離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的右連續(xù)性

【摘 要】根據(jù)隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，闡述離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的右連續(xù)性，對判別及理解離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)有較大幫助。

【關(guān)鍵詞】分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 右連續(xù)

1引言

隨機(jī)變量的分布函數(shù)是概率論中的重要概念之一，對于給定的一個(gè)函數(shù)，判別它是否為分布函數(shù)，要根據(jù)分布函數(shù)的四個(gè)性質(zhì)來判別。而分布函數(shù)的四個(gè)性質(zhì)中，右連續(xù)性是學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不易理解的難點(diǎn)。在連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度函數(shù)的概念中，顯然知道連續(xù)型隨機(jī)變量的分函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，故其右連續(xù)性容易理解。然而，離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的右連續(xù)性在理解上是一個(gè)難點(diǎn)，因此，本文主要根據(jù)在概率論的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解分布函數(shù)的右連續(xù)性時(shí)存在的問題，特別對離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的右連續(xù)性作探討和闡述，從而幫助學(xué)生更好的理解分布函數(shù)的右連續(xù)性。

2隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及性質(zhì)

定義：稱函數(shù)，為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。由定義知，對任意一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，具有下列性質(zhì)：

（1） 定義在，且；

（2）單調(diào)不減性：對任意實(shí)數(shù)，有；

（3），，其中，；

（4）右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)，有。

如果要判斷一個(gè)函數(shù)是分布函數(shù)，只需判斷這個(gè)函數(shù)同時(shí)滿足上面的四個(gè)性質(zhì)即可，只要不滿足其中一條，則該函數(shù)就不能作為分布函數(shù)。在判斷過程中，前三條性質(zhì)是較容易理解，而最后一條右連續(xù)性確是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不易理解的內(nèi)容，也是分布函數(shù)這節(jié)內(nèi)容的一個(gè)難點(diǎn)。

一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的右連續(xù)是指函數(shù)在該點(diǎn)的右極限值等于函數(shù)值，也就是說，如果函數(shù)在及的右邊附近有定義，且，則稱在處右連續(xù)。為了更好的理解離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的右連續(xù)性，下面將通過例子來進(jìn)行闡述。

3離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的右連續(xù)性

一般地，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是：

。

實(shí)際上，根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的特點(diǎn)，任意離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是一個(gè)階梯函數(shù)。例如：設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為：；；。因此的分布函數(shù)為：

，

我們在理解上述分布函數(shù)的右連續(xù)性時(shí)，就要探討其跳躍點(diǎn)右連續(xù)性：

（1）在分段函數(shù)的第一段中，要，由隨機(jī)變量的概率分布知取不到隨機(jī)變量的任何值，即：，因此，無定義便不需討論跳躍點(diǎn)的右連續(xù)性；

（2）在分段函數(shù)的第二段中，要，由隨機(jī)變量的概率分布知只有=0，又，而根據(jù)分布函數(shù)的定義，分布函數(shù)是指隨機(jī)變量小于等于的取值的概率和，因此。此段中，跳躍點(diǎn)在定義域內(nèi)，顯然，說明函數(shù)在處右連續(xù)；

（3）在分段函數(shù)的第三段中，要，由隨機(jī)變量的概率分布知可取0和1，而要求的值，就是求隨機(jī)變量小于等于1的所有取值的概率和，即：。此段中，跳躍點(diǎn)包含在定義域內(nèi)，顯然，說明函數(shù)在處右連續(xù)；

（4）在分段函數(shù)的第四段中，要，由已知的概率分布，可以取 0，1 ，2，要求，根據(jù)前面的分析，顯然有：，同理有：，說明跳躍點(diǎn)處右連續(xù)。

通過上述例題的分析，在學(xué)習(xí)過程中要深刻理解離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的右連續(xù)性。首先要看實(shí)數(shù)區(qū)間分割的情況，我們知道，離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)將整個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間分割為相應(yīng)的左閉右開區(qū)間，這是由分布函數(shù)的概念： 所決定的；其次，要清楚認(rèn)識到在分布函數(shù)的定義中，隨機(jī)變量的取值與分布函數(shù)自變量的取值是截然不同的概念，上述例題中指出的是分布函數(shù)自變量的取值，在此基礎(chǔ)上討論，根據(jù)概率分布實(shí)質(zhì)是在討論事件發(fā)生的概率，也就是由和這兩個(gè)事件發(fā)生的概率之和；最后，要熟練掌握函數(shù)右連續(xù)性的定義，判斷被討論點(diǎn)是否包含在相應(yīng)的區(qū)間，如果不包含，那么就不需討論其右連續(xù)性，如果包含，則判斷該點(diǎn)的右極限值是否等于函數(shù)值。

我們知道連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，而且在整個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間上沒有一個(gè)跳躍點(diǎn)，事實(shí)上連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)同樣是一個(gè)分段函數(shù)，其連續(xù)性是由連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的連續(xù)性所決定的。

本文主要通過例題闡述了如何理解離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的右連續(xù)性，并總結(jié)歸納幾點(diǎn)注意的事項(xiàng)，便于學(xué)生在理解分布函數(shù)的右連續(xù)性時(shí)提供幫助，表述中若有不當(dāng)之處，敬請批評、指正。

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