用心良苦，量變質(zhì)變

乘法分配律因其復(fù)雜的表達(dá)形式與小學(xué)中后階段大量變式的應(yīng)用，讓老師們焦頭爛額，讓學(xué)生們苦不堪言。

案例一

以下是網(wǎng)絡(luò)上一位老師的教學(xué)困惑

一、抓住重點(diǎn)，讓學(xué)生理解乘法分配律的意義

今天教學(xué)運(yùn)算律——乘法分配律，對(duì)于例題的解決，學(xué)生能列出不同的算式，45×5+65×5和（45+65）×5，通過(guò)各自的計(jì)算得出計(jì)算結(jié)果相同，要學(xué)生觀察左右兩邊算式之間的聯(lián)系與區(qū)別時(shí)，學(xué)生就根本不知道從何下手。而讓學(xué)生模仿寫出幾組算式后，觀察分析幾組等式左右兩邊的區(qū)別之后，學(xué)生也還是無(wú)法用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)這一規(guī)律。場(chǎng)面一時(shí)之間很冷，后來(lái)我只好直接讓學(xué)生用字母來(lái)表示，變化為這樣的形式之后，有很多的學(xué)生都能夠?qū)懗鰜?lái)。

我不明白這是為什么，時(shí)間我給了，小組也交流了，在小組交流時(shí)我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)我們班上的學(xué)生根本無(wú)法發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，所以也根本無(wú)法用語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行表達(dá)。難道是坡度給得不夠嗎？還是平時(shí)的教學(xué)中出現(xiàn)了問(wèn)題。這些都要一一地去分析。

二、練習(xí)中注意乘法分配律的變式

乘法分配律的意義是應(yīng)用，是為了計(jì)算的簡(jiǎn)便。所以，在練習(xí)中我注意讓學(xué)生說(shuō)清楚怎么使用的。尤其是想想做做第2題中的74×（20+1）和74×20+74。一定要學(xué)生說(shuō)清楚括號(hào)中的1是從哪兒來(lái)的。但是簡(jiǎn)便的思想滲透得還很不夠。學(xué)生在完成想想做做第5題的時(shí)候，一大半的學(xué)生都沒(méi)有采用簡(jiǎn)算的方法。哪怕他們?cè)诮?jīng)過(guò)了第四題的練習(xí)時(shí)也是一樣。

案例二

一位年輕老師的公開(kāi)課

（一）練習(xí)導(dǎo)入：（嘗試用多種方法解決問(wèn)題）

一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是72米，寬是28米，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少米？

學(xué)校要換夏季校服了，上衣每件32元，褲子每件18元，四年級(jí)一班共64人，一共需要多少元？

（二）探索新知：

觀察式子 ①（72+28）×2和②72×2+28×2，

③（32+18）×64和④32×64+18×64 說(shuō)說(shuō)你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律。

嘗試寫出類似的一組算式，請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)找出的規(guī)律是不是一定成立？

用a、b、c代表三個(gè)數(shù)，你能寫出上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

練習(xí)：

（1）火眼金睛，判對(duì)錯(cuò)。（檢驗(yàn)學(xué)生是否理解什么是乘法分配律）

56×（19+28）=56×19+28

64×64+36×64=（64+36）×64

32×（3×7）=32×7+32×3

（2）把結(jié)果相同的兩個(gè)式子連起來(lái)。（鞏固對(duì)乘法分配律的理解，滲透乘法分配律在簡(jiǎn)便計(jì)算的運(yùn)用）

①（42+25+33）×26 A.20×25+4×25

② 36×15-26×15 B.（66+34）×66

③ 66×66+66×34 C. 42×26+25×26+33×26

④ 38×99+38 D.（36-26）×15

⑤ （20+4）×25 E.38×（99+1）

觀察算式的特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。（利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算）

（4+40）×25 17×65+83×65 101×79

學(xué)生在練習(xí)第二題時(shí)就出現(xiàn)了不順暢的現(xiàn)象，體現(xiàn)了對(duì)定律不掌握的情形。

從以上兩個(gè)教學(xué)案例中不難看出，兩位老師都關(guān)注到乘法分配律在表達(dá)形式上的建構(gòu)，也關(guān)注到用乘法的意義，幾個(gè)幾來(lái)解讀乘法分配律。但是結(jié)果仍然是教師不滿意，學(xué)生還是云里霧里。那么，原因在哪兒呢？我認(rèn)為老師們只研究了這節(jié)課的教材，將本節(jié)課人為地割裂了。關(guān)于乘法分配律，老師們和學(xué)生們要想達(dá)到一種比較清晰的程度，我認(rèn)為要關(guān)注以下幾個(gè)“聯(lián)系”。

三、教材各年段關(guān)于乘法算理表征之間的聯(lián)系

“雖然四年級(jí)才正式學(xué)習(xí)乘法分配律，但從二年級(jí)學(xué)習(xí)乘法口訣時(shí)，教科書(shū)就開(kāi)始滲透乘法分配律了；三年級(jí)用點(diǎn)子圖探索一位數(shù)乘兩位數(shù)或者三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法的過(guò)程，事實(shí)上也是借助圖形直觀，體會(huì)基于乘法分配律的計(jì)算道理”——四年級(jí)上冊(cè)《乘法分配律》教師用書(shū)。

二年級(jí)上冊(cè) 《有多少?gòu)堎N畫》

三年級(jí)上冊(cè) 《螞蟻?zhàn)霾佟?/p>

四年級(jí)上冊(cè) 《乘法分配律》

不難看出，教材教材在編排上，為了讓孩子們逐年體會(huì)乘法分配律，可謂用心良苦。先是看懂了嗎，再是說(shuō)說(shuō)每一步的意思，最后是結(jié)合算式說(shuō)明乘法分配律成立，這里邊既有孩子數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的培養(yǎng)，又有乘法的意義的不算滲透。變化的是表述越來(lái)越完整，邏輯越來(lái)越嚴(yán)密，不變的是借助圖形直觀強(qiáng)調(diào)了“幾個(gè)幾”的疊加規(guī)則。

四、形如（a+b）×c與a×c+b×c的算式間的聯(lián)系

1.在得到兩組算式之后，不著急讓學(xué)生對(duì)比觀察，可以先讓學(xué)生結(jié)合格子圖說(shuō)說(shuō)每一個(gè)算式計(jì)算的是那部分的格子，建立數(shù)形之間的聯(lián)系。

2.建立聯(lián)系后，不妨老師隨機(jī)在格子圖上圈出兩部分格子，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)怎么用算式表達(dá)。

3.引導(dǎo)學(xué)生聚焦到某一組算式，比如：3×10+5×10與（3+5）×10，追問(wèn)：怎么右邊少了“10”，怎么結(jié)果還想等呢？組織學(xué)生充分討論，最后左邊是將8個(gè)10分開(kāi)算，而右邊是一起算。

4.在算式的左邊跟右邊用紅筆圈出10，邊圈邊指導(dǎo)學(xué)生表達(dá)：3個(gè)10加上5個(gè)10等于8個(gè)10。組織學(xué)生同桌之間邊圈出算式中的數(shù)字，邊說(shuō)幾個(gè)幾加上幾個(gè)幾等于幾個(gè)幾。

五、乘法分配律與其它運(yùn)算律之間的聯(lián)系

1.整體觀察前4條運(yùn)算定律

加法交換律：a+b=b+a，加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）

乘法交換律：a×b=b×a，乘法結(jié)合律：（a×b）×c=a×（b×c）

2.揭示乘法分配律溝通乘法與加法的聯(lián)系

從運(yùn)算看，這四種運(yùn)算律只是針對(duì)一種運(yùn)算?？梢杂眠@種聯(lián)系來(lái)導(dǎo)入，不妨在開(kāi)課階段就呈現(xiàn)以上四種運(yùn)算律，開(kāi)門見(jiàn)山：“我們前面學(xué)的交換律、結(jié)合律只適合單一的加法或者乘法，那么有沒(méi)有一種運(yùn)算規(guī)律既有加法也有乘法呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的新知識(shí)?！?/p>

六、在問(wèn)題解決中的數(shù)學(xué)模型與乘法分配律的聯(lián)系

1. 面積模型

說(shuō)明兩種計(jì)算方法每一步的意思：（2+20）×13；2×13+20×13。

2. 購(gòu)物模型

每支鋼筆筆13元，藍(lán)老師買了20支，發(fā)現(xiàn)不夠，又買了2支，一共要多少元？

說(shuō)明兩種計(jì)算方法每一步的意思：（2+20）×13；2×13+20×13。

3. 豎式模型

學(xué)生多視角地理解乘法分配律，反復(fù)追問(wèn)，反復(fù)強(qiáng)化，小學(xué)生一旦有了真正的理解，乘法分配律的形式，內(nèi)涵就能夠真正融會(huì)貫通了。

總而言之，乘法分配律之所以難，是因?yàn)檫\(yùn)算的形式比其它的運(yùn)算律復(fù)雜，算理的理解上比其它的運(yùn)算律更多元化。不過(guò)，教材為老師們?cè)缭缇妥龊昧虽亯|，我們老師善于發(fā)現(xiàn)教材埋下的伏筆，牢牢把握每一個(gè)學(xué)年段學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到的度，找到它的形式與內(nèi)涵的聯(lián)系，穩(wěn)扎穩(wěn)打，一定能實(shí)現(xiàn)量變到質(zhì)變。這個(gè)小學(xué)階段的計(jì)算中最難啃的骨頭，最后會(huì)變成最值得回味的骨頭。