關(guān)于貝特朗奇論的新觀點(diǎn)——基于點(diǎn)的均勻分布假設(shè)進(jìn)行建模分析

王奕可（中央財(cái)經(jīng)大學(xué)保險(xiǎn)學(xué)院，北京102206）

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關(guān)于貝特朗奇論的新觀點(diǎn)——基于點(diǎn)的均勻分布假設(shè)進(jìn)行建模分析

王奕可
（中央財(cái)經(jīng)大學(xué)保險(xiǎn)學(xué)院，北京102206）

［摘 要］針對(duì)貝特朗問(wèn)題進(jìn)行建模，給出在適當(dāng)?shù)母郊泳鶆蚍植技僭O(shè)下，概率解可以取到區(qū)間［0，1］內(nèi)任一值的結(jié)論．為得出在無(wú)附加條件下貝特朗問(wèn)題的解，同樣采用建模方法，通過(guò)改變模型參數(shù)使附加條件變?yōu)樨愄乩蕟?wèn)題的內(nèi)含條件，進(jìn)而導(dǎo)出結(jié)果，以此判明既有的諸主流解法的正確性．

［關(guān)鍵詞］貝特朗奇論；均勻分布；幾何概型

1　引 言

1899年，法國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫·貝特朗（Joseph Bertrand，1822－1900）在其著作《概率計(jì)算》中提出了貝特朗問(wèn)題，即：在圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)度超過(guò)該圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率．對(duì)于該問(wèn)題有著諸多看似合理卻大相徑庭的解答，顯然違背了幾何概率的性質(zhì)，于是產(chǎn)生了著名的“貝特朗奇論”．

數(shù)年來(lái)，圍繞貝特朗問(wèn)題，形成了如下幾種主流的解法［1］：

（i）由于對(duì)稱性，考慮某指定方向的弦．作一直徑垂直于該方向，只有交直徑于與之間的弦滿足要求，所求概率為

（ii）由于對(duì)稱性，固定弦的一端點(diǎn)，令另一端點(diǎn)在圓周上作隨機(jī)移動(dòng)．在固定端點(diǎn)作一切線，則與此切線交角在60°與120°之間的弦滿足要求，所求概率為

（iii）圓內(nèi)弦的位置被其中點(diǎn)唯一確定，在圓內(nèi)作一同心圓，其半徑僅為大圓半徑的一半，則大圓內(nèi)弦的中點(diǎn)落在小圓內(nèi)時(shí)才滿足要求，所求概率為

針對(duì)上述三種解法，諸多學(xué)者各持對(duì)唯一解的不同看法，張敏、何小亞［2］已在其論文中作出歸納，此處不再贅述．另外值得注意的是，石啟亮［3］采用隨機(jī)模擬的方法得到貝特朗問(wèn)題的正確答案為，鄭長(zhǎng)波、孟憲濤［4］給出了答案能夠取到區(qū)間，即有無(wú)窮多解的結(jié)論．

本文的目標(biāo)則是建立模型來(lái)說(shuō)明在適當(dāng)?shù)母郊泳鶆蚍植技僭O(shè)下答案能夠取到區(qū)間［0，1］內(nèi)的任一值，借此說(shuō)明附加的均勻分布假設(shè)對(duì)問(wèn)題解答的影響，從而基于樣本空間選取時(shí)的均勻分布假設(shè)構(gòu)造新的模型來(lái)導(dǎo)出貝特朗問(wèn)題的正確解．為此，先將貝特朗問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下等價(jià)命題：

2　弦組選取

由于圓內(nèi)的弦有無(wú)窮多條，通常的做法是基于對(duì)稱性來(lái)選取具有代表性的一組弦，在本文中采用更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)法，基于均勻分布（或等可能性）假設(shè)來(lái)選取弦組．

如圖，作與單位圓同心、半徑為k（≥1）的圓，則單位圓中任意弦的延長(zhǎng)線必然與大圓有交．假設(shè)點(diǎn)在大圓上均勻分布．以大圓上的點(diǎn)向單位圓作割線，必然能夠得到單位圓內(nèi)所有的弦．現(xiàn)規(guī)定劣弧沿圓周的順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樵摿踊〉恼较?，如圖，在劣弧XY上X相對(duì)Y為正，以Y為端點(diǎn)沿YX方向作射線，交大圓于唯一點(diǎn)P．

上述方式表明了存在單位圓內(nèi)除直徑外的所有弦到大圓上的點(diǎn)的映射．將所有且僅映射到大圓上某一定點(diǎn)的弦納入弦組，則得到弦組到大圓上的點(diǎn)的雙射．由于各弦組同質(zhì)且互不相交，現(xiàn)選取大圓上一點(diǎn)P，顯然以點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的弦組具有代表性．特別的，由于每個(gè)弦組內(nèi)含有無(wú)窮多條弦，故是否考慮至多一條落在單一弦組內(nèi)的直徑不會(huì)影響最后結(jié)果的正確性．下述各模型都將采用以此種方式選取的弦組進(jìn)行討論．

中國(guó)經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展步入新時(shí)代，在人口老齡化、高齡化、空巢化等大背景下，在撫育子女和贍養(yǎng)老人的壓力下，在照顧家庭和努力工作的夾縫中，面對(duì)人們對(duì)更美好家政服務(wù)的需求，我們需要更深刻地認(rèn)識(shí)家政服務(wù)供給側(cè)的提質(zhì)和升級(jí)問(wèn)題，用高質(zhì)量培訓(xùn)推動(dòng)家政服務(wù)進(jìn)入新時(shí)代。

3?。?，1］區(qū)間模型

回顧第一種解法，將同一方向的一組弦映射為在一條直徑上的點(diǎn)來(lái)計(jì)算概率，實(shí)質(zhì)上是在貝特朗問(wèn)題題設(shè)之外附加了點(diǎn)在直徑上均勻分布的假設(shè)．依照同一思路，該模型假設(shè)點(diǎn)在直徑所在的直線上均勻分布．

在弦組選擇中，已設(shè)點(diǎn)P所在的大圓半徑為k（≥1）．如圖所示，取大圓上一點(diǎn)M且OM與OP夾角不超過(guò)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的弦組中的弦XY（或其延長(zhǎng)線）交OM與點(diǎn)A．顯然，在點(diǎn)P固定的條件下，弦XY能夠被點(diǎn)A所唯一確定，因此選擇點(diǎn)A作為樣本點(diǎn)來(lái)考慮概率．為確定樣本空間，過(guò)點(diǎn)P引單位圓的切線PQ交OM于點(diǎn)N′，顯然點(diǎn)A只能落在線段ON′內(nèi)．在單位圓內(nèi)作半徑為的同心圓，過(guò)點(diǎn)P引該同心圓的切線PT交OM于點(diǎn)N，聯(lián)系第三種主流解法可以得出，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A落在線段ON內(nèi)時(shí)，弦XY將穿過(guò)半徑為的同心圓，長(zhǎng)度大于

現(xiàn)在由幾何概率的定義，可以得出貝特朗問(wèn)題的概率表達(dá)式

設(shè)∠MOP＝θ，由切線PT，PQ可以得出以下四個(gè)三角函數(shù)式

于是

即貝特朗問(wèn)題的概率解在該模型中被描述為關(guān)于大圓半徑k和點(diǎn)均勻分布的直徑與OP連線夾角θ的函數(shù)P （k，θ）．由于P （k，θ）在連續(xù)，而

由連續(xù)函數(shù)的介值性，P （k，θ）的函數(shù)值可以在區(qū)間［0，1］內(nèi)任意取值，這也就證明了在適當(dāng)?shù)母郊泳鶆蚍植技僭O(shè)下，貝特朗問(wèn)題的概率解可以取到區(qū)間［0，1］內(nèi)任一值的結(jié)論．

不難發(fā)現(xiàn)，雖然一題多解應(yīng)與概率的性質(zhì)相違背，但是在不同的均勻分布假設(shè)下，各答案都有其正確性，因此出現(xiàn)多解的原因是在題意之外由解題者附加的均勻分布假設(shè)．下面就將通過(guò)模型將附加的均勻分布假設(shè)內(nèi)化為貝特朗問(wèn)題的內(nèi)含條件，推導(dǎo)唯一的正確解．

4　同心圓模型

既設(shè)點(diǎn)P所在大圓半徑為k（≥1）．在將弦映射為大圓上的點(diǎn)時(shí)，為避免牽涉其余可能隱含的均勻分布假設(shè)，所作的映射要求盡可能簡(jiǎn)單．一個(gè)符合要求的映射如下：因?yàn)橄医M中所有的弦所在直線都通過(guò)點(diǎn)P，現(xiàn)作弦XY的反向延長(zhǎng)線，交大圓于異于P的另一點(diǎn)Z，如圖所示．過(guò)點(diǎn)P引關(guān)于單位圓以及單位圓內(nèi)半徑為的同心圓的切線PQ，PT分別交大圓于點(diǎn)Q′，T′，延長(zhǎng)PO交大圓于O′．顯然點(diǎn)P對(duì)應(yīng)弦組中的弦只能映射到上，且上任一點(diǎn)與且僅與弦組內(nèi)的一條弦對(duì)應(yīng)．當(dāng)點(diǎn)Z落在內(nèi)時(shí)，弦XY長(zhǎng)度大于，由幾何概率的定義可知：

需要再次強(qiáng)調(diào)的是，固定k的取值時(shí)，均勻分布假設(shè)僅為“點(diǎn)在半徑為k的圓周上分布均勻”，這是非常弱的均勻分布假設(shè)，因?yàn)榇髨A圓周和單位圓圓周以外的平面區(qū)域的點(diǎn)的密度可以是任意的．為了“去掉”這一假設(shè)，取k＝1，即大圓與單位圓重合，均勻分布假設(shè)則退化為“點(diǎn)在單位圓上均勻分布”，這與由圓周上隨機(jī)兩點(diǎn)確定弦的等可能性相符，也是貝特朗問(wèn)題的內(nèi)含條件．此時(shí)得到

即為貝特朗問(wèn)題的正確解．

另外，當(dāng)k＝1時(shí)，得到的是第二種傳統(tǒng)解法僅在以O(shè)P為界的半圓里討論的情形．由以上討論可知，第二種傳統(tǒng)解法的答案和過(guò)程都是正確的．

5　關(guān)于映射構(gòu)造的一些思考

在模型中，將弦映射為一系列均勻分布的點(diǎn)尤為重要．例如第三種傳統(tǒng)解法中，雖然將所有的弦都映射到自身中點(diǎn)，但弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)并不是均勻分布的，這一結(jié)論已由黃晶晶在其論文《關(guān)于貝特朗悖論的新思考》［5］中證明，因此本文選擇先構(gòu)造均勻分布假設(shè)，再將弦映射到假設(shè)均勻分布的點(diǎn)上．但是這樣一來(lái)，要如何構(gòu)造合理的映射，便成為問(wèn)題．

在同心圓模型中，存在另一種合理的映射構(gòu)造方式：過(guò)圓心引弦的垂線并延長(zhǎng)與大圓相交，如圖，弦XY的中垂線交大圓于點(diǎn)Z，而過(guò)圓心O引兩切線PT，PQ以及OP的垂線得到樣本空間的邊界點(diǎn)O′，Q′和弦長(zhǎng)大于的臨界點(diǎn)T′．

由垂直關(guān)系同樣能夠得到概率解的表達(dá)式

但是，如果采取以點(diǎn)P為圓心作弧將弦（中點(diǎn)）映射到大圓的方法，卻不能夠得到正確的結(jié)果．對(duì)比三種映射，可以認(rèn)為同心圓模型中的“延長(zhǎng)線映射”和此處的“圓心垂線映射”是保持比例關(guān)系的映射，而“圓弧映射”是改變了比例關(guān)系的映射．再進(jìn)一步思考，貝特朗問(wèn)題的內(nèi)在要求包含“點(diǎn)在單位圓圓周上均勻分布”，與“大圓上的點(diǎn)均勻分布”一同構(gòu)成類似于極坐標(biāo)網(wǎng)絡(luò)的均勻放射（如圖），因此過(guò)圓心引垂線能夠保持比例關(guān)系不變，大圓上的點(diǎn)相當(dāng)于圓心的射影；而“延長(zhǎng)線映射”則可以看成是點(diǎn)P向大圓上其余點(diǎn)射影，弦則是射影的路徑在單位圓內(nèi)的部分，參考射影幾何學(xué)的有關(guān)內(nèi)容，射影不會(huì)改變比例關(guān)系，因此“延長(zhǎng)線映射”不會(huì)改變比例關(guān)系，所以能夠保持正確的概率解．相較之下，同心圓模型中的“延長(zhǎng)線映射”更優(yōu)，因?yàn)樗荛_了貝特朗奇論之爭(zhēng)中的一個(gè)特殊點(diǎn)——圓心［6］，使得答案正確性得到了更進(jìn)一步的保障．

6　結(jié) 論

本文在傳統(tǒng)解法的基礎(chǔ)之上，采用構(gòu)造的模型的方法，證明了在適當(dāng)?shù)母郊泳鶆蚍植技僭O(shè)（或等可能性條件）的情況下，貝特朗問(wèn)題的概率解可以取到區(qū)間［0，1］內(nèi)任一值，而后同樣采用建模方法分析去掉附加的均勻分布假設(shè)（或等可能性條件），回歸貝特朗問(wèn)題的本身內(nèi)含條件，從而導(dǎo)出貝特朗問(wèn)題唯一的正確解，證明了引言中第二種傳統(tǒng)解法的正確性．

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ 茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］．北京：高等教育出版社，2011：28－29．

［2］ 張敏，何小亞．貝特朗悖論之爭(zhēng)的終結(jié)［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（3）：51－54．

［3］ 石啟亮．解讀貝特朗（Bertrand）悖論［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2005，（10）：32－34．

［4］ 鄭長(zhǎng)波、孟憲濤．關(guān)于圓上隨機(jī)弦奇論的解析［J］．沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，30（2）：164－167．

［5］ 黃晶晶，黃世同．關(guān)于貝特朗悖論的新思考［J］．昆明師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2004，26（4）：10－12．

［6］ 蘇同安．都是圓心惹的禍——“貝特朗悖論”新說(shuō)［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)高中版，2010，（1）：64．

The New Viewpoint of Bertrand Paradox——Modeling and Analyzing Based on the Assumption of a Uniform Distribution for Points

WANG Yi－ke
（Central University of Finance and Economics，School of Insurance，Beijing 102206，China）

Abstract：For the Bertrand’s question，this paper will model to show the conclusion that the probability can be equal to any value in the interval［0，1］in condition of an appropriate additional assumption of a uniform distribution for points．In order to the answer of the Bertrand’s question without any additional assumptions，the method of modeling will be also adopted．The additional assumption of the model can be converted into the inherent requirement of the Bertrand’s question by changing the parameter of the model，then the answer will be derived．Therefore，the correctness of many traditional viewpoints is also shown．

Key words：Bertrand Paradox；uniform distribution；geometric probability

［收稿日期］2015－09－25

［中圖分類號(hào)］O211．2

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］B

［文章編號(hào)］1672－1454（2016）01－0044－05