函數(shù)單調(diào)性運(yùn)用舉例

【摘要】一直以來(lái)，函數(shù)單調(diào)性都是高考的熱點(diǎn)以及重點(diǎn)，也是高考必然會(huì)考查的一道數(shù)學(xué)題，而且?guī)缀趺磕甓紩?huì)考查。在高考數(shù)學(xué)題中，函數(shù)部分的考查要求較高、試題靈活、考查分值大等特點(diǎn)，并且函數(shù)的幾大重要性質(zhì)中單調(diào)性又是非常重要的一個(gè)。高考中，無(wú)論從考查的知識(shí)點(diǎn)，還是從考查的解題思維來(lái)看，函數(shù)的單調(diào)性都是主要的考查對(duì)象，所以學(xué)生應(yīng)該更加熟練地掌握函數(shù)單調(diào)性。本文將對(duì)函數(shù)單調(diào)性的常見作用進(jìn)行歸納總結(jié)，結(jié)合高考，通過(guò)具體實(shí)例探析函數(shù)單調(diào)性在高考題中的考察方式。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)單調(diào)性 高考數(shù)學(xué)運(yùn)用舉例

在函數(shù)中，函數(shù)的單調(diào)性是比較重要的性質(zhì)之一，對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行細(xì)致化研究能夠很好地探究函數(shù)的某些特性，在解答一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，借助函數(shù)單調(diào)性可使問(wèn)題迎刃而解。但是，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)碰到很多問(wèn)題，不易掌握，其包含的內(nèi)容繁多，方法不一，變換靈活，陷阱重重。只有熟練掌握并歸納整理典型例題，通過(guò)模仿變通，能舉一反三地研究相關(guān)內(nèi)容，才能提高學(xué)生解題能力。

1.利用函數(shù)的單調(diào)性求值域或最值

在考查與函數(shù)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，不管是求函數(shù)的最值，還是求函數(shù)的值域，兩者的求解方法都存在著一些相同的地方[1]。求函數(shù)的最值或值域，首先應(yīng)該考慮函數(shù)的定義域，之后再對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究，如果函數(shù)屬于復(fù)合函數(shù)，那么在實(shí)際解題過(guò)程中需要按照復(fù)合規(guī)律進(jìn)行單調(diào)性分析。利用單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值，應(yīng)該結(jié)合實(shí)際情況解答，切勿死板教條[2]。

例如：函數(shù)y =arccos（sinx），（其中-π/3﹤x﹤2π/3）的值域是（ ）

（A）（π/6，2π/3） （B）（π/3，2π/3） （C）[0，5π/6） （D）（π/6，5π/6）

解：對(duì)于sinx而言x∈（-π/3，2π/3）和x∈（-π/3，π/2]值域相同，但是sinx在x∈（-π/3，π/2]時(shí)是增函數(shù)，而arccosx是減函數(shù)，因此y=arccos（sinx）實(shí)質(zhì)上是減函數(shù)，可得出y∈[0，5π/6），因此這個(gè)題的答案是C。

2.利用函數(shù)的單調(diào)性求解方程

利用函數(shù)的單調(diào)性解方程，可以簡(jiǎn)化求解過(guò)程，提高解題速度。很多方程按照常規(guī)方法求解存在一定難度，所以只能通過(guò)其他方法求解。但前提是必須掌握好相關(guān)知識(shí)，巧妙變通，才能夠求出方程的根。處理一些這樣的方程，方法較多，其中借助函數(shù)的單調(diào)性便是方法之一，此方法可以簡(jiǎn)化求解過(guò)程，降低求解難度[3]。

例如：解方程4x+3x=5x……（1）

分析：這個(gè)方程實(shí)質(zhì)上是超越方程，如果高中生采取常規(guī)解答方程的方法來(lái)解答上題，那么將會(huì)很難找到解題的切入點(diǎn)。我們?cè)趯W(xué)習(xí)勾股定力的時(shí)候就已經(jīng)知道5、4、3是一組勾股數(shù)，由勾股定理知，在x等于2的時(shí)候，以上的方程就能夠成立。當(dāng)前要通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明x等于2是方程（1）的唯一根，具體解題方法如下：

解：觀察后發(fā)現(xiàn)x等于2是方程（1）的一個(gè)根。

先把方程4x+3x=5x變形成（4/5）x+（3/5）x=1……（2）

當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，函數(shù)y=ax是遞減函數(shù)。下面可以分成兩種情況進(jìn)行解答：

第一，在x小于2的情況下，（4/5）x>（4/5）2，（3/5）x>（3/5）2，得出（4/5）x+（3/5）x>（4/5）2+（3/5）2，所以x小于2時(shí)，方程4x+3x=5x沒(méi)有根。

第二，在x大于2的情況下，（4/5）x<（4/5）2，（3/5）x<（3/5）2，得出（4/5）x+（3/5）x<（4/5）2+（3/5）2，所以x大于2時(shí)，方程4x+3x=5x沒(méi)有根。

綜上所述：x=2是方程（1）唯一的根。

3.利用函數(shù)的單調(diào)性求代數(shù)式的值

有些代數(shù)式的求值問(wèn)題，若直接求解，或較繁瑣或根本無(wú)法求出。若把代數(shù)式看成函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，則可以順利求出所給代數(shù)式的值[4]。

例如：已知a∈R，x∈[-π/2，π/2]，y∈[-π/4，π/4]，已知sinx+x3-2a=0……（3），sinycosy+4y3+a=0……（4），求解x+2y的余弦值。

分析：求解x+2y的值，最常見的解題思路就是從sinx+x3-2a=0式中將x解出，從sinycosy+4y3+a=0式中將y值解出來(lái)，然而本題中很難根據(jù)已知條件求解出x和y的值。若將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)值，容易得出x+2y=0，cos（x+2y）=1，具體解題的步驟如下：

解：由（3）式以及（4）式可以求得x3+sinx=2a=（-2y）3+sin（-2y）……（5）

令f（t）=t3+sint，對(duì)于（5）式左端有t=x，-π/2≤x≤π/2；對(duì)于（5）式右端有t=-2y，-π/2≤-2y≤π/2，所以f（x）=f（-2y），在t∈[-π/2，π/2]時(shí)f（t）=t3+sint是單調(diào)遞增函數(shù)，所以有x=-2y，也就是x+2y=0，即cos（x+2y）=1。

4.結(jié)語(yǔ)

分析之前幾年的高考數(shù)學(xué)試卷后不難發(fā)現(xiàn)，考查與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)的知識(shí)的比例一直占據(jù)很高的比重，其中函數(shù)單調(diào)性尤為重要，主要包括：分段函數(shù)的極值以及最值、函數(shù)單調(diào)性的定義、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等。也常常將單調(diào)性與奇偶性、周期性混合考查，這樣的考查方式要求學(xué)生能夠隨機(jī)應(yīng)變，熟知各種性質(zhì)之間的聯(lián)系，正因?yàn)槿绱?，如果單調(diào)性都沒(méi)有很好地掌握，就更不能解決綜合性問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1]徐章韜.彩線串珠的單調(diào)性——核心概念在高考試題中的運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2014，129（22）：2064-2065.

[2]王慧興.用單調(diào)性定義處理高考試題中函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題[J].試題與研究：高中文科綜合，2013，115（11）：102-103.

[3]梁毅.“拆分、提取、重組”揭示高考題的數(shù)學(xué)本質(zhì)——小專題復(fù)習(xí)課“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)實(shí)錄與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015，213（06）：254-256.

[4]劉新春.按劍清八極——用單調(diào)性利劍破解高考函數(shù)綜合題[J].新高考：高三數(shù)學(xué)，2014，27（25）：192-202.