數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的主動性學(xué)習(xí)思維

數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)，也是數(shù)學(xué)教師的共識。問題是在具體教學(xué)實(shí)踐中，是否做好或者說如何真正有效地做到對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)呢？以目前的教材、教參、教案，尤其是以預(yù)設(shè)的教學(xué)課件為基礎(chǔ)的課堂教學(xué)中，比較顯現(xiàn)的是教師主導(dǎo)下的思維活動，學(xué)生的思維很大程度上是受教師引導(dǎo)下的被動思維。這種思維培養(yǎng)是不完整的。教學(xué)的主體是學(xué)生，課堂教學(xué)應(yīng)該充分注重學(xué)生為主體的主動意識。 任何知識、方法、經(jīng)驗，主動意識得到的遠(yuǎn)比被動接收的影響深遠(yuǎn)，并會主動熟練地應(yīng)用，思維更是如此。所以思維的培養(yǎng)也應(yīng)在學(xué)生主體的主動性思維上進(jìn)行。因而提出有關(guān)主動性思維的兩個概念。

自然思維——根據(jù)自我認(rèn)知，合情推測，想當(dāng)然地、順其自然地思維。

直覺思維——根據(jù)知識經(jīng)驗，自覺和直接的思想方式。直覺思維往往表現(xiàn)為潛意識、下意識和無意識的，是非邏輯思維的一種思維形式。在教學(xué)中如何關(guān)注學(xué)生主動性思維的培養(yǎng)，本文以人民教育出版社高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教材《數(shù)學(xué)》必修五數(shù)列部分內(nèi)容和課堂教學(xué)案例來作為嘗試。

一、求通項公式兩種教學(xué)設(shè)計的對比

在介紹等差數(shù)列通項公式時，根據(jù)教材給出的方法，常見的教學(xué)設(shè)計是：

由等差數(shù)列的定義，前后兩項之間的關(guān)系是什么？各項如何用a1，d來表示？進(jìn)而得到通項公式an=a1+（n-1）d。 然后教師進(jìn)一步說明這種方法的意義是由個例歸納出一般，是一種合情推理 這樣的教學(xué)方式，只是一種啟發(fā)引導(dǎo)式的思維培養(yǎng)，看似學(xué)生參與了，實(shí)質(zhì)上還是停留在學(xué)生由教師主導(dǎo)下被啟發(fā)引導(dǎo)的一種思維方式，還沒有充分體現(xiàn)出讓教學(xué)的主體——學(xué)生自主學(xué)習(xí)

筆者的教學(xué)方案是：

教師設(shè)問：等差數(shù)列是一種有規(guī)律的數(shù)列，這個規(guī)律是什么？他的通項公式如何探究？ 學(xué)生討論后答：規(guī)律就是定義，通項公式可以從項與項之間的關(guān)系來推測。

教師要求：那么請大家進(jìn)行自主探求。學(xué)生們討論后基本上有兩種方案。（1）由定義得a2-a1=d，a3-a2=d，?，an-an-1=d。

∴a2=a1+d，a3=aa+2d，a4=a1+3d，推測得an=a1+（n-1）d。

（2）由a2-a1=d，a3-a2=d，an-an-1=d，把以上各式相加得an-a1=（n-1）d，∴an=a1+（n-1）d。教師小結(jié)：這兩種方法都很好，各有特點(diǎn)。

方法一反映了歸納推理、合情猜想的思維，但是歸納猜想的結(jié)論是否正確，需要嚴(yán)格的演繹證明。

方法二是一種很好和有用的推理證明思想——“累加法”。凡是相加可消去中間項的都可以嘗試這種方法。這樣的教學(xué)方案，在體現(xiàn)學(xué)生主動性思維上顯然比第一種方案要好，它注重了學(xué)生的自然思維和直覺思維。

二、求前n項和兩種教學(xué)設(shè)計的對比

在介紹等差數(shù)列的前項和時，大部分教師參照教材一開始給出的高斯思想進(jìn)行提示，并且再把這個思想與求和結(jié)合起來。其實(shí)許多學(xué)生，尤其是初中學(xué)過和課前預(yù)習(xí)過的學(xué)生，他們的思維就只停留在高斯的思維引導(dǎo)下，而缺失了自覺主動創(chuàng)新思維的意識，只感受到了高斯的“聰明”，而沒有意識去嘗試這種“聰明”思維自己能否產(chǎn)生和如何產(chǎn)生。這樣被動的思維培養(yǎng)其實(shí)只是一種形式而已，這樣的思維過程也很不“順其自然”。如果意識到主動性思維的培養(yǎng)，可以設(shè)計這樣的教學(xué)方案。

教師不作任何提示，直接讓學(xué)生嘗試求和。 學(xué)生思考后，基本能夠自然地利用通項把每一項的第一個相加，第二個概括在一起得到：Sn=na1+[1+2+?+（n-1）]d。 到了這里，學(xué)生們就能自然而主動地想到求Sn就是求1+2+?+（n-1）。關(guān)于自然數(shù)求和，有的學(xué)生就回憶起了高斯方法。更可喜的是，即使沒有想到高斯，從1+2+?+（n-2）+（n-1）的形式看，大多數(shù)學(xué)生也想到了1+（n-1）=2+（n-2）=?，也就是說“與首末等距離的兩項之和相等”，這樣就得到了Sn。

如果是1+2+?+n呢，顯然也成立。

到此，再請學(xué)生們看高斯的思維，學(xué)生們就會自信地感到自己和高斯一樣可以創(chuàng)造性地思維，就會增加學(xué)習(xí)的主動性和興趣。

教師小結(jié)重要的兩點(diǎn)：

1.數(shù)列的問題往往要從項著手分析，同學(xué)們想到的“拆項法”很重要和有用，比如把每項拆成兩個甚至多個，分別將第一個，第二個?合并求和。再比如拆成兩個后有可能前后有關(guān)聯(lián)，請學(xué)生做課本P47習(xí)題4。

對于習(xí)題4，本來有許多學(xué)生是陌生和困難的，但由于有了前面的思維基礎(chǔ)，大多數(shù)學(xué)生這時能很自然地得到：

Sn=++?+=（-）+（-）+?+（-）=1-。 教師進(jìn)一步提出求Sn=++?+。 Sn=+++?+。 并提醒學(xué)生注意不同的細(xì)節(jié)。

教師更進(jìn)一步提出對于等差數(shù)列{an}，求Sn=++?+。

從具體課堂效果來看，學(xué)生會順利解決并自主總結(jié)出方法——拆項相消法。

2.等差數(shù)列的重要性質(zhì)：“與首末等距離的兩項和相等?！奔碼1+an=a2+an-1=at+an-t+1，這是很有用的性質(zhì)，利用它可以靈活、快速、準(zhǔn)確地解題。在具體問題中，要注意的是如果n是奇數(shù)，則中間是一項；如果n是偶數(shù)，則中間是兩項。

進(jìn)一步請學(xué)生應(yīng)用練習(xí)：在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a7，求S13；（2）已知a5，a11，求a8，S15；（3）已知S21，求a7+a15。

通過以上練習(xí)，學(xué)生體會到了用此性質(zhì)的快捷，激發(fā)了主動學(xué)習(xí)興趣和求知欲，再次感悟了數(shù)學(xué)的奧妙和樂趣。

這樣的教學(xué)設(shè)計方案所反映的思維過程完全體現(xiàn)了學(xué)生的主動性思維，自然而流暢，而且在思維過程中可以得到有用的重要方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)。

三、在等比數(shù)列教學(xué)中的應(yīng)用

在等差數(shù)列中有了這樣的思維，在接下來的等比數(shù)列通項公式教學(xué)設(shè)計中就可以更自然地讓學(xué)生主動性地思維。

等比數(shù)列通項公式（課本P50）仍然是用探究的方法讓學(xué)生由前n項的個例歸納猜測的，

教師設(shè)問：等差數(shù)列和等比數(shù)列的區(qū)別和聯(lián)系是什么？如何用這種聯(lián)系和等差數(shù)列的通項公式探究方法來得到等比數(shù)列的通項公式？

學(xué)生討論后，基本上能明確“差”和“比”的關(guān)系，從而除了由個例歸納猜測外，還很自然地由等差數(shù)列的“累加法”得到了等比數(shù)列的“累乘法”。

由a2：a1=q，a3：a2=q，?，an：an-1=q，各式相乘得到：an：a1=qn-1，∴an=a1qn-1。

趁著學(xué)生對兩種數(shù)列關(guān)系的興趣，教師可進(jìn)一步讓學(xué)生回憶等差數(shù)列前n項和中有一個什么重要性質(zhì)，等比數(shù)列中相應(yīng)的性質(zhì)又是什么。

幾乎所有的學(xué)生都能主動自覺地意識到“等比數(shù)列中與首末等距離的兩項的積相等”。即a1an=a2an-1=?=atan-t+1。

然后給出相應(yīng)的練習(xí)讓學(xué)生體會其重要應(yīng)用和鞏固掌握。

從以上的一些教學(xué)設(shè)計可以認(rèn)識到，教材的處理和課堂教學(xué)設(shè)計對學(xué)生主體的學(xué)習(xí)興趣、主動性思維培養(yǎng)和知識的主動牢固的掌握運(yùn)用是非常重要和有意義的。作為數(shù)學(xué)教師，在這些方面應(yīng)予以更加重視和加強(qiáng)。只要我們在教學(xué)實(shí)踐上有這樣的意識，我們的教學(xué)主體——學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就會更自覺、自然而有創(chuàng)新，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就會更主動積極而有興趣。

總之，創(chuàng)設(shè)一種民主，平等。和諧的課堂風(fēng)味在把握教材內(nèi)容和學(xué)生心理的基礎(chǔ)上，盡可能引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)過程，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的潛能。