淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

在初中教材中，對(duì)二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對(duì)他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來(lái)加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射？：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為？（x）= ax2+bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題：

類(lèi)型I：已知？（x）= 2x2+x+2，求？（x+1）

這里不能把？（x+1）理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

類(lèi)型Ⅱ：設(shè)？（x+1）=x2-4x+1，求？（x）

這個(gè)問(wèn)題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則？下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。

？（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x2-6x+6

（2） 變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都可適用。

令t=x+1，則x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6從而？（x）= x2-6x+6

二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象。

在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（-∞，-b2a]及[-b2a ，+∞） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺(jué)地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

類(lèi)型Ⅲ：畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，并通過(guò)圖象研究其單調(diào)性。

（1）y=x2+2|x-1|-1

（2）y=|x2-1|

（3）= x2+2|x|-1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫(huà)出其圖象。

類(lèi)型Ⅳ設(shè)？（x）=x2-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并畫(huà)出 y=g（t）的圖象

解：？（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時(shí)取最小值-2

當(dāng)1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2

當(dāng)t>1時(shí)，g（t）=？（t）=t2-2t-1

當(dāng)t<0時(shí)，g（t）=？（t+1）=t2-2

t2-2， （t<0）

g（t）= -2，（0≤t≤1）

t2-2t-1， （t>1）

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。

如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數(shù)的值域。

三、二次函數(shù)的知識(shí)，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

類(lèi)型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)？（x）=ax2+bx+c（a>0）方程？（x）-x=0的兩個(gè)根x1，x2滿足0

（Ⅰ）當(dāng)X∈（0，x1）時(shí)，證明X<？（x）

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)？（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明x0< x2 .

解題思路：

本題要證明的是x<？（x），？（x）

（Ⅰ）先證明x<？（x），令？（x）=？（x）-x，因?yàn)閤1，x2是方程？（x）-x=0的根，？（x）=ax2+bx+c，所以能？（x）=a（x-x1）（x-x2）

因?yàn)?0，又a>0，因此？（x） >0，即？（x）-x>0.至此，證得x<？（x）

根據(jù)韋達(dá)定理，有 x1x2=ca ∵ 0？（0），所以當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)？（x）<？（x1）=x1，

即x<？（x）

（Ⅱ） ∵？（x）=ax2+bx+c=a（x+-b2a ）2+（c- ），（a>0）

函數(shù)？（x）的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-b2a，且是唯一的一條對(duì)稱軸，因此，依題意，得x0=-b2a，因?yàn)閤1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)違達(dá)定理得，x1+x2=-b-1a，∵x2-1a<0，

∴x0=-b2a=12（x1+x2-1a）

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識(shí)，使我們對(duì)它的研究更深入。