCD的面積,根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)不少學(xué)困生往往找不到答題的思路,或者是直接“想當(dāng)然”認(rèn)為∠ACD是直角,從而造成“跳步解答”.基于上述教學(xué)現(xiàn)實,我們通過增設(shè)兩個小問,為學(xué)生設(shè)計了更為平緩的鋪墊,為一些學(xué)困生解決這類問題提供了方法上的引導(dǎo).

    題2:如圖2,在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F(xiàn)是CD上一點(diǎn),且CF=CD.

    圖2

    (1)若正方形ABCD的邊長為4,求AF、EF的長;

    (2)猜想△AEF的形狀,并說明理由;

    (3)取AF的中點(diǎn)G,連接EG,設(shè)EG=m,記正方形ABCD的面積為S,試用含m的式子表示S.

    編題說明與教學(xué)手記:這道習(xí)題源于教材,教材上一般都是直接設(shè)問“圖中有幾個直角三角形”,有些同學(xué)由于缺少深入的思考、演算,常常會缺少對△AEF的形狀的認(rèn)識.我們基于教學(xué)現(xiàn)實,重新增加了第一問,給正方形的邊長賦一個特殊數(shù)值,然后安排學(xué)生先計算、體驗一下相關(guān)線段的數(shù)據(jù),這樣可以對學(xué)生思考第二問有所啟示.然而就練習(xí)反饋情況來看,又出現(xiàn)一些學(xué)生缺少對并列式設(shè)問與遞進(jìn)式設(shè)問的理解,造成將第一問的結(jié)論直接代入第二問演算說明的問題.到了第三問,將問題從常量引向變量,從特殊走向一般,也是滲透學(xué)生即將要接觸的變量與函數(shù)思想.

    題3:如圖3,△ABC的三邊a、b、c滿足|a-3|+(b-4)2+(c-5)2=0.

    (1)求證△ABC是直角三角形;

    (2)求斜邊上的高;

    圖3

    (3)以△ABC的三邊為邊分別向外作正方形,它們的面積分別是S1、S2、S3,請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系;

    (4)以△ABC的三邊為直徑分別向外作3個半圓,通過計算分析這三個半圓的面積關(guān)系;

    (5)以AB為邊向△ABC外作△ABD,使△ABD為等腰直角三角形,畫圖分析并直接寫出AD的長;

    挑戰(zhàn):(以下兩題,供選擇一題解答)

    (6)若邊AB上有一點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線CH的對稱點(diǎn)B′落在線段AB上時,求AB′的長;

    (7)如圖4,分別以等腰Rt△ABC的邊AB、AC、BC為直徑畫半圓,若BC=a,求兩個月形圖案AGCE和BHCF的面積之和(圖中陰影部分).(用含a的式子表示)

    圖4

    編題說明與教學(xué)手記:前的問屬于基礎(chǔ)問題,第三、四、七問屬于一個系列的問題;第二、六問可看成是一個變式拓展的過程.安排給學(xué)生的解答時間是25分鐘,一個班55個學(xué)生,有5人能全部答對;答對4問的全班達(dá)到40人,基本達(dá)到預(yù)期目的.值得一說的是,第七問還可以“從特殊走向一般”,即將“等腰Rt△ABC”變式為“Rt△ABC”,這樣的話兩個月形圖案AGCE和BHCF的面積之和仍然等于Rt△ABC的面積.

    題4:如圖5,將一個邊長分別為4、8的長方形紙片ABCD折疊(折痕為EF),使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合,設(shè)BE=x.

    圖5

    (1)用含x的式子表示AE;

    (2)求x;

    (3)求DF的長;

    (4)求EF的長;

    (5)連接AC,求證:AC、EF互相垂直平分;挑戰(zhàn):

    (6)將“題干”改成“邊長分別為a、b(b>a)的長方形…”,其余不變,記△AEF的面積為S,試用含a、b的式子表示S.

    編題說明與教學(xué)手記:以矩形為背景的折疊問題,常常需要利用勾股定理、借助方程工具來實現(xiàn)求解.這道習(xí)題是各級各類考試中的高頻考題,為了在學(xué)生初學(xué)期間接觸該類問題就形成深刻印象,我們把這類問題的思考通過增設(shè)第一、二、三問,充分展開思考過程,既是提供引例、鋪墊,也是示范和引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會解決這類問題.對于第五問,則是關(guān)聯(lián)菱形的對角線性質(zhì),而第六問鼓勵優(yōu)秀學(xué)生挑戰(zhàn)潛能,也是數(shù)學(xué)從特殊走向一般,從常量走向變量的數(shù)學(xué)研究取向.

    題5:如圖6,平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,4)、B(b,-1),且S△AOB=6.

    圖6

    (1)求b的值.

    (2)求線段AB的長.

    (3)若點(diǎn)M(m,0),連接AM.

    ①當(dāng)m=3時,求AM的長;

    ②當(dāng)AM=8時,求m的值;

    ③當(dāng)m=1時,求∠MAO+∠BAO的度數(shù).

    挑戰(zhàn):

    (4)若直線AB上有一點(diǎn)N(與點(diǎn)B不重合),滿足S△AON= 6,試探究點(diǎn)N的坐標(biāo).

    編題說明與教學(xué)手記:將勾股定理與平面直角坐標(biāo)系關(guān)聯(lián)起來,通過變換坐標(biāo)的信息引導(dǎo)學(xué)生對應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)與線段之間的對應(yīng)關(guān)系.從練習(xí)情況來看,學(xué)生在解(3)②時容易出現(xiàn)漏解,而解決(3)③時由于不能想到構(gòu)造點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),使得思路受阻.以下附我們講評(3)③時使用的PPT截圖(如圖7).

    (3)已知點(diǎn)D(1,0),求∠DAO+∠BAO的度數(shù).

    圖7

    二、關(guān)于練習(xí)設(shè)計的兩點(diǎn)隨感

    1.備課應(yīng)該重視例、習(xí)題的設(shè)計,切忌隨手“拿來主義”

    以我們在教學(xué)一線所見,當(dāng)前各級教輔資料、練習(xí)冊、試卷集,包括很多學(xué)生報刊,上面的例、習(xí)題多是經(jīng)由簡單的復(fù)制、粘貼而來,而有些試題貼上所謂最新年度的中考題的標(biāo)識,似乎就是一道新題,其實大多數(shù)的中考題都是陳題的低層次改編,如果備課過程中教師不加選擇地直接拿來,缺少自己的專業(yè)設(shè)計與改編,缺少基于學(xué)情、教情的深度變式、必要重組,常常會使得習(xí)題訓(xùn)練的效果大大降低,使得減負(fù)增效成為一句空談.我們認(rèn)為,備課時除對教學(xué)環(huán)節(jié)、概念引領(lǐng)的情境創(chuàng)設(shè)等常規(guī)追求之外,還應(yīng)該十分重視例、習(xí)題的改編設(shè)計.通過如上面提供的題例一樣的增設(shè)鋪墊、引導(dǎo)參與、注重關(guān)聯(lián)等編題策略,使得例、習(xí)題更有利于自己的教學(xué),真正做到減負(fù)增效.

    2.設(shè)計練習(xí)時要注意系統(tǒng)開發(fā),包括預(yù)設(shè)“跟進(jìn)講評”

    鐘啟泉教授還指出:“所謂練習(xí)系統(tǒng)的開發(fā)有兩層含義,一是強(qiáng)調(diào)練習(xí)的系統(tǒng),即不是隨心所欲、簡單化的堆積,而是構(gòu)成一種結(jié)構(gòu),一個階梯;二是強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的開發(fā),即不是零敲碎打,而是經(jīng)年累月,作為一個網(wǎng)絡(luò)來開發(fā).”從上面提供的5個題例來看,我們比較注意這些試題的結(jié)構(gòu)或階梯;此外也想通過長期堅持下來,作為一個網(wǎng)絡(luò)來研制,形成本校有特色的習(xí)題資源、校本資源庫,從而豐富課程資源.特別是,以題5來說,我們還預(yù)設(shè)了“跟進(jìn)講評”,即通過制成如圖7所示的PPT,漸次呈現(xiàn)啟發(fā)式的提示語,追問學(xué)生的理解,將求解思路、關(guān)鍵步驟揭示出來,追求了“產(chǎn)婆術(shù)”的啟發(fā)式習(xí)題教學(xué).

    參考文獻(xiàn):

    1.鐘啟泉.讀懂課堂[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2015.

    2.鐘啟泉.“批判性思維”及其教學(xué)[J].全球教育展望,2002,31(1).

    3.劉東升.經(jīng)歷問題生成,深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實踐與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2014(4).

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