兩點(diǎn)之間線段最短的再思考

【摘 要】七年級(jí)教材里“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個(gè)基本事實(shí)?？此坪唵蔚陌藗€(gè)字蘊(yùn)涵著許多奧妙，將它擴(kuò)展、延伸可得到一個(gè)最短路徑問題，與實(shí)際生活離得很近，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，讓學(xué)生切實(shí)感受到生活中處處都有數(shù)學(xué)，能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想，并能有效地解決問題，通過對(duì)解決問題過程的反思，獲得解決問題的成功體驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化 構(gòu)造 平移 軸對(duì)稱 最短距離

教材改編后，新課程的教學(xué)大綱明確指出：通過義務(wù)教育階段的教學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠具有初步的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力已成為教學(xué)目標(biāo)，這就要求教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力，形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，使學(xué)生具備應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)點(diǎn)，是大家比較熟悉的，容易理解的一個(gè)公理。簡單的應(yīng)用一般沒有問題，如從學(xué)校到家，有兩條道路，一條是筆直的，一條是彎曲的，如果是你，將如何選擇回家的路？

分析：這是一個(gè)很簡單的常識(shí)問題，實(shí)際上也是一道數(shù)學(xué)問題，可把學(xué)校和家看成兩個(gè)點(diǎn)，這樣，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解決問題，就簡單多了。

根據(jù)上面這個(gè)問題，我們還可以探究很多問題……

[問題1]如圖：有A，B村莊分別在公路的兩邊，他們想在公路EF上建一個(gè)水泵，為了節(jié)約資金，使其到兩地的距離之和最短。

分析：這是很簡單的實(shí)際應(yīng)用，只要連接A，B兩點(diǎn)即可。

解：連接AB與公路的交點(diǎn)P就是建水泵的最好地方。

如果A，B兩村莊在公路的同側(cè)，其他問題不變，那該如何處理呢？先作A處關(guān)于的公路對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A′B，A′B與公路有交點(diǎn)O，這樣根據(jù)對(duì)稱性，AO+BO=A′B，把所修建路線放在一條線段上。利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，路線最近。

在七下數(shù)學(xué)課本57頁講到平移變換時(shí)有這樣一個(gè)練習(xí)：

[問題2]河兩岸有兩點(diǎn)A，B，在何處架橋可以使得兩點(diǎn)間路程最短？首先有幾個(gè)假設(shè)，河岸是平行的，且河的寬度為d，村子可看作點(diǎn)，橋與河岸垂直。

分析：河的寬度是固定的，假設(shè)d=0河的兩岸JK和LM是重合的，就是上面論述過得問題1。

解答如下：設(shè)河的寬度為d，將點(diǎn)A向B岸（LM）平移d（沿垂直河岸方向的直線），得到A′，將A′與B村連線，與B岸交于C點(diǎn)，從C點(diǎn)向A岸（JK）作垂線，垂足為D點(diǎn)，線段CD就是橋要建造的位置。

在實(shí)際問題中，也有三角形的最短距離問題：

[問題3]如圖，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個(gè)油庫，設(shè)為點(diǎn)P，如在兩條公路上各設(shè)置一個(gè)加油站，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，把兩個(gè)加油站設(shè)在何處，可使運(yùn)油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站，最后回到油庫所走的路程最短。

分析：這是一個(gè)實(shí)際問題，我們需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過分析，我們知道此題是求運(yùn)油車所走路程最短，OA與OB相交，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，通常我們會(huì)想到軸對(duì)稱。

解：分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連結(jié)P1P2，分別交OA、OB于C、D，CP=CP1DP=DP2△PCD的周長就是點(diǎn)P1到點(diǎn)P2的距離則由兩點(diǎn)之間線段最短可知，在C、D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車所走的路程最短。

以上幾個(gè)例子，使我們建立了一種思想方法，抓住關(guān)鍵的兩個(gè)點(diǎn)，找到最短路徑，運(yùn)用這一方法，可以解決很多最小值的題目，在代數(shù)的二次根式中，有類似這樣的練習(xí)：

[問題4]求代數(shù)式：y=最小值

分析：本題可以轉(zhuǎn)化為在坐標(biāo)系中構(gòu)造其中P（x，0）、A（0，2）、B（3，-3）。由勾股定理知識(shí)可知y=PA+PB，只有當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，A，B兩點(diǎn)有最短距離3

如果兩條線段改成三條線段，情況要復(fù)雜一點(diǎn)，請(qǐng)看這樣一個(gè)變式：在直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，o），當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時(shí)，求m，n的值。

分析：線段AB的長度固定，BC+CD+DA的長度如何才能最小呢？依題意畫圖得：

解：由題意得知，作B關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A'。連接A'B'，顯然線段A'B'的長度就是BC+CD+DA的最短長度，線段A'B'與X軸，Y軸的交點(diǎn)便為所求。如圖所示，過A'與B'兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式可求。設(shè)過A'與B'兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式為y=kx+b.

依題意得：-8k+b=-3，4k+b=5

解得，k=，b=

所以n為

m為-3.5

以上，利用兩點(diǎn)之間線段最短的思想，復(fù)雜費(fèi)解的問題是不是簡單了許多？好理解了許多呢？

我們在回到數(shù)學(xué)課本上，在八下講到4.2證明時(shí)，課本上有這樣一個(gè)關(guān)于費(fèi)馬點(diǎn)的設(shè)計(jì)題：

[問題5]如圖在平面三角形中：在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)E，若∠CEB=∠AEB=∠AEC=120度，則有EA+EB+EC最短，應(yīng)該怎么說明理由呢？（轉(zhuǎn)下頁）

（接上頁）分析：求EA+EB+EC的最短距離，關(guān)鍵是把EA，EB，EC三邊接起來。

理由如下：首先在BC下方畫正△BCD，將△BEC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，使BC與BD重合，再連結(jié)EF，則△EFB為等邊三角形，所以∠BEF=60度，因?yàn)椤螩EB=∠AEB=∠AEC=120度，因此A、E、F、D四點(diǎn)在同一直線上，EA+EF+FD=AD，理由就是A，D兩點(diǎn)之間線段最短的問題。

三角形變成四邊形，情況又怎么樣呢？

在中考題里也有上述思想方法的體現(xiàn)，摘取部分題目如下：

（2010寧德）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM

求證：（1）△AMB≌△ENB；

（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，

AM+CM的值最??；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，

并說明理由；解答如下：

⑴易證得△AMB≌△ENB.

⑵①連接AC，A，M，C三點(diǎn)共線，M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)，AM+CM的值最小。

②分析：由于MA、MB、MC比較分散，不便解決，如何把MA+MB+MC轉(zhuǎn)化為某兩點(diǎn)之間線段最短的問題？如圖，連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

∴AM=EN.

∵∠MBN=60°，MB=NB，

∴△BMN是等邊三角形.

∴BM=MN.

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短

∴當(dāng)M點(diǎn)位于線段BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長。

回顧上面這個(gè)題目，在正方形ABCD內(nèi)對(duì)角線BD上找一點(diǎn)M，使M到A、B、C三點(diǎn)的距離之和達(dá)到最小值，實(shí)際就是在等腰直角△ABC內(nèi)找費(fèi)馬點(diǎn)，在最短矩離的問題中，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，綜合學(xué)生幾何、代數(shù)知識(shí)的運(yùn)用能力。

數(shù)學(xué)源于生活，高于生活，又引導(dǎo)生活。新課程改革就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與社會(huì)實(shí)際以及學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)息息相關(guān)，讓學(xué)生真正體會(huì)到新課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步與發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1]浙教版數(shù)學(xué)課本