列方程解代數(shù)應(yīng)用題的一般步驟及舉例分析

【摘 要】列方程解應(yīng)用題一般可以概括為“列”、“解”、“答”三字。列：包括審清題意、選擇適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)設(shè)元、列出方程；解：解出未知數(shù)的值，即求方程的解；答：包括檢驗(yàn)并答出符合方程和題意的結(jié)果。用方程解應(yīng)用題一般分六步進(jìn)行。盡管一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，但若能抓住問題的關(guān)鍵，題目就迎刃而解。

【關(guān)鍵詞】方程 列方程 應(yīng)用題 步驟 分析

一、正確理解題意

列方程解應(yīng)用題是學(xué)生比較難以掌握的知識(shí)，看懂題目是關(guān)鍵。如何看懂題目，實(shí)際上就是要把應(yīng)用題里的日常語(yǔ)言直接翻譯成代數(shù)語(yǔ)言的過程。因此，能否正確理解應(yīng)用題中的日常語(yǔ)言，弄清哪些是已知哪些是未知以及兩者之間的關(guān)系等式十分必要的。

方法總結(jié)：總數(shù)量對(duì)應(yīng)成比例或相等

例1、某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個(gè)螺釘或2000個(gè)螺母。一個(gè)螺釘需要2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)該安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各是多少人？

分析：這是典型的勞力分配和配套問題，解決這類問題的方法是根據(jù)“總數(shù)量對(duì)應(yīng)成比例或相等”這一數(shù)量關(guān)系列方程求解。題中“車間有22名工人”轉(zhuǎn)化成代數(shù)語(yǔ)言就是“假設(shè)生產(chǎn)螺釘是x人，那么生產(chǎn)螺母就是（22-x）人”；“一個(gè)螺釘需要2個(gè)螺母”用代數(shù)語(yǔ)言“螺母數(shù)量2000（22-x）是螺釘數(shù)量1200x的2倍”來理解。

解：根據(jù)題意，列得方程：2000（22-x）=2×1200x，解之得x=10，即22-x=12。

答：應(yīng)該安排生產(chǎn)螺釘10人、生產(chǎn)螺母12人

二、選擇適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)

選擇適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)設(shè)元是進(jìn)一步分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)。設(shè)元不同，得到的方程也不同，解法也不同。有些時(shí)候未知數(shù)不一定直接設(shè)成所求的量。選擇未知數(shù)設(shè)元的方法大致有三種：直接設(shè)元、間接設(shè)元、輔助設(shè)元。

例1、整理一批圖書，由一個(gè)人做要40小時(shí)完成，現(xiàn)在計(jì)劃由一部分人先做4小時(shí)，再增加2人和他們一起做8小時(shí)，完成這項(xiàng)工作，假設(shè)這些人的工作效率相同，具體先安排多少人工作？

分析：工程問題中通常把工作總量視為1，各部分工作量之和等于1.且工程問題中的數(shù)量關(guān)系為：

這里可以把總工作量看作1，人均效率（一個(gè)人做1小時(shí)完成的工作量）為，可先設(shè)安排x人工作。由x人先做4小時(shí)，完成的工作量為，再增加2人和前一部分人一起做8小時(shí)，完成的工作量為，這項(xiàng)工作分兩段完成，兩段完成的工作量之和為1。

解：根據(jù)題意，可列方程：。解之得x=2

答：具體先安排2人工作。

（例1中就是直接把所求未知數(shù)設(shè)成元。）

三、分析數(shù)量關(guān)系

所謂分析法，簡(jiǎn)單的說就是從整體到局部，先確認(rèn)列方程時(shí)所依據(jù)的等量關(guān)系，并從這個(gè)等量關(guān)系出發(fā)，根據(jù)需要和已知條件，通過分析，逐步找出構(gòu)成方程所需要的代數(shù)式，從而建立方程。

例1、某商店將某種服裝按成本價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià)，又以7折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利20元，這種服裝每件的成本是多少元？

分析：解決這個(gè)“銷售利潤(rùn)中求成本”的問題，所依據(jù)的等量關(guān)系是：售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤(rùn)。根據(jù)題意該服裝“按成本價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià)，又以7折優(yōu)惠賣出”，設(shè)每件服裝的成本價(jià)是x元的話，則每件服裝的實(shí)際售價(jià)為1.5x×0.7；再根據(jù)相等關(guān)系每件服裝的利潤(rùn)是20元，可列出方程：

1.5x×0.7-x=20。

解：設(shè)每件服裝的成本價(jià)是x元。則根據(jù)題意得：

1.5x×0.7-x=20，解之得x=400。答：這種服裝每件的成本是400元。

所謂綜合法，簡(jiǎn)單的說就是從局部到整體，先從所設(shè)的未知數(shù)出發(fā)，根據(jù)已知數(shù)與未知數(shù)的關(guān)系，組成若干個(gè)代數(shù)式，然后再找出等量關(guān)系，把各個(gè)代數(shù)式綜合為方程。

四、列出方程或方程組

這一步是前面幾步的必然結(jié)果，這時(shí)可根據(jù)前幾步提供的條件列出需要的方程，可列一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程和分式方程求解。但無論采用哪種類型的方程（組），一定要注意統(tǒng)一計(jì)算式中的計(jì)量單位。

例1、某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個(gè)螺釘或2000個(gè)螺母。一個(gè)螺釘需要2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)該安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各是多少人？

解：設(shè)安排生產(chǎn)螺釘x人，生產(chǎn)螺母y人，根據(jù)題意得：

。解之得：。答：安排生產(chǎn)螺釘10人，生產(chǎn)螺母12人。

該題在前面我們用一元一次方程來解決，這里我們還可以采用二元一次方程組來解決，可見相同的題目可以有多種選擇方法。但切可不要因?yàn)槟撤N原因而故意選擇那些“偏方怪法”，無論用什么方程解決問題，都必須是結(jié)合自身知識(shí)掌握程度需要的，而不要盲目求異。

五、解方程求出未知數(shù)的值

在考試中，根據(jù)前面幾個(gè)步驟能夠列出方程還不能說是解決了問題，我們還要進(jìn)一步正確解出方程的解，這就是在第四個(gè)步驟中為什么要強(qiáng)調(diào)“列方程時(shí)必須是結(jié)合自身知識(shí)掌握程度的需要，而不要盲目求異”，列出能夠快速求解并且容易求解的方程在這一步中就顯得尤為重要。

六、檢驗(yàn)

檢驗(yàn)的目的有兩個(gè)，一是看所得結(jié)果是不是原方程（組）的解；二是看所得的結(jié)果是不是符合題意和實(shí)際意義。這一步一般在用一元一次方程或二元一次方程組解題時(shí)不要求寫出具體過程，但在一元二次方程和分式方程中就必須有所體現(xiàn)。

例1、恒利商廈九月份的銷售額為200萬(wàn)元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營(yíng)，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月的銷售額達(dá)到了193.6萬(wàn)元，求這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率。

分析：這是增長(zhǎng)（下降）率問題，需要用一元二次方程來解決。

解：設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是x，則根據(jù)題意得：

200（1-20%）（1+x）2=193.6，即（1+x）2=1.21，解之得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）。

答：這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是10%。

這里的x是增長(zhǎng)率，x2=-2.1是不符合實(shí)際的，所以必須舍去；且需要注意的是增長(zhǎng)率是個(gè)百分?jǐn)?shù)，所以x1=0.1的要化為x=10%。

初中階段所學(xué)習(xí)的方程類型為：一元一次方程、二元（或三元）一次方程組、一元二次方程、分式方程。用哪種方程解哪種類型應(yīng)用題，這并沒有固定的模式，只是根據(jù)不同類型應(yīng)用題的特點(diǎn)一般選擇常用的、簡(jiǎn)單明了的方程（組）求解罷了。但不管用什么方程（組），上面的六個(gè)步驟都是缺一不可的。

參考文獻(xiàn)

[1]劉培杰.新編中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法全書（初中版）上卷[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.2013.58-59，62