馬斯京根模型參數(shù)反演的改進(jìn)粒子群算法

張新明，馬艷

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院，廣東 深圳 518055)

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馬斯京根模型參數(shù)反演的改進(jìn)粒子群算法

張新明，馬艷

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院，廣東 深圳 518055)

摘要：針對(duì)傳統(tǒng)粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)(即“早熟”現(xiàn)象)的問(wèn)題，將基于適應(yīng)值共享原則的小生境策略與粒子群算法相結(jié)合，提出了一種改進(jìn)的粒子群算法——小生境粒子群算法，并將之應(yīng)用于4個(gè)典型測(cè)試函數(shù)的數(shù)值仿真以及基于馬斯京根模型的參數(shù)反演計(jì)算。數(shù)值模擬結(jié)果顯示，相比于傳統(tǒng)的粒子群算法，小生境粒子群算法具有精度高、收斂速度快的特點(diǎn)，但其抗噪性較差。為了進(jìn)一步提高算法的抗噪性，將基于小波多分辨分析的多尺度反演策略和小生境粒子群算法相結(jié)合構(gòu)造了多尺度小生境粒子群算法。帶有5%隨機(jī)噪聲的馬斯京根模型參數(shù)反演結(jié)果顯示，新提出的多尺度小生境粒子群算法能夠有效提升小生境粒子群算法的抗噪性，從而使反演結(jié)果的精度得到較大的改善。

關(guān)鍵詞：馬斯京根模型；參數(shù)反演；小生境粒子群算法；多尺度；隨機(jī)噪聲

眾所周知，由于其簡(jiǎn)單實(shí)用性，馬斯京根模型是眾多洪水演算模型中應(yīng)用最為廣泛的方法之一，它利用河段水量槽蓄方程代替復(fù)雜的水動(dòng)力方程從而使計(jì)算過(guò)程極大簡(jiǎn)化, 同時(shí)又能取得滿(mǎn)足實(shí)用的演算精度, 從而被國(guó)內(nèi)外廣泛應(yīng)用, 在洪水預(yù)報(bào)和防洪規(guī)劃中具有重要意義。然而，該方法在實(shí)際應(yīng)用中的一個(gè)重要難點(diǎn)即是模型的參數(shù)優(yōu)選問(wèn)題。Gill[1]采用最小二乘方法求解非線性馬斯京根模型的三個(gè)參數(shù)值；Tung[2]將Hook-Jeeves模式搜索方法分別和線性回歸方法、共軛梯度方法、DFP方法相結(jié)合應(yīng)用于馬斯京根模型的參數(shù)識(shí)別問(wèn)題，得到了較好的結(jié)果；Yoon等[3]討論了馬斯京根模型參數(shù)估計(jì)的多種方法，如：基于最小二乘方法的線性及非線性回歸法、非線性迭代方法、線性規(guī)劃、二次規(guī)劃等。但由于馬斯京根模型本身的近似性和傳統(tǒng)方法的局限性, 上述方法較難得到全局最優(yōu)解。而近些年來(lái)，隨著各種智能優(yōu)化算法的發(fā)展，其在馬斯京根模型參數(shù)優(yōu)化求解問(wèn)題中的應(yīng)用逐漸引起了眾多專(zhuān)家學(xué)者的關(guān)注。Mohan[4]采用遺傳算法研究了馬斯京根模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，結(jié)果顯示方法的全局尋優(yōu)性明顯優(yōu)于上述三種方法，并且不需要嚴(yán)苛的初始值猜測(cè)；Kim等[5]和程銀才等[6]分別將和聲搜索方法和混沌模擬退火方法用于相同問(wèn)題的求解，確定參數(shù)x、n和K，有效地提高了收斂速度和模型精度；袁曉輝等[7]和魯帆等[8]針對(duì)傳統(tǒng)遺傳算法的不足，分別提出了相應(yīng)的改進(jìn)遺傳算法，用于非線性馬斯京根模型參數(shù)估計(jì)，得到了較好的結(jié)果；馬細(xì)霞等[9]和Chu等[10]分別提出采用粒子群算法對(duì)馬斯京根模型參數(shù)進(jìn)行率定，研究結(jié)果顯示了粒子群算法較好的全局尋優(yōu)能力。

粒子群優(yōu)化算法[11]( particle swarm optimization, PSO )是由Kennedy 和Eberhart等提出的一種基于種群搜索的自適應(yīng)進(jìn)化計(jì)算技術(shù)。該算法具有并行處理和魯棒性好等特性。它不依賴(lài)于問(wèn)題的具體領(lǐng)域, 以粒子群個(gè)體作為運(yùn)算對(duì)象，直接以目標(biāo)函數(shù)作為尋優(yōu)搜索的基本信息，可以使用整個(gè)種群的信息，并且占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存少，尤其適用于求解一些非線性、多參數(shù)復(fù)雜系統(tǒng)的全局優(yōu)化問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中，其存在兩個(gè)主要的缺點(diǎn)，分別是容易陷入局部收斂和后期收斂速度慢。為了能夠有效的解決上述問(wèn)題，本文提出將小生境思想[12]和粒子群算法結(jié)合構(gòu)造小生境粒子群算法，并將其應(yīng)用于馬斯京根模型的參數(shù)反演，同時(shí)為了提高方法的抗噪性，在反演過(guò)程中，加入了多尺度思想[13]，有效提高了反演結(jié)果的計(jì)算精度，改善了方法的抗噪性。

1馬斯京根模型

馬斯京根法是河道洪水演算中廣泛應(yīng)用的方法, 其采用的基本方程如下：

(1)

式中： W為槽蓄量，t為時(shí)間，I、Q為入流量、出流量，K為槽蓄系數(shù)，x為流量比重因子。

該模型的解析解[8]為

Q2=C1I1+C2I2+C3Q1

(2)

式(1)中K值基本上反映的是河道穩(wěn)定流的傳播時(shí)間，理論上應(yīng)隨流量的增大而減小，不少實(shí)測(cè)資料也是這樣的；x值反映的是楔蓄在河槽調(diào)蓄中的影響，對(duì)于某河段，x在洪水漲落的過(guò)程中基本穩(wěn)定；Δt的選取要求摘錄的洪水?dāng)?shù)值能比較真實(shí)地反映洪水的變化情況并且不要溜掉洪峰。

對(duì)于一個(gè)河段，只要確定參數(shù)K，x的值和演算時(shí)段Δt之后，就可以求出C1、C2、C3，代入式(2)，再根據(jù)上站流量過(guò)程和下站起始流量從而計(jì)算出下站的流量過(guò)程。

當(dāng)Δt=2Kx時(shí)則C2=0，則式(2)就變成：

Q2=C1I1+C3Q1

(3)

式(3)計(jì)算簡(jiǎn)便，又能獲得Δt的預(yù)見(jiàn)期。

2小生境粒子群算法

小生境是來(lái)自于生物學(xué)的一個(gè)概念，它是指在特定環(huán)境下的一種生存環(huán)境，即生物居住生活的小范圍或小棲息地。而應(yīng)用于進(jìn)化算法中的小生境技術(shù)就是把上述概念應(yīng)用到進(jìn)化算法中，產(chǎn)生小生境機(jī)制。主要的小生境機(jī)制有預(yù)選擇機(jī)制(preselection)、排擠機(jī)制(crowding)與共享機(jī)制(sharing)。小生境技術(shù)具有較強(qiáng)的局部搜索能力，能夠保持物種的多樣性，防止過(guò)早收斂。將其與粒子群算法相結(jié)合，構(gòu)造小生境粒子群算法，能夠有效的促進(jìn)粒子群算法跳出局部最優(yōu)找到全局最優(yōu)。 本文采用的是基于適應(yīng)值共享的小生境技術(shù)[15]。

2.1基于適應(yīng)值共享的小生境粒子群算法

小生境共享機(jī)制的基本思想為：利用共享函數(shù)去判斷個(gè)體之間相似程度，對(duì)適應(yīng)值進(jìn)行調(diào)整。也就是當(dāng)適應(yīng)度值減小時(shí)，代表一個(gè)個(gè)體與其他個(gè)體比較相似,反之，當(dāng)適應(yīng)度值增大時(shí)，代表一個(gè)個(gè)體與其他個(gè)體相似程度較差。按照上述方式進(jìn)行就可以有效的控制相似個(gè)體復(fù)制過(guò)多,從而形成一種較好的小生境進(jìn)化環(huán)境。

本文的適應(yīng)度計(jì)算基于適應(yīng)值共享原則，要想實(shí)現(xiàn)適應(yīng)值共享，首先要定義一種距離度量方式。常用的距離度量方式有兩種：一種是在參數(shù)空間中被廣泛采用的歐幾里得距離，它也被稱(chēng)作是表現(xiàn)型距離；另一種是在編碼空間中被廣泛采用的基因距離，它也被稱(chēng)作是海明距離。采用第一種距離方式。

將粒子i與粒子j之間的距離記為符號(hào)dij，共享函數(shù)的表達(dá)式如下：

(4)

式中：α用來(lái)調(diào)整共享函數(shù)的形狀的常數(shù)，本文中選取α=1；σ為預(yù)先給定的小生境半徑。小生境半徑計(jì)算公式為[14]

(5)

因此，依據(jù)上述處理，假如在一個(gè)小生境中存在非常多的個(gè)體，那么在該小生境中基于適應(yīng)值共享后的所有個(gè)體的適應(yīng)值會(huì)大大的降低，這樣就會(huì)讓那些存在較少個(gè)體的小生境能夠存在并繁衍。

基于適應(yīng)值共享原則的小生境粒子群算法優(yōu)化的基本步驟為：

2)確定小生境種群個(gè)體。

首先，令i=1；

其次，計(jì)算兩個(gè)粒子個(gè)體的距離dij；

最后，讓上述距離dij小于小生境半徑σ，進(jìn)而確定小生境群體；

3)按照粒子群算法對(duì)小生境群體進(jìn)行速度和適應(yīng)度更新，再對(duì)更新后的粒子更新其適應(yīng)度；

4)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)值，保留最優(yōu)的適應(yīng)值及個(gè)體，檢查是否達(dá)到優(yōu)化條件； 如果達(dá)到，則結(jié)束。否則，進(jìn)入下一個(gè)粒子的小生境群體進(jìn)行優(yōu)化；

5)若沒(méi)有找到最優(yōu)值， 則對(duì)每個(gè)粒子的小生境群體保留的最優(yōu)個(gè)體組成新的群體空間，重復(fù)步驟2)～4)。

2.2多模態(tài)函數(shù)優(yōu)化

為驗(yàn)證小生境粒子群算法的有效性，選取表1所示的四個(gè)典型多模態(tài)函數(shù)作為測(cè)試函數(shù)，其中，F(xiàn)1為Rastrigrin 函數(shù)、F2為Griewangk's函數(shù)， F3為Branin函數(shù)、F4為Schaffer 函數(shù)，它們?cè)谧约核诘目尚薪夥秶鷥?nèi)的全局最優(yōu)值均為0。

選取的參數(shù)設(shè)定如下：迭代次數(shù)為100，多模態(tài)函數(shù)優(yōu)化時(shí)的參數(shù)范圍如表1所示。對(duì)上述函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，在基于適應(yīng)值共享原則的小生境粒子群算法(NPSO)中，選取粒子個(gè)數(shù)為30，粒子維數(shù)為2，小生境個(gè)數(shù)為4，小生境半徑可由式(5)計(jì)算求得。同時(shí)，采用基本粒子群算法(PSO)對(duì)上述4個(gè)函數(shù)也進(jìn)行了計(jì)算，選取參數(shù)和小生境粒子群算法(NPSO)完全一致。為克服算法隨機(jī)性的影響，所有計(jì)算結(jié)果都是進(jìn)行30次計(jì)算后的平均結(jié)果。迭代尋優(yōu)結(jié)果的對(duì)比如表2和圖1所示。

從表2和圖1中，可以清晰地看到對(duì)于四個(gè)測(cè)試函數(shù)，NPSO在解的精確性上都明顯高于PSO，而在迭代次數(shù)和收斂時(shí)間上，前三個(gè)測(cè)試函數(shù)有明顯的提升，而對(duì)于函數(shù)F4則相差不大?？偟膩?lái)說(shuō)，相比于基本粒子群算法，小生境粒子群算法在全局尋優(yōu)方面更具有優(yōu)勢(shì)。

表1　測(cè)試函數(shù)

表2　NPSO算法與PSO算法結(jié)果

圖1　NPSO與PSO的迭代尋優(yōu)結(jié)果Fig.1　The iterative results of algorithm NPSO and algorithm PSO

3馬斯京根模型參數(shù)反演

首先給出馬斯京根模型參數(shù)反演的小生境粒子群算法的基本步驟:

算法1：基于適應(yīng)值共享原則的小生境粒子群算法

2)利用模型(1)，計(jì)算該河段的流量數(shù)據(jù)并記為Q2(Δti,x,K)，其中Δti為i個(gè)不同的時(shí)段。

3)這樣便得到了不同時(shí)段上Q2的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值，將他們作差后平方相加得出誤差的平方和，形式如下：

4)把J(x,K)作為小生境粒子群算法的適應(yīng)值函數(shù)，適時(shí)調(diào)整參數(shù)x,K，使式(6)達(dá)到最小，即可得到參數(shù)的全局最優(yōu)值。

為了檢驗(yàn)上述方法的可行性，選取以下算例進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1單參數(shù)反演

依據(jù)上述模型分別對(duì)槽蓄系數(shù)K、流量比重因子x進(jìn)行了反演，其真值為K=18，x=0.1。

為了進(jìn)一步提高算法的抗噪性，將多尺度反演策略和小生境粒子群算法相結(jié)合，提出了多尺度小生境粒子群算法。其主要求解思路如下：

算法2：多尺度小生境粒子群算法

2)設(shè)定待反演參數(shù)初始選擇區(qū)間(15≤K≤25和0≤x≤0.5)，以最粗糙尺度為起始尺度，采用小生境粒子群算法求解，目標(biāo)函數(shù)為

3)將尺度加細(xì)，依據(jù)上一尺度的反演結(jié)果來(lái)確定下一尺度的待反演參數(shù)區(qū)間。具體來(lái)說(shuō)即是：采用二分法將上一尺度的待反演參數(shù)區(qū)間劃分為兩等份，判斷上一尺度的反演結(jié)果落在哪一個(gè)子區(qū)間，以包含反演結(jié)果的子區(qū)間作為下一尺度的待反演參數(shù)區(qū)間；

4)在較細(xì)尺度下，采用小生境粒子群算法求解，目標(biāo)函數(shù)為

5)重復(fù)上述步驟3)和4)直至最精確的尺度，得到最終反演結(jié)果。

在加噪5%的情形下，將多尺度小生境粒子群算法應(yīng)用于馬斯京根模型的參數(shù)反演。尺度分解工具選用Matlab小波工具箱中的相關(guān)命令(尺度分解函數(shù)：wavedec，系數(shù)提取函數(shù)：appcoef，信號(hào)重構(gòu)函數(shù)：wrcoef)，分解及重構(gòu)基函數(shù)選用Daubechies小波，本文中分解為5個(gè)尺度。參數(shù)反演結(jié)果如表6和表7所示。表6是槽蓄系數(shù)K和流量比重因子x的最終反演結(jié)果。從表6中可以看到兩個(gè)參數(shù)的計(jì)算精度都有了較好的提升，和真值的相對(duì)誤差分別由21%提升到了4%和由36%提升到了接近10%。表7給出了在各個(gè)不同尺度下的反演結(jié)果。從表7中可以看到隨著尺度的減小，反演結(jié)果的精度在不斷的改善。但需要引起注意的是，在槽蓄系數(shù)K的多尺度反演過(guò)程中，最好的反演結(jié)果并沒(méi)有出現(xiàn)在原始尺度，而是出現(xiàn)在了第四層，因此在多尺度算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，要留意保留不同尺度下的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，并通過(guò)最終比較給出最好的反演值。

表3　Q2的實(shí)測(cè)值

Δt(h)7.5.27.5.87.5.147.5.207.6.27.6.87.6.147.6.20I1/(m3·s-1)54153.4365457015.3265861235.7854264256.2326367365.3025470124.3265474136.6984177562.36254I2/(m3·s-1)54296.5894656324.1245855216.2165459126.0254162154.6540265847.3104270125.3698575584.26589Q1/(m3·s-1)46326.20314549325.6548754897.2364558125.6958762145.3542166859.0324870926.6529874326.56984Q(m)2i=Q2/(m3·s-1)51957.9849854620.7912357704.8946161038.8772164385.1320167969.3807772073.4487076072.67987

表4　參數(shù)反演結(jié)果(5≤K≤25,0≤x≤0.5)

表5　加噪5%參數(shù)反演結(jié)果(5≤K≤25,0≤x≤0.5)

表6　參數(shù)反演結(jié)果(多尺度小生境粒子群算法，加噪5%，15≤K≤25,0≤x≤0.5)

表7　不同尺度下參數(shù)K,x反演結(jié)果(加噪5%)

3.2雙參數(shù)反演

算法參數(shù)設(shè)定如下：粒子數(shù)量為30，迭代次數(shù)為100次，小生境個(gè)數(shù)為4個(gè)，粒子維數(shù)為2。同樣的，為克服算法隨機(jī)性的影響，所有計(jì)算結(jié)果也都是進(jìn)行30次計(jì)算后的平均結(jié)果。同時(shí)對(duì)參數(shù)K和x進(jìn)行反演，待反演參數(shù)初始范圍分別是5≤K≤25和0≤x≤0.2，反演結(jié)果如表8所示，從表中可以看到反演結(jié)果精度較高，相對(duì)誤差可以控制在4%之內(nèi)。表9給出了在對(duì)實(shí)測(cè)值添加5%的噪聲情形下，采用小生境粒子群算法得到的反演結(jié)果，結(jié)果顯示反演的精度明顯降低，參數(shù)K的相對(duì)誤差達(dá)到了5%以上，參數(shù)x的相對(duì)誤差達(dá)到18%以上。表10給出了結(jié)合了多尺度策略后的反演結(jié)果，兩個(gè)參數(shù)反演值的精度都有所提高，和真值的相對(duì)誤差分別達(dá)到了3.08%和13.26%。反演結(jié)果顯示相比于單參數(shù)反演，雙參數(shù)反演的多尺度小生境粒子群算法的抗噪性有所欠缺，這還有待于進(jìn)一步研究。

表8　馬斯京根模型雙參數(shù)反演結(jié)果

表9　雙參數(shù)反演結(jié)果(加噪5%)

表10　雙參數(shù)反演結(jié)果(多尺度小生境粒子群算法，加噪5%)

4結(jié)論

1)本文將基于適應(yīng)值共享原則的小生境策略與傳統(tǒng)粒子群算法相結(jié)合，提出了一種改進(jìn)粒子群算法—小生境粒子群算法，并應(yīng)用于基于馬斯京根模型的參數(shù)反演中。通過(guò)對(duì)槽蓄系數(shù)和流量比重因子進(jìn)行單參數(shù)和雙參數(shù)反演計(jì)算實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示：如果不考慮噪聲的話，小生境粒子群算法具有理想的計(jì)算精度和收斂速度。單參數(shù)的反演值和真值的相對(duì)誤差可以達(dá)到10-6，和真值幾乎完全吻合；雙參數(shù)的反演結(jié)果的相對(duì)誤差也可以控制在4%之內(nèi)。但是，該方法的抗噪性卻是不甚理想。

2)為進(jìn)一步提高算法的抗噪性，將基于小波多分辨分析的多尺度反演策略和小生境粒子群算法相結(jié)合構(gòu)造了多尺度小生境粒子群算法，并將之應(yīng)用于帶有5%隨機(jī)噪聲的馬斯京根模型參數(shù)反演，使反演結(jié)果的精度得到了明顯的改善，有效的提升了小生境粒子群算法的抗噪性。

3)數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)顯示提出的小生境粒子群算法能夠有效的改善傳統(tǒng)粒子群算法的全局尋優(yōu)性，而多尺度反演策略的加入能夠有效的改進(jìn)算法的抗噪性。因此在進(jìn)行實(shí)際河道洪水演進(jìn)計(jì)算時(shí)，兩者結(jié)合所構(gòu)造的多尺度小生境粒子群算法能夠?yàn)轳R斯京根模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題提供一種高效的計(jì)算方法。

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Improved particle swarm optimization for parameter inversion of Muskingum model

ZHANG Xinming, MA Yan

(Shenzhen Graduate School, Harbin Institute of Technology, Shenzhen 518055, China)

Abstract：In this study, the parameter inversion problem of the Muskingum model is considered. To overcome the "premature" phenomenon of particle swarm optimization, a new niche particle swarm optimizaiton (NPSO) is presented. NPSO combines traditonal particle swarm optimization with the fitness-sharing principle. By applying four test functions and parameter inversion based on the Muskingum model and comparing these with traditional particle swarm optimization, the efficiency in convergent speed and precision of this method are verified. However, inversion results are not good because of stochastic noise. To improve the antinoise capability of NPSO, a multiscale NPSO is constructed by combining the multiscale strategy with NPSO and by applying the parameter inversion of the Muskingum model with 5% stochastic noise. Inversion resultsverify the effectiveness of the improved algorithm; the antinoise performance of the NPSO has been increased, and the precision of the parameter inversion result is significantly improved.

Keywords：Muskingum model; parameter inversion; niche particle swarm optimization; multiscale; stochastic noise

中圖分類(lèi)號(hào)：X522

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-7043(2016)02-0271-06

doi:10.11990/jheu.201407078

作者簡(jiǎn)介：張新明(1979-)，男，副教授，博士.通信作者：張新明，E-mail:xinmingxueshu@gmail.com.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41004052).

收稿日期：2014-07-31.網(wǎng)絡(luò)出版日期：2015-12-29.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151229.1711.010.html