橢圓上二維均勻分布的參數(shù)估計(jì)

魯富榮，張莉莉

（1.山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院，山西太原 030600；2.山西農(nóng)業(yè)大學(xué)文理學(xué)院，山西太谷 030801）

橢圓上二維均勻分布的參數(shù)估計(jì)

魯富榮1，張莉莉2

（1.山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院，山西太原 030600；2.山西農(nóng)業(yè)大學(xué)文理學(xué)院，山西太谷 030801）

研究了橢圓上二維均勻分布的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，得到了未知參數(shù)及區(qū)域面積的矩估計(jì)，并通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，給出了參數(shù)的最大似然估計(jì)和區(qū)間估計(jì).

二維均勻分布 矩估計(jì) 最大似然估計(jì) 區(qū)間估計(jì)

均勻分布是概率論中的一個(gè)常用分布.目前，有關(guān)區(qū)間［a，b］上一維均勻分布的研究已有很多成果，可查閱相關(guān)文獻(xiàn).對(duì)于二維均勻分布的研究，其成果主要有矩形區(qū)域和圓內(nèi)二維均勻分布的參數(shù)估計(jì)及區(qū)域面積的估計(jì)，見(jiàn)文獻(xiàn) [1]～[3].但迄今為止，有關(guān)橢圓上二維均勻分布的相關(guān)研究還沒(méi)有，而橢圓上二維均勻分布在物理[4]、軍事等領(lǐng)域里有著廣泛的應(yīng)用.本文主要研究橢圓上二維均勻分布的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，并給出了未知參數(shù)與區(qū)域面積的矩估計(jì)及參數(shù)的最大似然估計(jì)和區(qū)間估計(jì).

1 定義及引理

定義［5］設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機(jī)變量（X，Y）有概率密度

則稱（X，Y）在G上服從均勻分布.

注:當(dāng)

證明 隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為

注:本引理與文獻(xiàn)［3］實(shí)際上是用不同方法證明出了相同的結(jié)論.

2 參數(shù)的矩估計(jì)

注:隨機(jī)變量X與Y各自并不服從一維的均勻分布，且X與Y不相互獨(dú)立.

所以橢圓半軸長(zhǎng)a與b的矩估計(jì)量分別為

注:當(dāng)a＝b時(shí)，可得服從圓x2-y2≤a2上均勻分布的二維隨機(jī)變量，圓面積A＝πa2的矩估計(jì)量為

3 參數(shù)的最大似然估計(jì)

證明 隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為

所以二維隨機(jī)變量（X，Z）服從圓x2+z2≤a2上的均勻分布.

證明 由引理1和定理3證之.

4 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

證明 由引理2和定理4易證之.

綜上，我們得到了橢圓上二維均勻分布未知參數(shù)及區(qū)域面積的矩估計(jì)，在橢圓兩半軸長(zhǎng)之比k已知的條件下還得到了參數(shù)的最大似然估計(jì)和區(qū)間估計(jì).當(dāng)這個(gè)比值未知時(shí)，可先由k的矩估計(jì)量代替，進(jìn)而得參數(shù)的兩步估計(jì)[6].

[1]金文奇.關(guān)于圓內(nèi)均勻分布的檢驗(yàn)與估計(jì)[J].兵工學(xué)報(bào),2001,22(4):468-472.

[2]劉兆君.二維均勻分布矩形區(qū)域面積的估計(jì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23(4):155-159.

[3]王志祥.圓內(nèi)二維均勻分布的參數(shù)估計(jì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2008,24(2):150-152.

[4]胡熙靜,劉桂賢.蒙特卡羅方法初步-橢圓內(nèi)均勻分布的技巧[J].爆轟波與沖擊波,1995,12(4):39-44.

[5]盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].3版.北京:高等教育出版社,2007.

[6]王松桂,史建紅,尹素菊,等.線性模型引論[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

Abatract：In this paper，we discuss the parameter estimation of two－dimensional uniform distribution on a ellipse.We obtain themoment estimator of the parameter and the region area，meanwhile，we give the parametric maximum likelihood estimation and interval estimation bymaking the appropriate transformation.

Parameter Estimation of Two－dimensional Uniform Distribution on a Ellipse

L U Fu－rong1，Zhang Li－li2
（1.Business College,ShanxiUniversity，Taiyuan Shanxi，030031）（2.College of Arts and Science，Shanxi Agricultural University，Taigu Shanxi，030801）

two－dimensional uniform distribution；momentestimation；maximum likelihood estimation；estimate interval

O212.1

A

〔編輯 高海〕

1674-0874(2010)04-0006-03

2009-05-10

山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院科研基金資助課題［SD200963］

魯富榮(1981-),男,山西河曲人，碩士,助教,研究方向：高等數(shù)學(xué)與圖論.