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典型排列組合問題的解決方法例析
■陳坤
排列組合問題往往涉及多個(gè)解決問題的方法,下面以兩個(gè)典型的例題就具體的方法進(jìn)行總結(jié)和歸類。
一、典型的排列問題
例13個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排。
(1)如果女生全排在一起,有多少種不同的排法?
(2)如果女生都不相鄰,有多少種不同的排法?
(3)如果女生不站在兩端,有多少種不同的排法?
(4)其中甲必須排在乙前面(可不相鄰),有多少種不同的排法?
(5)其中甲不站在左端,乙不站在右端,有多少種不同的排法?
(5)甲、乙為特殊元素,左、右兩邊為特殊位置。
點(diǎn)評(píng):(1)對(duì)于有限制條件的排列問題,分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法,在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則,即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法。
(2)對(duì)相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法。
二、典型的組合問題
例2男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男女隊(duì)長各1人。選派5人外出比賽。在下列情形中各有多少種選派方法?
(1)男運(yùn)動(dòng)員3名,女運(yùn)動(dòng)員2名;
(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員;
(3)隊(duì)長中至少有1人參加;
(4)既要有隊(duì)長,又要有女運(yùn)動(dòng)員。
(2)法一:至少有1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男。
法二:“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”,可用間接法求解。
(3)法一:(直接法)可分類求解。
點(diǎn)評(píng):組合問題常有以下兩類題型:(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取。
(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型:若直接法分類復(fù)雜時(shí),逆向思維,間接求解。
作者單位:江蘇省濱海中學(xué)