利用信息技術(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中開展概念教學(xué)*

☉安徽省無為縣劉渡中心學(xué)校　丁浩勇

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利用信息技術(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中開展概念教學(xué)*

☉安徽省無為縣劉渡中心學(xué)校丁浩勇

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，數(shù)學(xué)概念就是人腦對(duì)這些數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)法則、公式、定理等數(shù)學(xué)判斷與推理的基礎(chǔ).正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、發(fā)展邏輯推理能力和空間想象能力的前提.

由于數(shù)學(xué)概念是一種數(shù)學(xué)的思維形式，所以它具有一定的抽象性，這對(duì)抽象思維能力處于初級(jí)階段的初中學(xué)生來說，掌握它具有一定的難度.但是，初中學(xué)生的直觀思維尤為活躍，如果在概念教學(xué)時(shí)利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，把抽象的數(shù)學(xué)概念形象化，這對(duì)于化解教學(xué)難點(diǎn)、提高課堂教學(xué)效率將十分有益.事實(shí)上，早在上世紀(jì)中葉，著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞就說過，數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，即是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué).波利亞告訴我們，數(shù)學(xué)不僅是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，而且還是一門實(shí)驗(yàn)性極強(qiáng)的歸納科學(xué)，這充分說明數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中不可或缺的一部分.

所謂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，就是人們以數(shù)學(xué)問題為載體，為獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想或解決某類數(shù)學(xué)問題并運(yùn)用一定的物質(zhì)技術(shù)手段，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，它體現(xiàn)了皮亞杰的“建構(gòu)主義”的思想和理念，強(qiáng)調(diào)的是以學(xué)生動(dòng)手為主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和發(fā)現(xiàn)問題的能力.因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是一種新型、值得提倡的數(shù)學(xué)教學(xué)模式.

利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行概念教學(xué)需要現(xiàn)代信息技術(shù)資源來支撐，概念教學(xué)過程中的測(cè)量驗(yàn)證、手工操作、動(dòng)畫演示等活動(dòng)都離不開信息技術(shù).充分利用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，可以在引入概念、歸納概念、辨析概念、應(yīng)用概念等教學(xué)活動(dòng)中大顯身手.

一、利用信息技術(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中引入概念

由于數(shù)學(xué)概念研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，每個(gè)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生都有它的現(xiàn)實(shí)背景，所以在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，可以精選現(xiàn)實(shí)生活或數(shù)學(xué)發(fā)展中的典型問題為背景，利用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，直觀呈現(xiàn)概念的產(chǎn)生背景，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念的引入是自然而然、水到渠成的.

案例1：“概率”概念的引入.

實(shí)驗(yàn)構(gòu)思：對(duì)于“概率”的概念，教材中只用文字?jǐn)⑹龅姆绞街苯酉驅(qū)W生“傳授”概念，學(xué)生不能明白“概率”的來龍去脈.其實(shí)概率是人們?cè)谘芯楷F(xiàn)實(shí)世界的規(guī)律中產(chǎn)生的，如果利用信息技術(shù)再現(xiàn)研究過程，在實(shí)驗(yàn)的過程中讓學(xué)生逐步消化“概率”，這樣會(huì)有利于學(xué)生對(duì)“概率”意義的理解.為了節(jié)約時(shí)間和節(jié)省空間，可以利用Excel的隨機(jī)函數(shù)RAND在課堂上做模擬投幣實(shí)驗(yàn)來幫助學(xué)生理解“概率”.

實(shí)驗(yàn)過程：（1）如圖1，在單元格A1中輸入公式“=IF（RAND（）<0.5，“正面”，“反面”）”；

（2）在單元格B1中輸入統(tǒng)計(jì)“正面”出現(xiàn)的次數(shù)公式“= COUNTIF（A∶A，“正面”）”；

圖1

（3）在單元格B2中輸入統(tǒng)計(jì)“反面”出現(xiàn)的次數(shù)公式“=COUNTIF（A∶A，“反面”）”；

（4）按住單元格A1右下角的實(shí)心十字，向下拖動(dòng)復(fù)制單元格，使A列中單元格包含與A1中公式相同的單元格總數(shù)分別是10、20、50、100、200、500、1000.重復(fù)模擬投硬幣實(shí)驗(yàn)，分別記錄每次拖動(dòng)復(fù)制后單元格B1、B2中的數(shù)值，并完成下面的表格.

模擬投幣次數(shù)10 B1的值4 B2的值6“正面向上”的頻率0.4“反面向上”的頻率0.6 20　 7　13　0.35　0.65 50　 22　28　0.44　0.56 100　 49　51　0.49　0.51 200　 100　 100　0.5　0.5 500　 243　 257　0.486　0.514 1000　 502　 498　0.502　0.498

問題1：觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果，隨著投幣次數(shù)的增大，得到“正面向上”的頻率與“反面向上”的頻率有何種變化趨勢(shì)？

問題2：根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果預(yù)測(cè)投幣試驗(yàn)中僅有的兩種結(jié)果“正面向上”和“反面向上”出現(xiàn)的可能性大小分別是多少.

問題3：如何定義一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的數(shù)呢？

［實(shí)驗(yàn)評(píng)析］概率的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界，因此，從學(xué)生的實(shí)際生活入手研究概率是最佳選擇.由于受時(shí)間和空間的限制，課堂上再現(xiàn)實(shí)際研究過程不夠現(xiàn)實(shí).教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，組織一次實(shí)體投幣實(shí)驗(yàn)，投幣100次左右就要花費(fèi)三十分鐘時(shí)間，而利用信息技術(shù)模擬投幣實(shí)驗(yàn)，幾千次甚至上萬次實(shí)驗(yàn)在幾分鐘之內(nèi)就能完成.

本例通過隨機(jī)函數(shù)RAND模擬投幣試驗(yàn)，讓學(xué)生親自動(dòng)手獲得數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中尋找規(guī)律.問題1引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著拋擲次數(shù)的增加，“正面向上”和“反面向上”出現(xiàn)的頻率呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性；問題2把隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小緊密地聯(lián)系起來；問題3通過設(shè)問的方式巧妙地引出概率的定義.這樣讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的過程中主動(dòng)構(gòu)建概念，不但有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識(shí)的積極性，更有利于學(xué)生對(duì)概率意義的理解.

二、利用信息技術(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中歸納概念

數(shù)學(xué)概念是從具體、形象的事物中抽象概括出來的，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以給學(xué)生創(chuàng)設(shè)具體的客觀情境.如果利用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)再現(xiàn)概念的形成過程，將會(huì)有利于學(xué)生對(duì)概念的掌握.

案例2：“反比例函數(shù)的圖像”概念的歸納.

實(shí)驗(yàn)構(gòu)思：由于反比例函數(shù)的圖像分置在兩個(gè)象限，且兩部分互不相連，這與學(xué)生前面學(xué)過的一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）、二次函數(shù)等連續(xù)的函數(shù)圖像之間存在著一定的差異，導(dǎo)致學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來理解反比例函數(shù)的圖像有一定的困難.為了便于學(xué)生理解“雙曲線”，可以利用“幾何畫板”軟件創(chuàng)設(shè)一個(gè)面積不變的長(zhǎng)方形模型，改變其形狀，通過實(shí)驗(yàn)操作追蹤其頂點(diǎn)位置形成軌跡，得出圖像.

實(shí)驗(yàn)過程：（1）如圖2，畫一個(gè)長(zhǎng)方形OABC，固定其面積等于18cm2；

（2）以O(shè)為原點(diǎn)，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系；

（3）拖動(dòng)點(diǎn)B，并追蹤點(diǎn)B的軌跡.

問題1：設(shè)圖2中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)OA為xcm，寬OB為ycm，那么y與x是怎樣的函數(shù)關(guān)系？

問題2：圖2中點(diǎn)B的坐標(biāo)是什么？點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡是反比例函數(shù)圖像的全部嗎？

問題3：對(duì)于反比例函數(shù)的圖像，你能根據(jù)對(duì)稱性得出它的另一半嗎？

［實(shí)驗(yàn)評(píng)析］利用幾何畫板軟件的追蹤軌跡功能，將反比例函數(shù)的圖像通過實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)出來，將抽象的知識(shí)形象化，學(xué)生通過觀察面積為定值的長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)移動(dòng)生成的軌跡，在實(shí)驗(yàn)的過程中生成反比例函數(shù)的圖像.

圖2

問題1讓學(xué)生明白長(zhǎng)方形的寬y是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)x的反比例函數(shù)；問題2指明B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是反比例函數(shù)y=的圖像的一部分；問題3進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出反比例函數(shù)y=的圖像的另一部分.這樣，先通過實(shí)驗(yàn)的直觀呈現(xiàn)，突出“反比例函數(shù)的圖像”的概念的生成過程，再通過解決層層推進(jìn)的三個(gè)相關(guān)問題，活躍了學(xué)生的思維，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生對(duì)“雙曲線”概念的獲取和歸納.

三、利用信息技術(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中辨析概念

辨析概念是掌握概念過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，對(duì)概念進(jìn)行辨析，可以突出概念的特有屬性，澄清對(duì)概念的模糊認(rèn)識(shí)，排除類似概念的干擾，肅清概念認(rèn)識(shí)的誤區(qū).

辨析概念，可以把新概念置于同類概念之中，從形式上作比較，從本質(zhì)上來區(qū)分.比如圓與圓的位置關(guān)系中的“內(nèi)切”與“外切”、“相交”與“相離”、“內(nèi)含”與“內(nèi)切”、“外離”與“外切”等，雖然它們的定義只有一字之差，但是它們的本質(zhì)卻大相徑庭.

案例3：辨析“圓與圓的位置關(guān)系”.

實(shí)驗(yàn)構(gòu)思：利用幾何畫板軟件制作動(dòng)畫直觀演示圓和圓的5種位置關(guān)系，并同步顯示兩圓圓心距的大小，通過對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察，讓學(xué)生從形式上（兩圓位置關(guān)系的圖形呈現(xiàn)）和本質(zhì)上（圓心距與兩圓半徑之間的數(shù)量關(guān)系）加以區(qū)分和辨析“圓與圓的位置關(guān)系”概念.

實(shí)驗(yàn)過程：（1）如圖3，繪制相外離的⊙O1和⊙O2，度量并顯示⊙O1和⊙O2的半徑R、r（R＞r）的長(zhǎng)度；

圖3

（2）讓⊙O2沿直線O1O2方向往⊙O1處慢慢平移，同步顯示兩圓的圓心距d的長(zhǎng)度；

（3）當(dāng)⊙O2運(yùn)動(dòng)到不同位置后形成新的位置關(guān)系時(shí)，暫停平移⊙O2，觀察并記錄兩圓的圓心距d的長(zhǎng)度后再繼續(xù)平移⊙O2，如此反復(fù)，直到5種位置關(guān)系全部出現(xiàn)后停止平移⊙O2.

根據(jù)觀察測(cè)量數(shù)據(jù)，填寫表格.（填充完整的表格如下所示）

位置關(guān)系　圓心距與兩圓的半徑之間的關(guān)系外離　d＞R+r外切　d=R+r相交　R-r＜d＜R+r內(nèi)切　d=R-r內(nèi)含　d＜R-r

［實(shí)驗(yàn)評(píng)析］案例3利用信息技術(shù)工具，讓學(xué)生在圖形動(dòng)態(tài)變化過程中發(fā)現(xiàn)圓和圓的5種位置.通過圓和圓的動(dòng)態(tài)演示實(shí)驗(yàn)，學(xué)生既能從外顯的形式上直觀感知圓和圓的不同位置關(guān)系，從感觀上對(duì)不同位置關(guān)系加以區(qū)分，又能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩圓具有不同位置關(guān)系時(shí)，它們的半徑、圓心距之間的數(shù)量關(guān)系，從本質(zhì)上加以區(qū)分外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的概念.

四、利用信息技術(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用概念

概念的鞏固應(yīng)用是學(xué)習(xí)概念的歸宿，學(xué)習(xí)概念的最終目的是為了能夠靈活應(yīng)用概念解決具體問題.反過來，通過概念的綜合應(yīng)用，又能把本概念與相關(guān)概念緊密地聯(lián)系起來，將概念納入概念系統(tǒng)，從而可以更清楚地認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)屬性.

方程、不等式、函數(shù)之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，巧妙地構(gòu)造函數(shù)，利用信息技術(shù)繪制函數(shù)的圖像，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中得出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，可以有效地解決方程和不等式問題.這樣設(shè)計(jì)教學(xué)，不但能提高學(xué)生的解題效率，而且便于學(xué)生更加“精致”地理解方程、不等式、函數(shù)的概念.

案例4：比較x2+2x與4x的大小.

實(shí)驗(yàn)構(gòu)思：構(gòu)造二次函數(shù)y=（x2+2x）-4x，即y=x2-2x，利用幾何畫板軟件畫出它的圖像，顯示圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).由圖像驗(yàn)證y的正負(fù)性，得出x的取值范圍，從而推出x2+2x與4x的大小.

實(shí)驗(yàn)過程：（1）如圖4，畫出二次函數(shù)y= x2-2x的圖像；

（2）顯示圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

圖4

問題1：觀察圖像，當(dāng)自變量x取何值時(shí)，函數(shù)值y大于0？當(dāng)自變量x取何值時(shí)，函數(shù)值y小于0？當(dāng)自變量x取何值時(shí)，函數(shù)值y等于0？

問題2：當(dāng)函數(shù)值y大于0時(shí)，x2+2x與4x的大小關(guān)系如何？當(dāng)函數(shù)值y小于0時(shí)，x2+2x與4x哪一個(gè)大？當(dāng)函數(shù)值y等于0時(shí)呢？

［實(shí)驗(yàn)評(píng)析］我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要對(duì)象，在一定的條件下，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.

案例4把不等式問題與方程問題巧妙地轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像問題來解決，通過作差法構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)，然后利用信息技術(shù)畫出這個(gè)函數(shù)的圖像并顯示出它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，這樣從圖像上就可以判斷出函數(shù)值的正負(fù)性與自變量的取值關(guān)系.問題1引導(dǎo)學(xué)生由圖像看x取不同的值時(shí)，y的符號(hào)的正負(fù)性；問題2引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)值的正負(fù)性得出x2+2x與4x的大小關(guān)系.

參考文獻(xiàn)：

1.朱林.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)課在教學(xué)中有效運(yùn)用的策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（12）.

2.路亞飛，葛麗雅，朱哲.活用信息技術(shù)強(qiáng)化初中幾何概念教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（8）.

3.丁浩勇.函數(shù)及其圖像［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2011（4）.

*基金項(xiàng)目：安徽省教育信息技術(shù)研究“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題——現(xiàn)代教育技術(shù)環(huán)境下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究（AH2015056）.