數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在工科研究生“數(shù)值分析”教學(xué)中的融合和實(shí)踐

宋顯華 李冬梅 劉鳳秋

摘要：為提高工科研究生分析、解決數(shù)值計(jì)算問題的能力，文章研究了在“數(shù)值分析”課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)法。該教學(xué)思想通過數(shù)學(xué)建模過程引入數(shù)值案例，通過對(duì)基于計(jì)算機(jī)仿真軟件的數(shù)值案例設(shè)計(jì)過程進(jìn)行描述、再現(xiàn)及討論，可以在短時(shí)間內(nèi)增加授課信息量，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。從教學(xué)效果看，學(xué)生能夠較快地掌握常用數(shù)值分析算法，并能快速進(jìn)入課題，收到良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；教學(xué)改革

一、引言

“數(shù)值分析”是為我校機(jī)械工程、電氣工程、材料工程和化學(xué)與環(huán)境工程等專業(yè)的碩士研究生開設(shè)的一門學(xué)位課程，通常需要學(xué)生在本科階段學(xué)習(xí)過“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”及“常微分方程”三門課程。“數(shù)值分析”課程又為后續(xù)的“數(shù)學(xué)模型”“軟件工程”和“算法設(shè)計(jì)與分析”等課程奠定知識(shí)和方法論基礎(chǔ)。該課程涉及內(nèi)容較多，并具有很強(qiáng)的理論性和實(shí)踐性。隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展以及社會(huì)對(duì)碩士人才培養(yǎng)提出的更高要求，如何采用有效的教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量已成為“數(shù)值分析”課程教學(xué)任務(wù)中不可回避的重要問題。為了培養(yǎng)和提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析以及解決問題的能力，為今后能夠順利擔(dān)負(fù)科研任務(wù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，根據(jù)該課程的特點(diǎn)，融入數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)法，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其對(duì)教學(xué)內(nèi)容掌握得更加扎實(shí)，講解和實(shí)踐的案例還可以成為學(xué)生在將來從事科研活動(dòng)時(shí)的重要參考資料。

二、“數(shù)值分析”課程的特點(diǎn)

國內(nèi)外為碩士生開設(shè)的數(shù)值分析理論及類似課程所采取的講授方法基本類似。教學(xué)模式或者較為注重計(jì)算公式的推導(dǎo)，或者偏重于具體算法的應(yīng)用。從教學(xué)方式上看，傳統(tǒng)的“注入式”教學(xué)模式仍占主導(dǎo)地位，這嚴(yán)重影響了研究生的個(gè)性培養(yǎng)、創(chuàng)新思維的訓(xùn)練?？傮w來說，該門課程的特點(diǎn)可以概括為以下兩點(diǎn)：（1）具有理論數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性；（2）應(yīng)用的廣泛性與實(shí)踐的高度技術(shù)性。

三、融合數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)法的內(nèi)涵與實(shí)例

（一）教學(xué)法的內(nèi)涵與作用

結(jié)合“數(shù)值分析”課程教學(xué)的特點(diǎn)，可以作出如下定義：融合數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)法是指在教師的策劃和指導(dǎo)下，基于教學(xué)創(chuàng)新理念，以提高學(xué)生分析解決問題的能力為目的，并以數(shù)值分析課程的知識(shí)結(jié)構(gòu)為主線，組織學(xué)生通過對(duì)具有代表性的數(shù)值分析模型的提出、原理的解釋、應(yīng)用領(lǐng)域的分析、思考、討論和交流等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，加深對(duì)知識(shí)理解等的一種特定的教學(xué)方法。

該教學(xué)法是一種理論聯(lián)系實(shí)際，啟發(fā)式的教學(xué)過程。通過教師采用數(shù)學(xué)模型引導(dǎo)來說明理論知識(shí)，通過實(shí)驗(yàn)仿真，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生分析解決問題的能力。采用該教學(xué)法可以克服傳統(tǒng)教學(xué)中“教師主體”的模式缺點(diǎn)，使學(xué)生成為教學(xué)的中心，不僅不必強(qiáng)記定理公式，而且能夠使學(xué)生了解到實(shí)際問題的多選擇性和不確定性，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

目前，我校進(jìn)行了研究生培養(yǎng)模式的改革，提高了要求，在這種情況下，傳統(tǒng)的培養(yǎng)方式及教學(xué)方式必須進(jìn)行改革，該教學(xué)法具備上述優(yōu)點(diǎn)，是一種非常適應(yīng)現(xiàn)代教學(xué)現(xiàn)實(shí)的方法。

（二）教學(xué)法的實(shí)例

目前的數(shù)值分析理論課程教學(xué)，只是在分析已有的模型，而對(duì)于模型的提出過程講授得較少，因此造成了學(xué)生的分析能力強(qiáng)于綜合能力。而學(xué)生在未來的科研工作中，對(duì)于綜合能力的要求要高于分析能力。所以講授數(shù)值分析模型的提出過程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力是十分有益的。在此筆者列舉教學(xué)實(shí)踐中的典型例子說明該教學(xué)法的優(yōu)點(diǎn)。

應(yīng)用實(shí)例：

在講授教材中“常微分方程初值問題數(shù)值解法”這部分的內(nèi)容時(shí)，教材上只是給出了微分方程的幾種數(shù)值方法及其對(duì)應(yīng)的誤差估計(jì)、收斂性和穩(wěn)定性，內(nèi)容較為晦澀難懂，學(xué)生往往不能理解常微分方程來自于哪些實(shí)際問題，特別不理解數(shù)值解的內(nèi)涵，于是筆者在講授該部分內(nèi)容時(shí)融入了數(shù)學(xué)建模的思想。為使學(xué)生理解數(shù)值解的內(nèi)涵，借助C++、MATLAB或MATHEMATICA等軟件做程序的編寫，完成數(shù)值解的求解及幾種方法解的圖形顯示，加深對(duì)該部分內(nèi)容的認(rèn)識(shí)和比較。

提出數(shù)學(xué)建模問題：食餌捕食者問題。

意大利生物學(xué)家DAncona發(fā)現(xiàn)：第一次世界大戰(zhàn)期間意大利阜姆港捕獲的鯊魚的比例有明顯的增加，如表1所示。

事實(shí)上，捕獲的各種魚的比例代表了漁場(chǎng)中各種魚的比例。戰(zhàn)爭中捕獲量會(huì)下降，而食用魚會(huì)增加，以此為生的鯊魚也同時(shí)增加。但是捕獲量的下降為什么會(huì)使鯊魚的比例增加，即對(duì)捕食者更加有利呢？

他無法解釋這個(gè)現(xiàn)象，于是求助于他的朋友，著名的意大利數(shù)學(xué)家Volterra。Volterra建立了一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)模型，回答了DAncona的問題。

模型假設(shè)：

1.食餌增長規(guī)律遵循指數(shù)增長模型，相對(duì)增長率為r；

2.食餌的減小量與捕食者數(shù)量成正比，比例系數(shù)為a；

3.捕食者獨(dú)自存在時(shí)死亡率為d；

4.食餌的存在使捕食者死亡率的降低量與食餌數(shù)量成正比，系數(shù)為b。

通過上述教學(xué)案例的使用，使學(xué)生在學(xué)習(xí)常微分方程問題數(shù)值解的理論后，對(duì)一些實(shí)際問題，能夠建立微分方程組模型，并動(dòng)手實(shí)驗(yàn)給出方程組的數(shù)值解，加深對(duì)數(shù)值解的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)值解收斂性、誤差情況和穩(wěn)定性有具體的認(rèn)知，并進(jìn)一步通過圖形等方法對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證、解釋和分析。

通過3個(gè)教學(xué)循環(huán)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和多年的科研實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，如果采用新教學(xué)法，可以顯著提高教學(xué)效果，并且可以引入現(xiàn)代科研領(lǐng)域的一些前沿內(nèi)容，推動(dòng)教學(xué)改革的進(jìn)行。

在數(shù)值分析理論課程的教學(xué)活動(dòng)中引入了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)法，對(duì)教學(xué)內(nèi)容及實(shí)踐活動(dòng)進(jìn)行了總結(jié)，教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)表明該教學(xué)法能夠提高學(xué)生的獨(dú)立思考能力，解決問題的能力，使學(xué)生在理論知識(shí)和實(shí)踐能力方面達(dá)到了學(xué)以致用的效果，教學(xué)質(zhì)量得到了明顯提高。

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