基于軸對(duì)稱(chēng)四邊形薄導(dǎo)體模型的電阻估算法

薛　芃， 昝　鑫， 鄒　軍

(清華大學(xué) 電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系， 北京 100084)

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基于軸對(duì)稱(chēng)四邊形薄導(dǎo)體模型的電阻估算法

薛芃， 昝鑫， 鄒軍

(清華大學(xué) 電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系， 北京 100084)

摘要：本文提出一種利用軸對(duì)稱(chēng)薄片導(dǎo)體模型近似等效處理不規(guī)則的薄片導(dǎo)體轉(zhuǎn)角電阻的估算方法。首先從理論出發(fā)，論證了所有軸對(duì)稱(chēng)的四邊形薄片導(dǎo)體，其對(duì)邊之間的電阻等于其方阻。以該結(jié)論為依據(jù)，得到了一種以近似劃分為手段的薄片電阻估算法。作為實(shí)例，將該方法應(yīng)用于L型薄片電阻的估算，并對(duì)這種估算的有效性和精確性進(jìn)行了分析和討論。

關(guān)鍵詞：電阻估算；薄片電阻；方阻

0引言

薄片導(dǎo)體材料在現(xiàn)今的生產(chǎn)生活中并不罕見(jiàn)。對(duì)于形狀不規(guī)則的薄片導(dǎo)體的電阻，求得解析解往往比較困難。要精確求解往往采用實(shí)驗(yàn)?zāi)M法獲得或利用軟件進(jìn)行數(shù)值求解。然而這些方法較為繁瑣，因此對(duì)精度要求不高的場(chǎng)合，也可用估算的方法。

此前已有一些估算法，如利用圓弧導(dǎo)體等效處理進(jìn)行估算，也在特定場(chǎng)合取得了較好的效果[1]。本文提出一種新的估算方法，利用關(guān)于對(duì)角線軸對(duì)稱(chēng)的四邊形薄片導(dǎo)體，其對(duì)邊間電阻等于方阻的性質(zhì)，將原不規(guī)則圖形近似劃分為矩形與軸對(duì)稱(chēng)四邊形薄片導(dǎo)體進(jìn)行估算方法。

該方法思路明確且計(jì)算簡(jiǎn)單，同時(shí)相較傳統(tǒng)估算法具有更高的精度，具有較好的普適性。

1軸對(duì)稱(chēng)薄片導(dǎo)體的電阻計(jì)算

1.1方塊電阻

對(duì)于邊長(zhǎng)為a，厚度為h，電導(dǎo)率為γ的方形薄片導(dǎo)體，可知其對(duì)邊間的電阻為

R=a/γha=1/γh

(1)

方形薄片的電阻只和材料與厚度有關(guān)，該電阻稱(chēng)為方塊電阻。

1.2四邊形薄片導(dǎo)體的電阻

對(duì)于如圖1的四邊形平面導(dǎo)體，形狀不規(guī)則，難以直接求解其對(duì)邊間的電阻。

圖1　四邊形薄片導(dǎo)體

由于h很小，可認(rèn)為電場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。若在AB邊與CD邊之間加電壓U，以CD邊為電位零點(diǎn)，則導(dǎo)體內(nèi)，電位滿足

▽2φ=-▽·E=0

(2)

導(dǎo)體邊界上，邊界條件為

φ|AB=U

(3)

φ|CD=0

(4)

?φ/?n|AD、BC=0

(5)

為推導(dǎo)方便，在導(dǎo)體區(qū)域內(nèi)構(gòu)建如下矢量場(chǎng)

E2=E×k

(6)

其中k是z軸正向單位矢量。則E2也在x-y平面內(nèi)，可證其在導(dǎo)體內(nèi)的旋度為

▽×E2=▽×(E×k)=0

(7)

說(shuō)明E2在電阻區(qū)域內(nèi)是無(wú)旋場(chǎng)，則可構(gòu)建勢(shì)函數(shù)φ2，使之滿足

E2=-▽?duì)?

(8)

又可得

▽2φ2=-▽·E2=0

(9)

說(shuō)明φ2在區(qū)域內(nèi)部滿足拉普拉斯方程。又由于E2與E處處垂直，則φ2的邊界條件為

φ2|AD=C1

(10)

φ2|BC=C2

(11)

?φ2/?n|AB、BD=0

(12)

其中C1、C2為常數(shù)。

可看出，此時(shí)的φ2與E2能對(duì)應(yīng)另一種電場(chǎng)模型，即不在AB邊與CD邊之間加電壓，而在AD與BC邊之間加電壓。

在AB邊與CD邊之間加電壓U時(shí)，有

(13)

(14)

與之類(lèi)似，在AD與BC邊之間加電壓通電時(shí)，則有

(15)

(16)

E與E2分別為矢量的模，由在式(6)對(duì)E的定義可知有E=E2。則有

U=I2/γh

(17)

U2=I/γh

(18)

則在兩種情況下，導(dǎo)體分別對(duì)應(yīng)的電阻之間滿足

(19)

R方即方塊電阻，式(19)說(shuō)明：分別在其兩組對(duì)邊間施加電壓時(shí)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)電阻值，其乘積為方塊電阻的平方。

1.3軸對(duì)稱(chēng)薄片導(dǎo)體的電阻

如圖2所示，當(dāng)四邊形薄片導(dǎo)體關(guān)于某條對(duì)角線軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，應(yīng)用上述結(jié)論，又由對(duì)稱(chēng)性有

R1=R2=1/γh=R方

(20)

圖2　軸對(duì)稱(chēng)薄片導(dǎo)體對(duì)邊間電阻

說(shuō)明軸對(duì)稱(chēng)四邊形薄片導(dǎo)體，對(duì)邊間的電阻即方塊電阻。

2L型薄片電阻估算

2.1直角轉(zhuǎn)角L型薄片導(dǎo)體電阻估算

如圖3，考慮如下寬度相等直角轉(zhuǎn)角的L型薄片導(dǎo)體，AB=DF=BC=CD，∠AEF=90°，設(shè)AB=L，薄片電阻厚度為h，電阻率為γ。

圖3　直角轉(zhuǎn)角L型薄片導(dǎo)體

估算在AB邊與DF邊間加電壓時(shí)的電阻。

對(duì)L型薄片電阻進(jìn)行近似等效。如圖4所示，利用對(duì)稱(chēng)性，連接CE，取L型薄片電阻的一半ABCE考慮，過(guò)E作∠AEC的角平分線，過(guò)C作∠BCE的角平分線，兩線交于G點(diǎn)。過(guò)G分別作AE的垂線與AE、BC分別相交于H、I點(diǎn)，再過(guò)G作EC的垂線交于J點(diǎn)。由幾何知識(shí)可得，GH=GI=GJ=0.5L，RtΔGEH?RtΔGEJ，RtΔGCJ?RtΔGCI。

對(duì)圖形另一半作相同處理。

圖4　直角轉(zhuǎn)角 L型薄片導(dǎo)體的分割

由于線段HI離轉(zhuǎn)角有一定距離，則可近似是等勢(shì)線。由于線段GJ主要落在轉(zhuǎn)角部分而且與等勢(shì)線CE垂直，則可近似認(rèn)為是一條電流線。

經(jīng)過(guò)以上近似，L型薄片導(dǎo)體劃分為兩個(gè)矩形、兩個(gè)大的對(duì)稱(chēng)四邊形和兩個(gè)小的對(duì)稱(chēng)四邊形。已知對(duì)稱(chēng)四邊形電阻即方塊電阻，故L型薄片電阻的估算電阻為

R估=2R矩+2R方//2R方

(21)

又可知矩形部分電阻為

(22)

則估算電阻值為

(23)

2.2非直角轉(zhuǎn)角L型薄片導(dǎo)體電阻估算

將上一問(wèn)題由直角轉(zhuǎn)角推廣到非直角轉(zhuǎn)角。考慮如圖5的等寬且轉(zhuǎn)角非直角的 L型薄片導(dǎo)體電阻，仍設(shè)，AB=DF=BC=CD=L，∠AEF=α。同樣討論在AB邊與DF邊間加電壓時(shí)的電阻。

圖5　非直角轉(zhuǎn)角L型薄片導(dǎo)體

近似等效分割過(guò)程與直角轉(zhuǎn)角時(shí)完全類(lèi)似。分割的結(jié)果如圖6，同樣有EG是∠AEC的角平分線，CG是∠BCE的角平分線。結(jié)論也與之前類(lèi)似，同樣可得到式(21)。

與直角轉(zhuǎn)角時(shí)的區(qū)別在于角∠IGJ由22.5°變?yōu)?.25α。則式(23)變?yōu)?/p>

(24)

則估算結(jié)果為

(25)

圖6　非直角轉(zhuǎn)角L型薄片導(dǎo)體的分割

3估算的誤差分析

對(duì)L型薄片導(dǎo)體，該方法的誤差來(lái)源主要在兩個(gè)近似，即將HI邊近似為等勢(shì)線和將GJ邊近似為一條電流線。從近似手段分析，將某條線近似化作等勢(shì)線，從物理模型上看，相當(dāng)于在該面額外布置了一層理想導(dǎo)體，結(jié)果是改善了原導(dǎo)體的導(dǎo)電性能。同理，將某條線近似化作電流線，則相當(dāng)于在該面布置了一層絕緣體，結(jié)果是降低了原來(lái)電阻的導(dǎo)電性能。兩個(gè)手段并用可使誤差在一定程度上正負(fù)相消。該方法同時(shí)利用這兩種手段近似，因此能夠使結(jié)果更加精確。另外應(yīng)指出，轉(zhuǎn)角角度α越大，這兩個(gè)近似條件越接近實(shí)際。特別的，在α達(dá)到180°時(shí)，L型薄片導(dǎo)體退化為矩形，兩個(gè)近似條件變?yōu)閲?yán)格成立，此時(shí)估算值與理論值相等。

使用Matlab的PDEtool工具為仿真手段，對(duì)上述的L型薄片導(dǎo)體電阻數(shù)值求解，并以該結(jié)果作為精確值。

L型薄片導(dǎo)體的具體參數(shù)為

γ=8×106S·m-2，L=0.5m，h=0.01m。

轉(zhuǎn)角分別取為α=30°，60°，90°，120°，150°，180°。其中部分仿真的圖像，如α=120°時(shí)的結(jié)果，如圖7所示。

圖7　轉(zhuǎn)角為120°的L型薄導(dǎo)體仿真圖像

將PDEtool計(jì)算出的精確電阻值，與估算電阻

值比較，比較的結(jié)果如表1所示。

表1　非直角轉(zhuǎn)角L型薄片導(dǎo)體的分割

可見(jiàn)，該方法對(duì)于轉(zhuǎn)角為各種角度的L型薄片電阻，估算的誤差都能保持在較小范圍，而且轉(zhuǎn)角越大，估算越為準(zhǔn)確，在角度超過(guò)90°時(shí)，這種估算方法的結(jié)果已經(jīng)十分接近數(shù)值計(jì)算結(jié)果。

4結(jié)語(yǔ)

本文首先通過(guò)理論分析推導(dǎo)出對(duì)于四邊形薄片導(dǎo)體，分別在其兩組對(duì)邊間通電時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)電阻值的乘積總為其方塊電阻的平方。在此基礎(chǔ)上得到了關(guān)于對(duì)角線軸對(duì)稱(chēng)的四邊形薄片導(dǎo)體，其對(duì)邊之間電阻等于方塊電阻的推論?；谏鲜鐾普?，提出了對(duì)不規(guī)則形狀薄片電阻的一種新的估算方法。并以L型薄片導(dǎo)體為例對(duì)該方法進(jìn)行了理論說(shuō)明和誤差分析。

本文提出的估算方法具有分割簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)潔，普適性強(qiáng)，精度較高的特點(diǎn)。此方法不僅可以估算轉(zhuǎn)角為各種角度的L型薄片電阻，也可推廣估算其他一些多邊形薄片電阻。對(duì)于要求高精度的場(chǎng)合，該方法無(wú)法取代專(zhuān)業(yè)數(shù)值工具求解，但在一些追求計(jì)算簡(jiǎn)便性的場(chǎng)合，該方法能在簡(jiǎn)便的基礎(chǔ)上獲得較高精度的解答。

參考文獻(xiàn)：

[1]韓金池,鄒軍.L型薄導(dǎo)體電阻的估算方法[J]. 南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 34(5):99-103

[2]馬信山,張濟(jì)世,王平編著. 電磁場(chǎng)基礎(chǔ)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 1995年5月

Estimation Method of Resistance Based on Model of Axisymmetric Quadrilateral Thin Conductor

XUE Peng, ZAN Xin, ZOU Jun

(ElectricalEngineeringDept.,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China)

Abstract:In this paper, a method of using axisymmetric thin conductor model as an equivalent to estimate corner resistance of an irregular shaped conductor is discussed. Starting from theoretical analysis, this paper demonstrates thatresistances between the opposite sides of all kinds of quadrilateral thin conductors are equal to their square resistances. Based on this conclusion, an estimation of resistance of a thin conductor which utilizes the approximate division is proposed. For instance, the method can be used to estimate resistance of an L-shaped thin conductor, and the effectiveness and accuracy of the method is analyzed and discussed when estimating.

Keywords:resistance estimation; thin resistance; square resistance

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-0686(2016)01-0039-04

中圖分類(lèi)號(hào)：TM152

作者簡(jiǎn)介:薛芃(1993-),男,在讀本科生,研究方向?yàn)殡娏﹄娮优c電力傳動(dòng),E-mail:xuep1993@sina.cn鄒軍(1971-),男,博士,教授,主要從事計(jì)算電磁學(xué),電磁兼容領(lǐng)域教學(xué)和研究工作,E-mail:zoujun@tsinghua.edu.cn

收稿日期:2015-04-21;修回日期:2015-11- 04