兩個極限相等的有趣數(shù)列

楊天虎， 岳志明（酒泉職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅酒泉735000）

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兩個極限相等的有趣數(shù)列

楊天虎， 岳志明
（酒泉職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅酒泉735000）

［摘 要］證明了兩個有趣數(shù)列的極限均為且

［關(guān)鍵詞］沃利斯公式；單調(diào)數(shù)列；數(shù)列極限

本文討論的兩個極限相等的有趣數(shù)列的性質(zhì)可歸納為以下定理．

證明如下．

1　預(yù)備知識

公式

沃利斯（Wallis）公式［1］

2　構(gòu)造數(shù)列

設(shè)有數(shù)列

將數(shù)列｛an｝分為｛a′n｝，｛a″n｝兩個數(shù)列，即

｛an｝的通項(xiàng)公式為

即數(shù)列｛a′n｝，｛a″n｝均為大于0的嚴(yán)格單調(diào)減小數(shù)列．

設(shè)有數(shù)列｛bn＝n an｝，將數(shù)列｛bn｝也分為｛b′n｝，｛b″n｝兩個數(shù)列，即

因

所以｛bn｝的通項(xiàng)公式為

即數(shù)列｛b′n｝，｛b″n｝均為嚴(yán)格單調(diào)增加數(shù)列．

設(shè)有數(shù)列｛cn＝（n＋1）an｝，將數(shù)列｛cn｝也分為｛c′n｝，｛c″n｝兩個數(shù)列，即

因

所以｛cn｝的通項(xiàng)公式為

即數(shù)列｛c′n｝，｛c″n｝均為大于0的嚴(yán)格單調(diào)減小數(shù)列．且存在

3　求數(shù)列極限

第一種情況，求數(shù)列｛a′n｝，｛b′n｝，｛c′n｝的極限．

因｛a′n｝，｛c′n｝是均為大于0的嚴(yán)格單調(diào)減小數(shù)列，所以數(shù)列｛a′n｝，｛c′n｝均存在極限，因此

由（3），（7）式得

根據(jù)（2），（5），（6）式得

π

所以，｛y′n＝y(tǒng)2n－1｝為嚴(yán)格單調(diào)增加數(shù)列，｛z′n＝z2n－1｝為嚴(yán)格單調(diào)減小數(shù)列，

定理的結(jié)論（1）得證．

第二種情況，求數(shù)列｛a″n｝，｛b″n｝，｛c″n｝的極限．

因｛a″n｝，｛c″n｝也是均為大于0的嚴(yán)格單調(diào)減小數(shù)列，所以數(shù)列｛a″n｝，｛c″n｝均存在極限，同樣可得由（6）式得

由（3），（7）式得

根據(jù)（1），（5），（6）式得

所以，｛y″n＝y(tǒng)2n｝為嚴(yán)格單調(diào)增加數(shù)列，｛z″n＝z2n｝為嚴(yán)格單調(diào)減小數(shù)列，

定理的結(jié)論（2）得證．

綜合（8），（9）式，及定理的（1），（2）結(jié)論，可得

且

定理的結(jié)論（iii）得證．

4　結(jié)束語

調(diào)減小數(shù)列，對數(shù)列｛yn｝，｛zn｝各取前20項(xiàng)數(shù)據(jù)計(jì)算驗(yàn)證，猜想得到了證實(shí)，但無法證明．

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（上）（第三版）［M］，北京：高等教育出版社．2001：226－227．

Two Interesting Sequences Having Equal Limit

YANG Tian－h(huán)u YUE Zhi－ming
（Jiuquan Vocational and Technical College，Gansu Jiuquan 735000，China）

Abstract：It is proved that the limit of the two Interesting Sequencesand

Key words：Wallis formula；monotone sequences；limit of a sequence

［基金項(xiàng)目］甘肅省科技計(jì)劃資助（1309RTSF043）；甘肅省科技創(chuàng)新平臺專項(xiàng)資助（144JTCF256）

［收稿日期］2015－04－30

［中圖分類號］O178

［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］C

［文章編號］1672－1454（2016）01－0101－04