基于GARCH模型的股票市場風險度量

柯希均

（湖北咸寧職業(yè)技術學院，湖北 咸寧 437100）

基于GARCH模型的股票市場風險度量

柯希均

（湖北咸寧職業(yè)技術學院，湖北 咸寧 437100）

國內外預測股指股票市場風險基本采用對波動性估計具有精度、準確度和可信度較高的GARCH模型族。本文用滬深300和標普500兩組指數構建GARCH（1，1）模型，計算兩組指數的VaR值。將GARCH（1，1）模型同相應EGARCH、TARCH模型進行比較，并結合所計算出的VaR值，揭示兩地金融資本市場的差異。

GARCH模型；風險度量；VaR

GARCH模型是一個為金融時間序列量體訂做的回歸模型，可以有效地追蹤金融時間序列收益率的動態(tài)方差，特別適用于波動性的分析和預測，這樣的分析對投資者的決策能起到非常重要的指導性作用。大量實證研究表明，金融市場收益率分布具有“尖峰厚尾”的特性，如果使用正態(tài)分布進行估計會損失大量尾部信息。鑒于金融時間序列的波動集聚性和分布的“尖峰厚尾”性，Nelson和Hamilton分別用廣義誤差分布（GED）與t分布來調整尾部的偏差；而VaR（Value at Risk：在險價值）的提出，使市場風險能夠更為直觀地表現出來。本文用GED分布來擬合GARCH（1，1）模型，并計算VaR（Value at Risk：在險價值）來度量金融市場風險。

一、文獻綜述

1、GARCH模型

自從Engle（1982）提出ARCH模型分析時間序列的異方差性以后，T·Bollerslev（1986）又提出了GARCH模型。GARCH模型是在ARCH模型基礎上對方差的表現形式進行了直接的線性擴展，彌補了在優(yōu)先樣本下ARCH模型階數過大所帶來的計算效率和精度上的不足。

為了衡量收益率波動的非對稱性，Glosten、Jagannathan與Runkel（1989）提出了GJR模型，在條件方差方程中加入負沖擊的杠桿效應，但仍采用正態(tài)分布假設。

Nelson（1991）提出了EGARCH模型。Engle等（1993）利用信息反應曲線分析比較了各種模型的杠桿效應，認為GJR模型最好地刻畫了收益率的杠桿效應。

Glosten、Jagannathan與Runkel（1993）分析比較了各種GARCH-M模型，指出不同的模型設定會導致條件方差對收益率產生正或負的不同影響。

2、VaR

G30集團在研究衍生品種的基礎上，于1993年發(fā)表了標題為《衍生產品的實踐和規(guī)則》的報告，提出了度量市場風險的VaR（Value at Risk：風險價值）。

J.P.Morgan推出Risk Metrics風險控制模型，主要用于計算VaR。

Philippe Jorion（1996）詳細地介紹了VaR的定義、一般計算方法，并總結了各種計算VaR方法的特點。通過實證分析，對比正態(tài)分布和t分布下的靜態(tài)模型計算VaR值的區(qū)別。

二、理論依據

1、GARCH模型原理

一般的GARCH模型可以表示為：

其中，xt是1×（k+1）維外生變量向量，酌是（k+1）×1維系數向量。式（1）給出的均值方程式是一個帶有誤差項的外生變量函數。由于是以前面信息為基礎的一期向前預測方差，所以被稱作條件方差，式（1）也被稱作條件方差方程，包含3個組成部分：常數項琢0：用均值方程的擾動項平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息。（ARCH項），上一起的預測方差（GARCH項）。

2、VaR模型原理及估計方法

VaR方法的核心在于描述金融時間序列的統(tǒng)計分布或概率密度函數。通常我們以價格或指數的對數收益率序列為描述對象。若使用價格、指數序列，則我們描述該金融時間序列的統(tǒng)計分布過程中就會受到一定的限制，因為價格或指數的取值范圍為[0，+∞]。另外，對數收益率Rt的取值范圍位于整個實數域，且多期對數收益率是單期對數收益率的和。

考慮一個證券組合，假定P0為證券組合的初始價值，R是持有期內的投資回報率，在期末證券組合的價值為：P=P0（1+R）。

假定回報率R的期望和波動性（通常用標準差來描述）分別為μ和滓。若在某一置信水平琢下，證券組合的最低價值為P*=P0（1+R*），則根據VaR的定義，證券組合偏離均值的非預期損失為VaR，公式為：

VaR琢=E（P）-P*=P0（1+μ）-P0（1+R*）=P0（μ-R*）

3、VaR估計的方差—協(xié)方差法

方差一協(xié)方差方法是基于對數收益服從正態(tài)分布的假設，在此基礎上用歷史數據來度量均值、標準差、相關系數等主要參數的方法。

三、實證分析

1、數據選取

本文選取的研究對象：滬深300指數開盤價，樣本區(qū)間為2011年4月1日至2014年1月10日；美國標準普爾500指數開盤價，樣本區(qū)間為2013年8月19日至2016年8月18日。鑒于兩地股市開盤日期的不一致，因此，將樣本區(qū)間調整為兩地共同開盤日的日收盤價，調整后樣本個數同為712。

數據來源于大智慧行情軟件，使用軟件為Eviews7.1及Excel2010。

2、描述性統(tǒng)計

由時序圖可以看出，兩組時間序列顯然都為非平穩(wěn)序列。對日開盤價取對數收益率Rt，其表達式為：Rt=lnPtlnPt-1。Pt為指數當日開盤價，Pt-1為指數前一日開盤價。

（1）滬深300和標普500的偏度均與0有一定差異，拒絕均值為0的原假設，不符合正態(tài)分布的特征。

圖1 滬深300指數日開盤價時序圖

圖2 標普500指數日開盤價時序圖

圖3 滬深300收益率時序圖

圖4 標普500收益率時序圖

圖5 滬深300日收益率殘差時序圖

圖6 標普500日收益率殘差時序圖

（2）標準正太分布的峰度K應為3，滬深300（K=7.557889＞3）和標普500（K=6.173763＞3）收益率曲線的分布凸起程度大于標準正態(tài)分布，說明存在較為明顯的“尖峰厚尾”形態(tài)。

（3）滬深300收益率的JB統(tǒng)計量為718.82，標普500收益率的JB 統(tǒng)計量為302.5816，兩者均大于5%的顯著性水平上的臨界值5.99，所以可以拒絕其收益分布正態(tài)的假設，并初步認定其收益分布呈現“厚尾”特征。

3、序列的單位根檢驗

觀察收益率序列的圖形。

檢驗結果顯示兩個序列均是平穩(wěn)的。

4、檢驗ARCH效應

觀察滬深300和標普500收益率的自相關圖，可以看出無自相關性，因此直接將兩者對常數回歸得到殘差序列。觀察殘差平方的自相關圖，分別對兩序列進行LM檢驗。

滬深300指數和標普500指數日收益率殘差序列具有集群效應，大波動集后接連大波動集，小波動集后連著小波動集。滬深300ARCH效應檢驗P值為0.0138，標普500ARCH效應檢驗P值為0.0000，均不能拒絕不存在ARCH效應的原假設。

表1 滬深300指數GARCH模型殘差LM檢驗

表2 標普500指數GARCH模型殘差LM檢驗

5、估計模型參數

對兩組日收益率進行檢驗后，可以看出序列呈平穩(wěn)性、自相關性不顯著、殘差序列存在ARCH效應。因此，可以對序列模擬GARCH 模型。為了判斷均值方程中是否加入風險度量項，對兩組數據分別進行了含M項的GARCH模型的擬合。擬合后滬深300指數、標普500的GARCH項系數均顯著，因此保留M項。各估計系數滿足非負性，在10%的水平下顯著。

6、檢驗殘差的自相關性和正態(tài)性

通過觀察殘差的自相關圖和殘差平方的自相關圖，我們可以認為兩組指數GARCH模型的殘差序列、殘差平方序列均不存在自相關性。由正態(tài)分布檢驗可以看出兩組殘差序列均不具有正態(tài)性。

可以看到，兩組指數GARCH模型殘差均不存在ARCH效應，擬合出的GARCH 方程組都已很好的消除了條件異方差效應。因此，上述模型能夠較好的反映滬深300指數和標普500指數的收益率序列異方差現象。

所得GARCH（1，1）模型方程如下：

滬深300指數

標普500指數

四、VaR計算

所用VaR公式如下：VaR=-Pt-1Z琢滓t。通過前面的分析，我們知道收益率的分布明顯不符合正太分布，因此，我們假設其服從GED分布。

設期初時刻的W值為1，采用GARCH標準差的均值計算，時間間隔為一天。即計算一天期的VaR值，同時用GARCH標準差的最大值和最小值計算VaR極大值和極小值。

表3 兩種指數在GED分布下的不同模型的VaR估算結果

五、結論

本文通過對滬深300和標普500收益率序列的GARCH模型模擬，建立VaR風險評估模型，可以得到以下幾點結論。

第一、滬深300和標普500收益率密度分布不是正態(tài)分布，而是具有明顯的“尖峰厚尾”的特征。這可能是因為投資者對市場的預期和風險偏好不同，導致對收益率的預期也不一樣，并且投資者對于信息的反應具有滯后性。

第二、通過建立不同的GARCH模型可以發(fā)現，不論是美股市場還是大陸市場，負向沖擊對市場的影響要大于正向的沖擊，在實際中表現為利空使股市下跌的幅度大于利好使股市上漲的幅度。在TARCH和EGARCH模型中，標普500杠桿項的系數均大于滬深300杠桿項系數，這說明美國金融市場對信息反饋的非對稱效應更強，投資者對壞的信息反映會更加敏感。換言之，美國金融市場相對于中國金融市場，在對股市波動性的反映操作上更為成熟靈敏。

第三、從VaR估計結果來看，標普500的VaR值始終小于滬深300的VaR值，這說明中國內地股市風險要高于美國股市。

[1] 胡利琴：金融時間序列分析實驗教程[M].武漢大學出版社，2012.

[2] 張穹宇：基于GARCH-VAR模型的股票市場風險度量研究[J].東方企業(yè)文化·財會金融，2013（9）.

[3] 謝軍軍：VaR風險度量方法在股票市場的應用研究 [D].華中科技大學，2006.

[4] 任甄、吳雷：GARCH（1，1）模型波動率預測的實證研究[J].金融觀察，2010（11）.

（責任編輯：徐悅）

咸寧職業(yè)技術學院校級一般課題項目，金融中介發(fā)展與產業(yè)結構優(yōu)化的實證研究，編號：2016B006。