PBX炸藥含各向異性損傷的黏彈性統(tǒng)計微裂紋本構(gòu)模型初步研究*

張延耿，樓建鋒，周婷婷，洪 滔，張樹道

(北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094)

1 引 言

PBX炸藥是目前彈藥中使用較為廣泛的裝藥之一，其力學(xué)性能和安全性能一直受到設(shè)計者及使用者的關(guān)注。在日常勤務(wù)過程中，炸藥會產(chǎn)生微裂紋、微孔洞等多種形式的損傷。由于炸藥具有結(jié)構(gòu)材料和含能材料雙重屬性，這些損傷一方面使炸藥的力學(xué)性能劣化，并可能最終導(dǎo)致材料破壞；另一方面，損傷對“熱點”的形成具有重要影響，進(jìn)而影響炸藥的感度、燃燒和爆炸性質(zhì)。開展PBX炸藥含損傷本構(gòu)模型研究，有利于分析復(fù)雜環(huán)境中炸藥材料力學(xué)性能的演化規(guī)律，對評估和提高炸藥的安全性能具有重要意義。

近年來，人們對炸藥材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)變化規(guī)律的關(guān)注度越來越高，細(xì)觀損傷模型的研究也越發(fā)被國內(nèi)外研究機(jī)構(gòu)及人員所重視，其中典型的工作是Dienes等人[1-2]提出的統(tǒng)計微裂紋(Statistical Crack Mechanics,SCRAM)模型，以及Bennett等人[3-5]對該模型的改進(jìn)和發(fā)展。SCRAM模型基于微裂紋細(xì)觀損傷機(jī)制，考慮微裂紋面法向的不同取向，能夠描述幣形裂紋從起裂、剪切、擴(kuò)展到聚合的整個過程，被廣泛應(yīng)用于材料的動態(tài)響應(yīng)特性分析。Dienes等人[2]結(jié)合炸藥的宏觀彈塑性，開展了PBX9501復(fù)合沖擊實驗數(shù)值模擬研究，結(jié)果表明，微裂紋的法向?qū)Σ牧系牧W(xué)行為有重要影響。Bennett[3]和Hackett等人[4]基于Addessio和Johnson[5]提出的各向同性統(tǒng)計微裂紋模型，建立了黏彈性統(tǒng)計微裂紋模型(Visco SCRAM)，可用于描述炸藥的宏觀黏彈性和細(xì)觀微裂紋損傷機(jī)制。相較而言，SCRAM模型不能描述PBX炸藥宏觀的黏彈性特征，而Visco SCRAM模型采用微裂紋所在單元壓力的正負(fù)判斷其擴(kuò)展形式，忽略了微裂紋法向造成的影響，因而不能準(zhǔn)確描述復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下產(chǎn)生的損傷。

針對上述不足，在Dienes等人[1-2]、Bennett等人[3]及Zuo等人[6]的研究基礎(chǔ)上，考慮損傷炸藥在宏觀上的的黏彈性特征及細(xì)觀上微裂紋面的方向性，建立含各向異性損傷的黏彈性統(tǒng)計微裂紋本構(gòu)模型(Aniso-Visco SCRAM模型)。并利用MATLAB數(shù)值計算程序，開展單軸加載條件下PBX9501的力學(xué)響應(yīng)研究，分析不同法向微裂紋的擴(kuò)展規(guī)律；根據(jù)計算所得不同應(yīng)變率加載下的壓縮和拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線，分析破壞強(qiáng)度、臨界應(yīng)變的拉壓異性及其隨應(yīng)變率的變化規(guī)律；最后，通過改變微裂紋數(shù)密度、初始微裂紋尺寸、微裂紋面摩擦系數(shù)和斷裂表面能4個參數(shù)的取值，考察這些參數(shù)對計算結(jié)果的影響。

2 Aniso-Visco SCRAM本構(gòu)模型的建立

Aniso-Visco SCRAM模型與Visco SCRAM模型結(jié)構(gòu)類似，由一個包含多個并聯(lián)Maxwell體的黏彈性體和一個由SCRAM模型定義的微裂紋損傷體串聯(lián)而成[3],如圖1所示，并采用如下簡化：(1) 試件中隨機(jī)分布著大量不同尺寸、不同法向的微裂紋，假設(shè)初始時刻微裂紋數(shù)密度各向同性分布，并且隨裂紋尺寸的不同按指數(shù)規(guī)律變化；(2) 忽略微裂紋成核效應(yīng)的影響；(3) 忽略微裂紋之間的相互作用。

在單個Maxwell黏彈性體模型中，分別采用線性彈性律、線性黏性律描述彈性和黏性[7-8]，具體表達(dá)式為

圖1 Aniso-Visco SCRAM模型示意圖(E為彈性模量)Fig.1 Schematic of Aniso-Visco SCRAM (E is the elasticity modulus)

(3)

式中：上標(biāo)“ve”表示黏彈性；τ為松弛時間，τ(n)=η(n)/G(n)。

將5個Maxwell體并聯(lián)，則總應(yīng)變與分應(yīng)變相等，總應(yīng)力等于各分應(yīng)力之和，即

(4)

(5)

(6)

在計算所有微裂紋擴(kuò)展產(chǎn)生的應(yīng)變εc時，由于考慮微裂紋面的法向因素，因此統(tǒng)計方程不再表示為如Addessio等人[5]提出的積分形式，而是不同法向上微裂紋應(yīng)變分量的疊加求和。由均勻分布、法向矢量為n、半徑為c的幣形微裂紋引起的應(yīng)變張量增量Δεc為[2]

(7)

實驗結(jié)果指出，微裂紋數(shù)密度函數(shù)ρ(c,n,t)隨尺寸不同而近似呈指數(shù)分布[9]

(8)

故所有裂紋擴(kuò)展產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)?/p>

(9)

應(yīng)變率的形式為

(10)

κ=μ-σn/sn

(11)

該模型以微裂紋尺寸的演化描述材料損傷，為求解上述方程，還需給出微裂紋擴(kuò)展速度方程。仍采用Dienes等人[2]給出的表達(dá)形式，具體描述如下[10-13]

(12)

(15)

式中：f(σ,n)為應(yīng)力函數(shù)。f(σ,n)依賴于微裂紋所處的張開或閉合狀態(tài)，對于張開微裂紋(σn>0)

(16)

對于閉合微裂紋(σn≤0)

f(σ,n)=sn+μσn2

(17)

由上述模型的建立過程可知，材料體元內(nèi)分布著大量具有不同法向的微裂紋，在遠(yuǎn)場三維應(yīng)力σ作用下，可根據(jù)微裂紋面法向應(yīng)力分量σn的正負(fù)判斷微裂紋所處的狀態(tài)——張開或閉合，進(jìn)而由微裂紋擴(kuò)展方程(12)式～(17)式可知其以不同形式擴(kuò)展。模型中，微裂紋尺寸的增長表征材料體元的損傷破壞過程，因此隨微裂紋面法向而形成了損傷的各向異性分布。采用(7)式～(10)式對不同法向微裂紋擴(kuò)展而產(chǎn)生的應(yīng)變疊加求和，得到宏觀上全部微裂紋擴(kuò)展產(chǎn)生的附加應(yīng)變，通過耦合(4)式所描述的黏彈性變形，就組成了Aniso-Visco SCRAM本構(gòu)模型的完整表述。

3 單軸應(yīng)力加載下的計算結(jié)果與分析

在單軸加載條件下，假設(shè)加載方向沿x軸，則本構(gòu)模型中(6)式和(10)式展開后為

式中：微裂紋法向矢量n=n1ex+n2ey+n3ez=cosψex+sinψcosθey+sinψsinθez，其中ex、ey、ez分別為x、y、z方向的基矢;H(x)是Heaviside階躍函數(shù)。

由(4)式可知

(25)

(26)

由此可得單軸載荷作用下炸藥的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

根據(jù)上述單軸載荷作用下的本構(gòu)模型，結(jié)合微裂紋擴(kuò)張方程(12)式～(17)式，采用MATLAB計算程序，開展如下內(nèi)容研究。炸藥材料為PBX9501，模型輸入?yún)?shù)如表1所示。根據(jù)Dienes等人[2]的討論，微裂紋面法向分布取值為481個。

表1 Aniso-Visco SCRAM模型輸入?yún)?shù)[2-4]Table 1 Constitutive model parameters for Aniso-Visco SCRAM[2-4]

3.1 微裂紋擴(kuò)展的各向異性

數(shù)值計算中，μ=0.5，壓縮和拉伸條件下對應(yīng)的臨界角分別為58°和0°。單軸壓縮條件下(應(yīng)變率為1 000 s-1),不同法向的微裂紋尺寸擴(kuò)展情況如圖2(a)所示，可以看出，最靠近臨界角的ψ=57°處，微裂紋最先擴(kuò)展，ψ=63°、48°及72°處的微裂紋依次緊隨其后，而ψ=42°處由于能量釋放率較低，微裂紋尺寸擴(kuò)展很小。單軸拉伸條件下(應(yīng)變率為1 000 s-1),不同法向的微裂紋尺寸擴(kuò)展情況如圖2(b)所示，可以看出，與加載方向相同的ψ=0°處微裂紋最先擴(kuò)展，ψ=15°、30°、45°處的微裂紋依次緊隨其后，而ψ=60° 處同樣由于能量釋放率較低，微裂紋尺寸擴(kuò)展很小?？梢娪嬎憬Y(jié)果與理論分析所得一致，證明了各向異性損傷模型在理論上的正確性。在Visco SCRAM模型中，所有方向的微裂紋均按同一規(guī)律擴(kuò)展(見圖3)，不能合理地描述相同加載條件下不同取向微裂紋的擴(kuò)展方式，與實際物理機(jī)制存在差別；而本研究的Aniso-Visco SCRAM模型考慮了微裂紋面法向矢量的影響，可以清楚地描述微裂紋擴(kuò)展的各向異性。

圖2 具有不同法向的微裂紋尺寸擴(kuò)展曲線Fig.2 Calculated crack extension curves of different orientations

圖3 Visco SCRAM模型中微裂紋尺寸擴(kuò)展曲線Fig.3 Calculated crack extension curves of Visco SCRAM

3.2 應(yīng)力-應(yīng)變曲線的拉壓異性

細(xì)觀觀測結(jié)果表明，在拉伸載荷作用下，PBX炸藥以界面脫粘為主要破壞形式，其斷面上可以觀察到突出的顆粒和顆粒拔出后留下的凹坑；而在壓縮載荷作用下，炸藥顆粒發(fā)生破碎，以剪切破壞為主。不同的細(xì)觀破壞模式造成炸藥的拉伸強(qiáng)度比壓縮強(qiáng)度小得多，具有明顯的拉壓異性[14]。

應(yīng)變率為1 000 s-1時計算所得拉伸和壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖4(a)所示。從圖4(a)中可以看出，在單軸壓縮作用下，炸藥的破壞強(qiáng)度(σc)和臨界應(yīng)變(εc)分別為51.0 MPa和0.012，與實驗結(jié)果[2]相比，強(qiáng)度幅值接近，但臨界應(yīng)變稍?。欢趩屋S拉伸作用下，炸藥的破壞強(qiáng)度(σt)和臨界應(yīng)變(εt)分別為24.1 MPa和0.005，均比壓縮載荷下小得多。圖4(b)為同等應(yīng)變率條件下根據(jù)Visco SCRAM模型計算所得結(jié)果。Visco SCRAM模型中，拉伸和壓縮加載條件下采用的等效應(yīng)力表達(dá)形式接近一致，造成壓縮曲線與拉伸曲線相差不大，因而不能很好地描述相同應(yīng)變率下PBX炸藥的拉壓異性；而Aniso-Visco SCRAM模型根據(jù)不同取向的微裂紋所處的張開或閉合狀態(tài)，采用不同的能量釋放率方程描述其擴(kuò)展規(guī)律，可以較好地描述PBX炸藥的拉壓異性。

圖4 單軸拉伸和壓縮作用下應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.4 Calculated stress-stain curves under uniaxial tension and compression

3.3 單軸加載下的應(yīng)變率相關(guān)性

不同應(yīng)變率條件下的Hopkinson桿壓縮實驗和動態(tài)巴西實驗結(jié)果表明，PBX炸藥的模量、破壞強(qiáng)度和臨界應(yīng)變均隨應(yīng)變率的增加而增加，具有很強(qiáng)的應(yīng)變率相關(guān)性。壓縮條件下應(yīng)變率加載范圍為400～4 000 s-1時，計算結(jié)果如圖5(a)所示，可以看出，隨著應(yīng)變率的增加，模量逐漸變大；在該應(yīng)變率范圍內(nèi)，破壞強(qiáng)度由44.5 MPa增加至82.7 MPa，臨界應(yīng)變由0.011增加至0.018?？梢妴屋S壓縮載荷作用下，材料表現(xiàn)出較強(qiáng)的應(yīng)變率相關(guān)性，與Gray等人[15]實驗所得的變化規(guī)律一致。Visco SCRAM模型所得結(jié)果(見圖5(b))與Aniso-Visco SCRAM模型的計算結(jié)果近似一致，原因是單軸壓縮條件下所有微裂紋處于閉合狀態(tài)，我們采用的疊加統(tǒng)計結(jié)果與原模型的積分統(tǒng)計結(jié)果趨于一致，進(jìn)一步證明了新模型的可靠性。

圖5 不同應(yīng)變率條件下單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.5 Calculated stress-strain curves under uniaxial compression at different strain rates

拉伸條件下應(yīng)變率加載范圍為100～1 000 s-1，計算結(jié)果如圖6(a)所示，可以看出，隨著應(yīng)變率的增加，模量逐漸變大；在該應(yīng)變率范圍內(nèi)，破壞強(qiáng)度由14.7 MPa增加至24.1 MPa，臨界應(yīng)變由0.004 0增加至0.005 6。在單軸拉伸載荷作用下，材料也表現(xiàn)出較強(qiáng)的應(yīng)變率相關(guān)性，與趙玉剛等人[16]開展的動態(tài)拉伸實驗所得變化規(guī)律一致。Visco SCRAM模型所得破壞強(qiáng)度(見圖6(b))也隨應(yīng)變率的增加而增大，但幅值明顯大于本研究結(jié)果；臨界應(yīng)變的變化不大，但幅值也大于本研究所得，且應(yīng)變率為100 s-1時臨界應(yīng)變反而較大，初步分析認(rèn)為，其原因是Visco SCRAM模型中求解等效應(yīng)力的強(qiáng)度因子不合理。

圖6 不同應(yīng)變率條件下單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.6 Calculated stress-strain curves under uniaxial tension at different strain rates

3.4 部分參數(shù)討論與分析

由上述建立的模型及數(shù)值計算分析可知，Aniso-Visco SCRAM本構(gòu)模型參數(shù)較多，部分參數(shù)無法通過實驗準(zhǔn)確確定，且其取值對模型影響較大。以恒應(yīng)變率(1 000 s-1)下的單軸壓縮為例，分析微裂紋數(shù)密度、初始微裂紋尺寸、微裂紋面摩擦系數(shù)和斷裂表面能4個參數(shù)對應(yīng)力-應(yīng)變曲線計算結(jié)果的影響，初始參數(shù)取值如表1所示。

3.4.1微裂紋數(shù)密度N0

微裂紋數(shù)密度N0的取值范圍較寬，Dienes等人[2]取N0=45 000 cm-3，而根據(jù)Bennett等人[3]定義的初始缺陷尺寸計算得到N0=15 cm-3，因此我們考慮N0=45～45 000 cm-3范圍內(nèi)微裂紋數(shù)密度對計算結(jié)果的影響。計算結(jié)果如圖7所示，隨著微裂紋數(shù)密度的增加，材料的破壞強(qiáng)度、臨界應(yīng)變逐漸減??；應(yīng)變軟化段的變化規(guī)律也不一致，微裂紋數(shù)密度越大，材料初始軟化段越陡峭，表明材料越容易發(fā)生崩潰式的脆性破壞。

圖7 不同微裂紋數(shù)密度取值的計算結(jié)果Fig.7 Calculated results under uniaxial compression with different number densities

圖8 不同初始裂紋尺寸的計算結(jié)果Fig.8 Calculated results under uniaxial compression with different initial crack sizes

3.4.3摩擦系數(shù)μ

圖9 不同微裂紋面摩擦系數(shù)的計算結(jié)果Fig.9 Calculated results under uniaxial compression with different frictional coefficients

3.4.4斷裂表面能γ

斷裂表面能γ是微裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則中的閾值參數(shù)，它的大小直接影響微裂紋所在單元開始發(fā)生劣化的應(yīng)力水平。Dienes等人[2]給出HMX晶粒的斷裂表面能為0.05 J/m2，而粘結(jié)劑卻高達(dá)195 J/m2，但目前還未給出PBX9501的具體數(shù)值。我們以實驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，根據(jù)計算結(jié)果得到γ=0.5 J/m2。

圖10 不同斷裂表面能的計算結(jié)果Fig.10 Calculated results under uniaxial compression with different surface energies

為分析該參數(shù)對計算結(jié)果的影響，故考察取值范圍γ=0.1～2.0 J/m2，計算結(jié)果如圖10所示。由(12)式可知，斷裂表面能增大，引起材料開始出現(xiàn)損傷劣化的閾值逐漸增加，即黏彈性變形區(qū)間變寬，因而造成其強(qiáng)度和臨界應(yīng)變顯著增加。

綜上所述，微裂紋數(shù)密度、初始微裂紋尺寸、微裂紋面摩擦系數(shù)和斷裂表面能是描述炸藥損傷演化過程的4個重要參數(shù)，它們的取值對數(shù)值計算結(jié)果有很大的影響。為更好地描述載荷作用下PBX炸藥的力學(xué)特性和損傷破壞過程，需要對這些參數(shù)準(zhǔn)確量化，其中，微裂紋面摩擦系數(shù)和斷裂表面能可以通過實驗測量獲得，而微裂紋數(shù)密度和初始微裂紋尺寸需要開展討論和定量分析。

4 結(jié) 論

基于PBX炸藥宏觀上的黏彈性和細(xì)觀上具有不同法向的微裂紋損傷機(jī)制，建立了含各向異性損傷黏彈性統(tǒng)計微裂紋(Aniso-Visco SCRAM)模型，描述低速沖擊載荷作用下材料的力學(xué)特性和損傷破壞過程，主要得到以下結(jié)論。

(1) Aniso-Visco SCRAM本構(gòu)模型完成了細(xì)觀各向異性損傷與宏觀黏彈性的耦合，可以更好地描述PBX炸藥在低速沖擊載荷作用下的損傷機(jī)理和變形特征；

(2) 簡化得到單軸應(yīng)力加載下的本構(gòu)模型，利用MATLAB計算程序，以PBX9501為例，計算得到壓縮和拉伸條件下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，分析了具有不同法向的微裂紋擴(kuò)展規(guī)律、PBX炸藥材料破壞強(qiáng)度和臨界應(yīng)變的拉壓異性以及應(yīng)變率相關(guān)性，與Visco SCRAM模型相比，該模型更加合理。

(3) 微裂紋數(shù)密度、初始微裂紋尺寸、微裂紋面摩擦系數(shù)及斷裂表面能等參數(shù)對具有不同法向微裂紋的擴(kuò)展演化有很大影響，為更好地描述載荷作用下PBX炸藥的力學(xué)特性和損傷破壞過程，需要結(jié)合實驗和數(shù)值計算兩方面進(jìn)一步開展定量研究。

[1] DIENES J K.A statistical theory of fragmentation [C]//Proceedings of the 19th US Symposium on Rock Mechanics.Reno,Nevada:University of Nevada,1978:51-55.

[2] DIENES J K,ZUO Q H,KERSHNER J D.Impact initiation of explosives and propellants via statistical crack mechanics [J].J Mech Phys Solids,2006,54(6):1237-1275.

[3] BENNETT J G,HABERMAN K S,JOHNSON J N,et al.A constitutive model for the non-shock ignition and mechanical response of high explosives [J].J Mech Phys Solids,1998,46(12):2303-2322．

[4] HACKETT R M,BENNETT J G.An implicit finite element material model for energetic particulate composite materials [J].Int J Numer Meth Eng,2000,49(9):1191-1209.

[5] ADDESSIO F L,JOHNSON J N.A constitutive model for the dynamic response of brittle materials [J].J Appl Phys,1990,67(7):3275-3286.

[6] ZUO Q H,ADDESSIO F L,DIENES J K,et al.A rate-dependent damage model for brittle materials based on the dominant crack [J].Int J Solids Struc,2006,43(11):3350-3380.

[7] 王禮立.應(yīng)力波基礎(chǔ) [M].北京:國防工業(yè)出版社,2005:148-151.

WANG L L.Foundation of stress waves [M].Beijing:National Defense Industry Press,2005:148-151.

[8] 葉敬棠,柳兆榮,許世雄,等.流體力學(xué) [M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1989:375-379.

YE J T,LIU Z R,XE S X,et al.Fluid mechnics [M].Shanghai:Fudan University Press,1989:375-379.

[9] SEAMAN L,CURRAN D R,SHOCKEY D A.Computational models for ductile and brittle fracture [J].J Appl Phys,1976,47(11):4811-4826.

[10] EVANS A G.Slow crack growth in brittle materials under dynamic loading conditions [J].Int J Fract,1974,10(2):251-259.

[11] FREUND L B.Dynamic fracture mechanics [M].Cambridge:Cambridge University Press,1993.

[12] RICE J R.Comments on “on the stablility of shear cracks and the calculation of compressive strength” [J].J Geophys Res,1984,89(B4):2505-2507.

[13] KEER L M.A note on shear and combined loading for penny-shaped crack [J].J Mech Phys Solids,1966,14(1):1-6.

[14] 陳鵬萬,黃風(fēng)雷.含能材料損傷理論及應(yīng)用 [M].北京:北京理工大學(xué)出版社,2006:25-30.

CHEN P W,HUANG F L.Damage theories and applications of energetic materials [M].Beijing:Beijing Institute of Technology Press,2006:25-30.

[15] GRAY G T Ⅲ,IDAR D J,BLUMENTHAL W R,et al.High- and low-strain rate compression properties of several energetic material composites as a function of strain rate and temperature [C]//The 11th International Detonation Symposium.Snowmass,Colorado:Los Alamos National Lab,1998:76-84.

[16] 趙玉剛,傅 華,李俊玲,等.三種PBX炸藥的動態(tài)拉伸力學(xué)性能 [J].含能材料,2011,19(2):194-199.

ZHAO Y G,FU H,LI J L,et al.Dynamic tensile mechanical properties of three types of PBX [J].Chinese Journal of Energetic Materials,2011,19(2):194-199.