兩耦合HR混沌神經(jīng)元同步研究

吳望生　(長江大學物理與光電工程學院，湖北 荊州 434023)

唐國寧　(廣西師范大學物理科學與技術(shù)學院，廣西 桂林 541004)

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兩耦合HR混沌神經(jīng)元同步研究

吳望生(長江大學物理與光電工程學院，湖北 荊州 434023)

唐國寧(廣西師范大學物理科學與技術(shù)學院，廣西 桂林 541004)

[摘要]基于Hindmarsh-Rose(HR)神經(jīng)元動力學模型，通過數(shù)值計算耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步差和峰峰間期(ISI)隨耦合強度的變化研究了2個耦合混沌HR神經(jīng)元在近鄰反饋耦合下的同步過程。結(jié)果表明，初態(tài)混沌的HR神經(jīng)元在耦合中存在著復雜的同步過程；伴隨耦合強度的增大，神經(jīng)元會交替出現(xiàn)混沌發(fā)放、周期發(fā)放等放電現(xiàn)象；在達到精確的完全同步之前，會交替出現(xiàn)簇同步、近似同步和完全同步等同步現(xiàn)象；在弱耦合條件下，神經(jīng)元會出現(xiàn)反同步和去同步。

[關(guān)鍵詞]Hindmarsh-Rose神經(jīng)元；同步；反同步

自17世紀Huygens發(fā)現(xiàn)同步現(xiàn)象[1]后的很長一段時間里，有關(guān)同步的研究始終是建立在周期運動的基礎(chǔ)之上。20世紀90年代，Pecora和Carro[2,3]首次在實驗室的電子線路上實現(xiàn)混沌同步，從此混沌同步研究在許多學科領(lǐng)域深入展開。特別是在神經(jīng)科學領(lǐng)域，同步成為當前研究的熱點問題。生理實驗證實，大腦中存在著神經(jīng)元系統(tǒng)的局部同步模式。1989年Gray等[4]發(fā)現(xiàn)，當給予同一個物體的輪廓作為共同刺激時，分布在相互分離模塊的視覺皮層細胞常常會產(chǎn)生同步化放電；1997年Riehle等[5]在猴的運動皮質(zhì)區(qū)發(fā)現(xiàn)不同神經(jīng)元之間出現(xiàn)了峰同步，證實了大腦局部同步區(qū)的存在。結(jié)合生物神經(jīng)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的許多同步現(xiàn)象，Pouget等[6]提出神經(jīng)系統(tǒng)的大量信息是由神經(jīng)元系統(tǒng)共同處理。神經(jīng)元系統(tǒng)是一個由快慢變量組成的多尺度系統(tǒng)，慢變量是神經(jīng)元的簇行為產(chǎn)生的機制[7]，導致神經(jīng)元會呈現(xiàn)豐富的發(fā)放行為，形成各種周期和混沌模式，因而耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步過程也非常復雜。研究表明，神經(jīng)元在達到穩(wěn)定的完全同步之前，存在著不同類型的同步過程。胡崗等[8]研究了廣義同步和相位同步之間的同步過程，指出相位同步可能優(yōu)先也可能落后于廣義同步；Dhamala等[9]發(fā)現(xiàn)耦合神經(jīng)元達到完全同步前，會出現(xiàn)神經(jīng)元簇的同步和峰的同步。目前來看，對不同類型的同步過程仍有待進一步研究，分析耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的復雜同步過程對理解現(xiàn)實的神經(jīng)元同步行為具有重要的指導意義。為此，筆者選用近鄰反饋耦合，研究了2個初態(tài)混沌的Hindmarsh-Rose(HR)神經(jīng)元的同步過程。

1動力學模型

2個初態(tài)混沌的耦合HR神經(jīng)元的動力學方程[10]如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

其中，角標1(或2)分別代表HR神經(jīng)元1(或2)，統(tǒng)一簡寫為HR1和HR2； u代表神經(jīng)細胞的膜電位；v是神經(jīng)元內(nèi)部的快速恢復電流；w是慢變調(diào)節(jié)電流(u和v是快變量，w是慢變量，共同構(gòu)成一個雙尺度系統(tǒng))；a、b、c、d、γ、s及χ都是系統(tǒng)參數(shù)；Iext表示外界直流激勵； k是耦合強度。各參數(shù)取值如下：a=1，b=3，c=1，d=5，γ=0.006，s=4，χ=-1.6和Iext=3.0，去暫態(tài)后單個神經(jīng)元進入混沌初態(tài)。

在數(shù)值模擬中，采用四階龍格庫塔法求解耦合方程組，積分步長Δt=0.001。神經(jīng)元實現(xiàn)精確的完全同步需要時間依賴耦合強度，為保證2個神經(jīng)元基本達到同步的漸進態(tài)，總積分時間取為10000時間單位。同時為了保證數(shù)值計算的準確性，需通過消除一定時間單位的暫態(tài)過程而得到穩(wěn)態(tài)結(jié)果。筆者通過對2個神經(jīng)元賦不同的隨機初值(-0.5,0.5)，去除500時間單位的暫態(tài)，讓各神經(jīng)元單獨演化進入混沌初態(tài)。圖1展示了去暫態(tài)時間段內(nèi)HR神經(jīng)元的動力學行為，圖1(a)顯示暫態(tài)末期2個神經(jīng)元先后進入混沌發(fā)放模式，圖1(b)可看出2個神經(jīng)元在(ui,wi)相平面上的軌道先后進入混沌吸引子。

圖1　去暫態(tài)時間段內(nèi)HR神經(jīng)元的動力學行為

為了研究2個神經(jīng)元的同步程度，將同步差ei(t)及平均同步差δi定義為：

eu(t)=|u1(t)-u2(t)|

(7)

ew(t)=|w1(t)-w2(t)|

(8)

(9)

其中，eu(t)描述快變量的空間同步程度；ew(t)描述慢變量的空間同步程度。即eu(t)描述了t時刻2個神經(jīng)元膜電位u的同步差，ew(t)描述了t時刻2個神經(jīng)元慢變調(diào)節(jié)電流w的同步差。同步差越小，表明同步程度越高。通常同步差是振蕩式下降，根據(jù)其大小，一般不容易判斷不同參數(shù)下神經(jīng)元的同步程度，所以筆者用δi描述去掉同步暫態(tài)后的一段時間內(nèi)神經(jīng)元之間的平均同步情況。不失一般性，選擇時間范圍[9000,10000]。當δi=0時，2個神經(jīng)元實現(xiàn)精確的完全同步，然而有限的時間內(nèi)δi一般是逐步趨于零，并且快變量δu和慢變量δw的同步速率不同。筆者設(shè)定，當快變量和慢變量均小于等于0.001時，即δi≤10-3時，則2個神經(jīng)元達到完全同步；當快變量和慢變量其中之一小于等于0.001時，即δu≤10-3或δw≤10-3時，2個神經(jīng)元達到近似同步。

2數(shù)值模擬

采用近鄰反饋耦合，對耦合混沌的神經(jīng)元的峰峰間期(ISI)和同步差進行數(shù)值計算。圖2給出了HR神經(jīng)元1的峰峰間期(ISI)隨耦合強度k變化的分岔圖，圖3給出了耦合混沌神經(jīng)元快變量的平均同步差δi隨耦合強度k的變化關(guān)系。由圖2和圖3可以看出，隨著耦合強度k的逐步增大，HR神經(jīng)元呈現(xiàn)豐富的放電活動。隨著耦合強度的增加，圖2被交替分割成多個帶狀密集區(qū)和線型軌跡區(qū)，表明混沌耦合的神經(jīng)元在混沌發(fā)放和周期發(fā)放2個狀態(tài)反復切換，直至進入混沌發(fā)放達到完全同步。

圖2　HR1的ISI隨k變化的分岔圖　　　　　　　　　　　　　　圖3　平均同步差δi隨k的變化

圖2的第1段線型軌跡區(qū)對應(yīng)耦合強度區(qū)間0.008≤k≤0.028，表明神經(jīng)元HR1由開始的混沌發(fā)放模式變成了規(guī)則的周期發(fā)放，神經(jīng)元HR2-ISI分岔圖在此區(qū)間也有同類現(xiàn)象，這表明耦合神經(jīng)元發(fā)生了簇同步。不失一般性，取耦合強度k=0.024來分析神經(jīng)元的簇同步狀態(tài)，圖4展示了2個耦合神經(jīng)元膜電位的時間歷程和在(u1,w1)和(u1,u2)平面上所對應(yīng)的相圖。結(jié)合圖4(a)和(c)可以發(fā)現(xiàn)，2個耦合神經(jīng)元的周期簇同時發(fā)生，出現(xiàn)了簇同步；而圖4(b)顯示峰錯位和圖4(d)中相位定位在二四象限，都表明在神經(jīng)元簇里的峰是不相關(guān)的，未發(fā)生峰同步。

圖4　k=0.024時，耦合神經(jīng)元簇同步狀態(tài)的分析圖

從圖2中可以清楚的看到，當耦合較弱且參數(shù)范圍較小時，耦合強度可以抑制混沌而變?yōu)橹芷诘陌l(fā)放行為。但結(jié)合圖3和圖4，雖然神經(jīng)元由于耦合強度增大出現(xiàn)倍周期軌道，并出現(xiàn)簇同步，但2個神經(jīng)元之間并未達到峰同步，直到k大于0.42后，2耦合神經(jīng)元才出現(xiàn)峰同步現(xiàn)象。這說明混沌發(fā)放被抑制變?yōu)橹芷诎l(fā)放，出現(xiàn)簇同步，只是峰同步前的一個中間過程，還需要繼續(xù)增大耦合強度，神經(jīng)元之間才有可能出現(xiàn)峰同步，并最終達成完全同步。

隨著耦合強度逐步增強，周期發(fā)放的神經(jīng)元又進入混沌狀態(tài)，且不同步，但當0.151≤k≤0.180時，2個耦合神經(jīng)元隨耦合強度的變化交替出現(xiàn)倍周期軌道、混沌軌道，不同步和反同步等復雜的過渡模式。具體來說，當0.151≤k≤0.157時，神經(jīng)元會出現(xiàn)周期8的倍周期軌道，且出現(xiàn)反相的周期性同步狀態(tài)。下面，取k=0.151來分析倍周期和反同步現(xiàn)象(見圖5)。

圖5　k=0.151時，耦合神經(jīng)元反同步狀態(tài)的分析圖

從圖5(a)中可以看到，耦合神經(jīng)元HR1出現(xiàn)了周期8的倍周期軌道，比圖4(c)中周期數(shù)增加了，雖然從混沌軌道變成了周期軌道，但2個耦合神經(jīng)元并未出現(xiàn)如圖4(a)和(b)所示的簇同步，而是出現(xiàn)了反同步狀態(tài)；從圖5(b～d)中可以清楚看到神經(jīng)元3個快慢變量均處于反相的周期性同步狀態(tài)。經(jīng)過分析，反同步所對應(yīng)的平均同步差δi均出現(xiàn)較大的變化，如膜電位同步差δu>1就會出現(xiàn)反同步，這正好解釋了圖3在0.151≤k≤0.180區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的突然增大的同步差峰包，其δu值均大于1，說明在峰包對應(yīng)的耦合強度范圍內(nèi)，神經(jīng)元出現(xiàn)了反相的周期性同步。

當耦合強度離開這個反同步區(qū)，神經(jīng)元的反同步被破壞，神經(jīng)元重新由周期軌道進入混沌軌道，直到耦合強度k≥0.422時，2個混沌耦合神經(jīng)元又出現(xiàn)近似同步。隨著耦合強度的的進一步增加，當耦合強度位于0.422≤k≤0.434時，耦合神經(jīng)元在這個區(qū)間存在著復雜的過渡模式。

圖6　對數(shù)化后平均同步差δi隨k的變化

具體的表現(xiàn)行為通過圖6可以分析清楚。將同步差δi對數(shù)化后可清晰看出，隨著耦合強度的增加，同步差震蕩式下降直至為0。藍色虛線表示δi=10-3，為完全同步分界線，線下為完全同步區(qū)。在δi與藍色虛線交界處，即耦合強度位于0.422≤k≤0.434時，有時δu<10-3而δw>10-3或δu>10-3而δw<10-3，說明出現(xiàn)了近似同步；有時快慢變量的同步平均差均小于0.001，即δi<10-3，發(fā)生了完全同步。上述情況表明，耦合強度較大時，神經(jīng)元在完全同步之前，即可能出現(xiàn)峰同步(即近似同步)，也可能出現(xiàn)簇和峰均同步(即完全同步)，而且上述同步現(xiàn)象隨耦合強度的變化而交替出現(xiàn)，表明耦合混沌神經(jīng)元同步之前的過渡狀態(tài)中包含著復雜的放電信息。

為了進一步分析這些復雜的同步過程，考察完全同步和近似同步的不同之處，圖7在不同的耦合強度下研究神經(jīng)元快慢變量的各種相圖，其中黑色軌跡對應(yīng)k=0.423，紅色軌跡對應(yīng)k=0.433。圖7(a)和(b)顯示，黑色軌跡的相位與一三象限角平分線完全重合，表明k=0.423時，神經(jīng)元出現(xiàn)了完全同步。紅色軌跡的相位則定位在一三象限角平分線附近的小鄰域內(nèi)，這表明k=0.433時，神經(jīng)元產(chǎn)生了近似同步且處于混沌狀態(tài)。需要說明的是，在耦合強度0.422≤k≤0.434的這個區(qū)間內(nèi)，沒有發(fā)現(xiàn)之前弱耦合狀態(tài)下，神經(jīng)元的峰不同步而簇同步的周期放電現(xiàn)象，神經(jīng)元不論同步與否，均處于混沌放電狀態(tài)。

圖7　神經(jīng)元在不同耦合強度下的平面相圖

從圖3和圖6中2條曲線完全歸零的位置可查出，當耦合強度k≥0.474時，平均同步差δi=0，這時2個耦合神經(jīng)元達到了完全的峰同步和簇同步。圖8顯示，當k=0.474時，2個耦合神經(jīng)元的混沌放電時間歷程圖8(a)和混沌吸引子圖8(b)完全重合，表明神經(jīng)元達成完全同步后仍然保持了穩(wěn)定的混沌狀態(tài)，結(jié)合圖1說明初態(tài)隨機的2個混沌神經(jīng)元通過近鄰反饋耦合達成了精確的完全同步。

圖8　k=0.474時，耦合神經(jīng)元完全同步狀態(tài)的分析圖

3同步過程分析

HR神經(jīng)元是一個具有快慢變量的雙尺度系統(tǒng)，其中快變量產(chǎn)生了神經(jīng)元的峰，慢變量導致了神經(jīng)元的簇的形成，在不同的參數(shù)條件下，呈現(xiàn)出豐富的動力學行為，如峰峰間期分岔、混沌吸引子等。下面，筆者來比較不同耦合條件下神經(jīng)元在(u,w)相平面上的吸引子變化情況。

圖1(b)顯示了未耦合狀態(tài)下，神經(jīng)元的混沌吸引子；圖4(c)展示耦合強度k=0.024時，神經(jīng)元HR1的周期5軌道；圖5展現(xiàn)了k=0.151時，神經(jīng)元HR1的周期8軌道；圖8則表明神經(jīng)元達到精確同步后仍然處于混沌吸引子中。隨著耦合強度的逐步增大，耦合神經(jīng)元吸引子軌道由混沌先后過渡到周期5、周期8，然后又進入混沌狀態(tài)，直至以混沌狀態(tài)進入精確的完全同步。

對于這種吸引子變化的原因可以用文獻[11]中耦合的Lorenz系統(tǒng)的動力變化的解釋：在弱耦合的情況下，混沌的耦合破壞了原來Lorenz系統(tǒng)雙圈吸引子來回切換所遵循的一致性，結(jié)果造成原來吸引子的破壞而產(chǎn)生了新的更復雜的吸引子。上述解釋對于Lorenz系統(tǒng)是成立的，對同樣具有多圈吸引子的其他耦合系統(tǒng)也是成立的，因此在筆者所研究的HR神經(jīng)元模型中，神經(jīng)元在給定的初始參數(shù)下呈現(xiàn)了如圖1(b)所示的多圈混沌吸引子，隨著耦合強度的增加，混沌軌道被耦合破壞而進入倍周期軌道(見圖4(c)和圖5(a))，繼續(xù)增大耦合強度，神經(jīng)元又脫離周期軌道而進入混沌，直至最終達成精確的完全同步仍然保持混沌狀態(tài)。

耦合的多尺度系統(tǒng)的混沌同步與快慢子系統(tǒng)的動力行為是緊密相關(guān)的，耦合神經(jīng)元達到完全同步前，會出現(xiàn)神經(jīng)元簇的同步和峰的同步[9]。筆者研究發(fā)現(xiàn)，耦合混沌的HR神經(jīng)元隨著耦合強度的增加，會在弱耦合區(qū)間出現(xiàn)簇同步，即慢變量的同步(見圖4(a)和(b))，慢變量的同步隨耦合強度繼續(xù)增加而被破壞，直至耦合強度大到能使神經(jīng)元出現(xiàn)峰的同步和簇的同步，即完全同步，意味著快慢變量都達到同步。因此，2個耦合混沌的HR神經(jīng)元采用近鄰反饋耦合，隨著耦合強度的增加，會先后出現(xiàn)簇同步、峰同步直至完全同步。耦合強度的增加除了可以改變神經(jīng)元的吸引子，還可以影響神經(jīng)元的放電節(jié)律形成反同步。如圖5所示，當在某些耦合強度區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)周期性吸引子時，2個神經(jīng)元的快慢變量如膜電位和慢電流會出現(xiàn)反相的周期性同步，事實上在這個區(qū)間附近，2個耦合神經(jīng)元隨耦合強度的變化交替出現(xiàn)倍周期軌道、混沌軌道，不同步和反同步等復雜的過渡模式。

4結(jié)論

研究了采用近鄰反饋耦合2個混沌HR神經(jīng)元的同步問題。在數(shù)值模擬中，采用四階龍格庫塔法求解耦合方程組，通過計算耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步差和峰峰間期隨耦合強度的變化，發(fā)現(xiàn)在耦合混沌的HR神經(jīng)元模型中，存在著復雜的同步過程。

1)隨著耦合強度的增大，神經(jīng)元的吸引子會被改變，會交替出現(xiàn)混沌發(fā)放、周期發(fā)放等放電現(xiàn)象，表明混沌軌道被耦合破壞而進入倍周期軌道，繼續(xù)增大耦合強度，神經(jīng)元又脫離周期軌道而進入混沌，直至最終達成精確的完全同步仍然保持混沌狀態(tài)。

2)在達到精確的完全同步之前，隨著耦合強度的增大，神經(jīng)元會交替出現(xiàn)混沌發(fā)放、周期發(fā)放等放電現(xiàn)象，神經(jīng)元系統(tǒng)會依次出現(xiàn)神經(jīng)元簇的同步、峰的同步，最終達成完全同步。

3)耦合強度的增加除了可以改變神經(jīng)元的吸引子，影響神經(jīng)元的放電節(jié)律，甚至在某些弱耦合區(qū)間，會導致神經(jīng)元系統(tǒng)出現(xiàn)反相的周期性同步，抑制同步的發(fā)生。

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[編輯]張濤

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-1409(2016)07-0022-06

[中圖分類號]O415.5

[作者簡介]吳望生(1979-)，男，碩士，講師，現(xiàn)主要從事統(tǒng)計物理方面的教學與研究工作；E-mail:wshwu@yangtzeu.edu.cn。

[基金項目]國家自然科學基金項目(11165004)。

[收稿日期]2015-11-27

[引著格式]吳望生，唐國寧.兩耦合HR混沌神經(jīng)元同步研究[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(7)：22～27.