Matlab在矩陣求逆中的應(yīng)用

[摘 要] Matlab是當(dāng)今國際上公認(rèn)的最優(yōu)秀的科技應(yīng)用軟件之一。主要介紹了Matlab在矩陣求逆中的應(yīng)用，旨在增強(qiáng)學(xué)生對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和數(shù)值計(jì)算能力。

[關(guān) 鍵 詞] Matlab；矩陣求逆；線性代數(shù)

[中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）18-0016-01

一、引言

線性代數(shù)是一門應(yīng)用性極強(qiáng)但理論上又具有高度抽象性的基礎(chǔ)課程，其包含的數(shù)學(xué)原理和方法廣泛應(yīng)用于控制、機(jī)械及信息工程等領(lǐng)域。瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding說：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來就和文盲差不多。”然而抽象的理論、繁瑣的計(jì)算往往讓學(xué)生感受不到線性代數(shù)理論體系存在的實(shí)際意義，難以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，學(xué)生也很難體會到其在科學(xué)與工程應(yīng)用領(lǐng)域中的重要地位。

Matlab是一種以矩陣計(jì)算為基礎(chǔ)的交互式程序語言，擁有強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算和可視化圖形處理功能。而線性代數(shù)的主角就是矩陣及其運(yùn)算，因此將Matlab引入線性代數(shù)課堂教學(xué)，可以提高學(xué)生的數(shù)值計(jì)算能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于教學(xué)質(zhì)量的提高。

本文主要結(jié)合線性代數(shù)中矩陣求逆這一知識點(diǎn)，深入探討如何借助Matlab軟件來求矩陣的逆。

二、矩陣求逆的方法

設(shè)矩陣A（aij）n×n是n階方陣，E是n階單位矩陣，并假方陣可逆。下面詳細(xì)介紹求解逆矩陣的方法：

方法一：借助逆矩陣的定義，利用待定系數(shù)法求矩陣A的逆。設(shè)B是由n2個(gè)未知數(shù)組成的n階方陣滿足，利用矩陣的乘法運(yùn)算將其展開可得一個(gè)含n2個(gè)未知量的線性方程組，應(yīng)用高斯消元法求解該線性方程組。如果該方程組有唯一解，此時(shí)即可得到矩陣A的逆矩陣。但當(dāng)矩陣A的階數(shù)比較高時(shí)，利用該方法求逆運(yùn)算量將非常大。

方法二：借助伴隨矩陣來求解矩陣A的逆：此時(shí)，A-1=A*A其中A*為A的伴隨矩陣；注意伴隨矩陣A*的第i行第j列的元素是aji的代數(shù)余子式。利用該方法求矩陣A的逆需要計(jì)算1個(gè)n階行列式和n2個(gè)n-1階行列式，因此應(yīng)用該方法求解高階矩陣的逆時(shí)，計(jì)算量非常大。

方法三：借助初等變換來求解矩陣A的逆：該方法的基本思路是構(gòu)造一個(gè)n×2n階矩陣A=A E，對A進(jìn)行初等行變換，當(dāng)子塊A所在部分化為單位矩陣E時(shí)，子塊E所在部分就被化為A-1；類似地也可以借助初等列變換來得到矩陣A的逆矩陣。

上述三種方法都可以用來求解矩陣的逆，但當(dāng)矩陣的階數(shù)比較高時(shí)，計(jì)算將變得非常復(fù)雜。此時(shí)為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，可以將Matlab引入課堂教學(xué)，使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)不是枯燥乏味的，它具有很強(qiáng)的實(shí)用性。

下面通過一個(gè)具體的例子來詳細(xì)介紹如何利用Matlab來進(jìn)行矩陣求逆運(yùn)算。

①調(diào)用求逆命令inv

>>B=inv（A）

②調(diào)用左除命令或右除命令，其中表示階單位矩陣，運(yùn)算符“＼”“/”分別表示左除和右除。眾所周知，在矩陣?yán)碚撝袥]有矩陣除法的概念，但在Matlab中可以把乘以逆矩陣看作除法。程序如下：

>>E=eye（5），B=A＼E（或B=E/A）

③調(diào)用求行列式命令det.首先定義伴隨矩陣函數(shù)adj，M函數(shù)文件編寫如下：

function adj=adj（A，n）

adj=zeros（n）；

for i=1：n

for j=1：n

adj（j，i）=（-1）^（i+j）*det（A（[1：i-1，i+1：n]，[1：i-1，i+1：n]））；

end

end

程序如下：

>>B=adj（A，5）/det（A）

④調(diào)用最簡行階梯形命令rref.程序如下：

>>R=rref（[A eye（5）]），B=R（：，6：10）

三、結(jié)束語

在線性代數(shù)教學(xué)中適當(dāng)?shù)匾隡atlab，利用Matlab的強(qiáng)大計(jì)算功能，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率，讓學(xué)生在感覺到學(xué)有所用的同時(shí)，提高學(xué)生的數(shù)值計(jì)算能力，為學(xué)生日后應(yīng)用該軟件進(jìn)行科學(xué)與工程計(jì)算打下良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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