關(guān)于二維正態(tài)分布的一個(gè)教學(xué)注記

摘 要：利用二維正態(tài)分布定義中的一個(gè)基本事實(shí)，簡(jiǎn)單地說明了兩個(gè)正態(tài)分布的聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布，指出了教材中一個(gè)性質(zhì)的不足之處。

關(guān)鍵詞：二維正態(tài)分布；相關(guān)系數(shù)；數(shù)學(xué)問題

眾所周知，二維正態(tài)分布是概率論中非常重要的一種分布，其性質(zhì)也是很重要的，但很多教材在討論兩個(gè)正態(tài)分布的聯(lián)合分布是不是二維正態(tài)分布這個(gè)問題時(shí)，要么就是說得不是很清楚，要么就是沒有給出例子，要么就是給出的例子比較復(fù)雜，其實(shí)只要注意到二維正態(tài)分布定義中的一個(gè)基本事實(shí)，這個(gè)問題就可以說得很清楚。

首先，給出二維正態(tài)分布的定義：如果二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為：

其中μ1，μ2，σ1，σ2，ρ均為參數(shù)，且σ1>0，σ2>0，ρ<1，則稱（X，Y）服從參數(shù)為μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二維正態(tài)分布，記作（X，Y）（μ1，μ2，σ1，σ2，ρ）。

經(jīng)過討論，發(fā)現(xiàn)如果（X，Y）服從二維正態(tài)分布，那么兩個(gè)分量X，Y都服從一維正態(tài)分布，而且參數(shù)ρ就是兩個(gè)分量X，Y的相關(guān)系數(shù)，它是不能等于1和-1的，也就是說（X，Y）服從二維正態(tài)分布的前提是：兩個(gè)分量X，Y是正態(tài)分布，而且它們的相關(guān)系數(shù)不是1和-1。

如果二維隨機(jī)變量（X，Y）的兩個(gè)分量X，Y是同一正態(tài)分布，都是X，那么（X，Y）就不服從二維正態(tài)分布，因?yàn)閮蓚€(gè)分量的相關(guān)系數(shù)是1。這樣我們就很容易解釋，為什么兩個(gè)分量是正態(tài)分布，但它們的聯(lián)合分布不一定是正態(tài)分布。

另外，一些教材中往往給出二維正態(tài)分布的這樣一個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)：若（X，Y）服從參數(shù)為μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二維正態(tài)分布，那么（aX+bY，cX+dY）服從二維正態(tài)分布。

我覺得這個(gè)性質(zhì)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，比如a=c=1，b=d=0這時(shí)（aX+bY，cX+dY）為（X，X），兩個(gè)分量的相關(guān)系數(shù)為1，（X，X）就不服從二維正態(tài)分布。更一般的，如果a b

c d=0，那么（aX+bY，cX+dY）的兩個(gè)分量aX+bY和cX+dY成比例，其相關(guān)系數(shù)為1或-1，（aX+bY，cX+dY）就不服從二維正態(tài)分布。應(yīng)該再加一個(gè)前提，就是行列式a b

c d不等于0，就可以利用二維正態(tài)分布的定義證明（aX+bY，cX+dY）服從二維正態(tài)分布，這樣就沒有問題了。

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