兩個(gè)全變換半群之間的同態(tài)II

唐 慧，楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

兩個(gè)全變換半群之間的同態(tài)II

唐 慧，楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

令n為一個(gè)大于等于1的正整數(shù),Tn和Tn+1分別是Xn={1,2,…,n}和Xn+1={1,2,…,n+1}上的全變換半群.本文在不考慮n=4的情況下刻畫出Tn到Tn+1的所有同態(tài).

全變換半群; 同態(tài); 同余

1 引言和結(jié)論

設(shè)Tn是Xn上的全變換半群,在1998年Schein.B.M.和Teclezghi.B.[1]刻畫出Tn的所有自同態(tài),接下來(lái)我們自然去研究?jī)蓚€(gè)全變換半群Tn和Tm之間的同態(tài).當(dāng)n>m時(shí)的同態(tài)已經(jīng)研究出來(lái)[2].在本文中將刻畫出當(dāng)m=n+1且不考慮n=4時(shí)Tn到Tm的所有同態(tài).

(1)令ε為Tn+1中的一個(gè)冪等元.定義映射Φε:Tn→Tn+1為:對(duì)任意的α∈Tn,Φε(α)=ε.

(2)令ε,δ為Tn+1中兩個(gè)不同的冪等元,且滿足條件εδ=δε=δ.定義映射Ψε,δ:Tn→Tn+1如下:

我們的主要結(jié)果如下

定理1 (i)取定i∈Xn+1,定義Φi為Tn到Tn+1的一個(gè)映射如下:首先規(guī)定

其中k∈Xn,{i1,i2,…,in}=Xn+1{i},然后任取α∈Tn{C1,…,Cn},規(guī)定

則Φi為Tn到Tn+1的一個(gè)單同態(tài).

則Θk為Tn到Tn+1的一個(gè)單同態(tài).

反之,Tn到Tn+1任一個(gè)單同態(tài)φ都具有形式(i)或者(ii).顯然在除去n=4的情況下此結(jié)論也成立.

(iii)當(dāng)φ為非單且n≠4時(shí),則φ是同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)φ為如下形式之一:

(1)Φε,其中ε為Tn+1中的一個(gè)冪等元;

(2)Ψε,δ,其中ε,δ為Tn+1中兩個(gè)不同的冪等元,且滿足條件εδ=δε=δ;

反之,當(dāng)n≠4時(shí),Tn到Tn+1的每個(gè)非單同態(tài)都具有形式(iii).

2 結(jié)論的證明

為敘述方便,令α∈Tn,記im(α)={α(x)|x∈Xn},rank(α)=|im(α)|,ker(α)={(x,y)∈Tn×Tn|α(x)=α(y)}.于是全變換半群Tn上的Green關(guān)系[3-4]如下:任取α,β∈Tn,有

為證明我們的結(jié)論,需要引入如下幾個(gè)引理.

令α,β∈Tn,且α,β有如下形式:

(1)

(1)若rank(α)

(2)若rank(α)>k,則α≡Rβ當(dāng)且僅當(dāng)α=β;

(2)令ρ是Tn上的任一個(gè)非泛同余,則存在k∈{1,2,…,n}與Sk的一個(gè)正規(guī)子群R,使得ρ=≡R.

引理2 設(shè)φ:Tn→Tn+1為同態(tài),則對(duì)Tn中的任兩個(gè)常值變換Ci和Cj有kerφ(Ci)=kerφ(Cj).

證明 任取(a,b)∈kerφ(Ci),則φ(Ci)(a)=φ(Ci)(b),因?yàn)镃jCi=Cj,從而由φ為同態(tài)知

φ(Cj)(a)=φ(CjCi)(a)=φ(Cj)φ(Ci)(a)=φ(Cj)φ(Ci)(b)=φ(Cj)(b),

因此(a,b)∈kerφ(Cj),進(jìn)而kerφ(Ci)?kerφ(Cj),同理可證得kerφ(Cj)?kerφ(Ci),故kerφ(Ci)=kerφ(Cj).

證明 對(duì)任意的x∈Ai,任意的α∈Tn,令φ(α)(x)=y,則由φ為同態(tài)知

φ(C1)(y)=φ(C1)φ(α)(x)=φ(C1α)(x)=φ(C1)(x),

引理4 設(shè)φ:Tn→Tn+1為單同態(tài),若kerφ(C1)不是泛關(guān)系,則kerφ(C1)的等價(jià)類為{i}和Xn+1{i},其中i∈Xn+1.

證明 令kerφ(C1)的等價(jià)類分別為A1,A2,…,Ak,(k≥1),則由引理3知對(duì)任意的α∈Tn,任意的t∈{1,2,…,k},有φ(α):At→At.因此φ(Tn)?TA1×TA2×…TAK,其中TAj表示Aj上的全變換半群,令A(yù)1=x,則1≤x

nn=|φ(Tn)|≤|TA1|·|TA2|…|TAk|≤|TA1|·|TA2∪A3∪…∪Ak|

=xx·(n+1-x)n+1-x,

(2)

注意當(dāng)x=1時(shí)式(2)等號(hào)成立.下證式(2)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1.

令f(x)=xx·(n+1-x)n+1-x,對(duì)此等式取對(duì)數(shù)得

lnf(x)=xlnx+(n+1-x)ln(n+1-x),

(3)

φ(α)(i1)=iα(1),φ(α)(i2)=iα(2),…,φ(α)(in)=iα(n).

證明 任取Cx∈Tn,x∈Xn,則有αCx=Cα(x),從而由φ為單同態(tài)知

因此有φ(α)(ix)=iα(x),x∈Xn,故φ(α)(i1)=iα(1),φ(α)(i2)=iα(2),…,φ(α)(in)=iα(n).

其中k∈{1,2,…,n}.

進(jìn)而當(dāng)n≥4時(shí),由

和引理5有

(4)

另一方面,由

和引理5又有

(5)

(4)與(5)矛盾,故y=i1不成立.

(6)

(7)

(6)與(7)矛盾,故y=i3不成立.

綜上所述,x≠in+1,從而x=ik,其中k∈{1,2,…,n}.

定理1的證明 易證定理1中(iii)的映射都為Tn到Tn+1的同態(tài).下面驗(yàn)證Φi和Θk都是Tn到Tn+1的單同態(tài).

任取α∈Tn,β∈Tn,且

從而

則由Φi的定義知

其中{i1,i2,…,in}=Xn+1{i},從而

因此Φi(α)Φi(β)=Φi(αβ),所以Φi是Tn到Tn+1的一個(gè)同態(tài),又令Φi(α)=Φi(β),從而α(x)=β(x),其中x∈Xn,進(jìn)而Φi是單的,故Φi是Tn到Tn+1的一個(gè)單同態(tài).同理可證Θk是Tn到Tn+1的一個(gè)單同態(tài).

現(xiàn)令φ為Tn到Tn+1的任一個(gè)同態(tài),由于ker(φ)為Tn上的一個(gè)同余,于是據(jù)引理1,分兩種情況如下:

情況1 ker(φ)是泛同余,則φ把Tn映到Tn+1中的某個(gè)冪等元,令這個(gè)冪等元為ε,從而φ為常量同態(tài),且φ為定理1中的形式(iii)中的(1);

情況2 ker(φ)是非泛同余,則ker(φ)=≡R,R?Sk.根據(jù)k

情況2.1 若k

因此有φ(α)(i1)=iα(1),φ(α)(i2)=iα(2),…,φ(α)(in)=iα(n),φ(α)(i)=i,進(jìn)而

其中{i1,i2,…,in}=Xn+1{i},故φ具有形式(i).

情況2.1.2φ:Tn→Tn+1為單同態(tài),kerφ(C1)為泛關(guān)系.據(jù)引理6有k∈Xn,使得

其中{i1,i2,…,in+1}=Xn+1.于是對(duì)任意的α∈Tn,由引理5可設(shè)

又αln=α,從而由φ為同態(tài)知φ(αln)=φ(α)φ(ln)=φ(α),就推出z=iα(k),故φ具有形式(ii).

[1] SCHEIN B M, TECLEZGHI B. Endomorphisms of Finite Full Transformation Semigroups [J]. Proceedings of The American Mathematical Society, 1998, 126(9):2579-2587.

[2] 唐慧,楊秀良.兩個(gè)全變換半群之間的同態(tài)I[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,14(5):527-530.

[3] GANYUSHKIN O, Mazorchuk V. Introduction to Classical Finite Transformation Semigroups [M]. London: Springer Verlag,2009.

[4] DOSS C. Certain equivalence relation in transformation semigroups[D]. Nashville: Univ of Tennessee, 1955.

[5] MAL’SEV A. Symmetric groupoids [J]. Mat Sbornik,1952,73(1):136-152.

Homomorphisms of Two Full Transformation Semigroups II

TANG Hui, YANG Xiuliang

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Letnbe the positive integer which is greater than or equal to 1,TnandTn+1are the full transformation semigroup on finite setXn={1,2,…,n} andXn+1={1,2,…,n+1} respectively. This paper describes all homomorphisms fromTntoTn+1while does not considern=4.

full transformation semigroup; homomorphism; congruences

2015-06-27

楊秀良(1963—)，男，教授，主要從事半群代數(shù)研究.E-mail: yxl@hznu.edu.cn

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.02.011

O152.7 MSC2010:43A22

A

1674-232X(2016)02-0178-06