對數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)認(rèn)知界定

在了解了認(rèn)知數(shù)學(xué)內(nèi)容的元要素后，我們需要對“數(shù)學(xué)”這個概念做一下基本的界定。

為什么還要對“數(shù)學(xué)”做概念界定呢？這是因為：第一，雖然都叫做“數(shù)學(xué)”，但各個歷史時期的“數(shù)學(xué)”，實質(zhì)并不相同。第二，我們每個人心目中的“數(shù)學(xué)”概念，也都不相同。

比如，現(xiàn)代數(shù)學(xué)，與近代數(shù)學(xué)，基本是兩碼事。古代數(shù)學(xué)，與近代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)，更是不同。特別是遠(yuǎn)古的數(shù)學(xué)——原始數(shù)學(xué)，更不相同。而且原始數(shù)學(xué)能否叫做數(shù)學(xué)都是問題。

對人類數(shù)學(xué)發(fā)展史，目前大致有個認(rèn)識上的界定，權(quán)威的數(shù)學(xué)史大致是這么寫的：

“數(shù)學(xué)是一門最古老學(xué)科，它的起源可以上溯到一萬多年以前。但是，公元1000年以前的資料留存下來的極少。迄今所知，只有在古代埃及和巴比倫發(fā)現(xiàn)了比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。遠(yuǎn)在15000年前人類就已經(jīng)能相當(dāng)逼真地描繪出人和動物的形象。這是萌發(fā)圖形意識的最早證據(jù)。后來就逐漸開始了對圓形和直線形的追求，因而成為數(shù)學(xué)圖形的最早的原型。在日常生活和生產(chǎn)實踐中又逐漸產(chǎn)生了計數(shù)意識和計數(shù)系統(tǒng)，人類摸索過多種記數(shù)方法，有開始的結(jié)繩記數(shù)，用石塊記數(shù)，語言點數(shù)進(jìn)一步用符號，逐步發(fā)展到今天我們所用的數(shù)字。古希臘人在數(shù)學(xué)中引進(jìn)了名稱、概念和自我思考，他們很早就開始猜測數(shù)學(xué)是如何產(chǎn)生的……”

通過這段文字，我們可以看得出，人類數(shù)學(xué)從萌芽到現(xiàn)在，經(jīng)歷了數(shù)個漫長的歷史時期，在各個歷史時期，“數(shù)學(xué)”并不相同，而是經(jīng)歷了諸多的變化，當(dāng)然也做出了積累。

史學(xué)家和數(shù)學(xué)家們，從多種標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)發(fā)展做了發(fā)展期的劃分，但這種劃分并不是針對數(shù)學(xué)教育所提出。因此，我們從學(xué)習(xí)和教學(xué)的角度來閱讀理解數(shù)學(xué)史，還是比較困難的。

我們知道，在1萬多年前至今的數(shù)學(xué)發(fā)展史中，各個歷史時期的“數(shù)學(xué)”并不一樣，雖然都稱之為“數(shù)學(xué)”。所以，我們有必要回溯歷史，并結(jié)合人類的認(rèn)知與思維發(fā)展史，從各個歷史時期數(shù)學(xué)建立的基礎(chǔ)（建立的基本邏輯）和同步時期的人類認(rèn)知與思維發(fā)展的角度，來重新劃分一下數(shù)學(xué)。

我個人認(rèn)為，可以劃分為如下幾個階段：

1.遠(yuǎn)古數(shù)學(xué)：人類感覺時期的數(shù)學(xué) —— 即量感、形感、質(zhì)感

時期；

2.原始數(shù)學(xué)：人類感知、認(rèn)知時期的數(shù)學(xué) —— 即計量、測量、估量和數(shù)字、圖形、文字時期。

這個時期，主要是由計數(shù)、測量、估量等產(chǎn)生了數(shù)字、測繪圖形、自然科學(xué)萌芽等。大致相當(dāng)于古埃及、古印度、古兩河文明

時期。

3.古代數(shù)學(xué)：人類探知時期開始的數(shù)學(xué)——即初等數(shù)學(xué)形成時期的數(shù)學(xué)。這個時期主要是產(chǎn)生了概念、邏輯、形而上、Logos等，把數(shù)學(xué)逐步建立在了形而上思維、Logos理念、概念和形式邏輯基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了公理體系的幾何學(xué)，嚴(yán)格的證明和算法等。人類開始以數(shù)學(xué)、語言學(xué)、形而上學(xué)、詩歌神話的眼光來認(rèn)知和理解世界。“萬物皆數(shù)”“人是萬物的尺度”等，便是例證。這也是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)的歷史時期。這個時期大致相當(dāng)于古希臘時期公元前600年至滅亡。

4.近代數(shù)學(xué)：笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，把變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點。數(shù)學(xué)進(jìn)入一個新的以變數(shù)為主要研究對象的領(lǐng)域，稱為“高等數(shù)學(xué)”。近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué)。微積分、函數(shù)、解析幾何、數(shù)論等是這個時代的主角。

5.現(xiàn)代數(shù)學(xué)：現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期是指由19世紀(jì)20年代至今，這一時期數(shù)學(xué)主要研究的是最一般的數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析是整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的主體部分。

19世紀(jì)前半葉，數(shù)學(xué)上出現(xiàn)三項革命性的發(fā)現(xiàn)：非歐幾何、不可交換代數(shù)、分析的算術(shù)化。這導(dǎo)致了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的突破和奠基。

拓?fù)鋵W(xué)開始是幾何學(xué)的一個分支，但是直到20世紀(jì)的第二個1/4世紀(jì)，它才得到了推廣。拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究。科學(xué)家們認(rèn)識到：任何事物的集合，不管是點的集合、數(shù)的集合、代數(shù)實體的集合、函數(shù)的集合或非數(shù)學(xué)對象的集合，都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g。拓?fù)鋵W(xué)的概念和理論，已經(jīng)成功地應(yīng)用于電磁學(xué)和物理學(xué)的

研究。

20世紀(jì)有許多數(shù)學(xué)著作曾致力于仔細(xì)考查數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)和結(jié)構(gòu)，這反過來導(dǎo)致公理學(xué)的產(chǎn)生，即對于公設(shè)集合及其性質(zhì)的研究。許多數(shù)學(xué)概念經(jīng)受了重大的變革和推廣，并且像集合論、近世代數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)這樣深奧的基礎(chǔ)學(xué)科也得到廣泛發(fā)展。一般（或抽象）集合論導(dǎo)致的一些意義深遠(yuǎn)而困擾人們的悖論，迫切需要得到處理。邏輯本身作為在數(shù)學(xué)上以承認(rèn)的前提去得出結(jié)論的工具，被認(rèn)真地檢查，從而產(chǎn)生了數(shù)理邏輯。邏輯與哲學(xué)的多種關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)學(xué)哲學(xué)的各種不同學(xué)派的出現(xiàn)。

從整個數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，數(shù)學(xué)成立的基礎(chǔ)是：概念、邏輯。

以上引用的都是比較權(quán)威的數(shù)學(xué)史、自然科學(xué)史上的資料和說法，而且在不同的版本之間做過比對。

大家可以看到：我們今天的初等數(shù)學(xué)等于古代數(shù)學(xué)，常量數(shù)學(xué)；我們今天的高等數(shù)學(xué)等于近代數(shù)學(xué)，變量數(shù)學(xué)；我們今天的抽象數(shù)學(xué)等于現(xiàn)代數(shù)學(xué)，分析數(shù)學(xué)。

古代數(shù)學(xué)就是初等數(shù)學(xué)，那么初等數(shù)學(xué)之前，是什么數(shù)學(xué)呢？所以，如果硬要叫做數(shù)學(xué)的話，只能叫做原始數(shù)學(xué)了。

（作者單位：公眾教育研究院）