“微波技術(shù)基礎(chǔ)”課程中的增量電感法

吳林晟， 唐　旻， 毛軍發(fā)

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

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“微波技術(shù)基礎(chǔ)”課程中的增量電感法

吳林晟， 唐旻， 毛軍發(fā)

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

摘要：衰減常數(shù)是微波傳輸線的重要特性參數(shù)。精確計(jì)算傳輸線的導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)需要分析特定模式的電磁場并在導(dǎo)體表面積分。增量電感法將TEM或準(zhǔn)TEM模導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)的計(jì)算等效為特性阻抗對幾何尺寸的偏導(dǎo)問題，簡化分析過程。本文以同軸、帶狀線、微帶線為例，闡述了增量電感法的原理、應(yīng)用方法、適用范圍，并加以討論。

關(guān)鍵詞：增量電感法；傳輸線；導(dǎo)體損耗

0引言

傳輸線傳播常數(shù)的實(shí)部稱為衰減常數(shù)α，表示本征模式沿導(dǎo)波結(jié)構(gòu)傳播過程中其模式電壓和電流幅度在單位長度內(nèi)的衰減，是傳輸線的重要特性參數(shù)之一。傳播模式下傳輸線的衰減主要由導(dǎo)體損耗、介質(zhì)損耗和輻射損耗等因素引起。其中，輻射損耗一般控制在較小的范圍內(nèi)，在分析中可忽略[1]。介質(zhì)損耗衰減常數(shù)αd由介質(zhì)基板相對介電

常數(shù)、損耗角正切、模式的相位常數(shù)及其對應(yīng)的自由空間波數(shù)所決定，計(jì)算公式相對簡單[2]。而導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)αc則涉及到傳輸線導(dǎo)體表面損耗密度的積分，與傳輸線橫截面結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，計(jì)算也相對復(fù)雜。

為此，研究者們提出多種計(jì)算傳輸線導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)的方法，如分布參數(shù)法、微擾法和增量電感法等[3]。其中，增量電感法僅需知道傳輸線特性阻抗與其橫截面幾何尺寸間關(guān)系及導(dǎo)體表面電

阻即可估計(jì)傳輸線橫電磁(TEM)?；驕?zhǔn)TEM模導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)，使用便捷，得到廣泛應(yīng)用[4]。

本文將具體論述增量電感法的原理和應(yīng)用范圍，導(dǎo)出幾種典型導(dǎo)波結(jié)構(gòu)中TEM或準(zhǔn)TEM模的導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)并加以討論，供教學(xué)時(shí)參考。

1增量電感法

增量電感法最初由文獻(xiàn)[5]提出，該法利用了導(dǎo)體損耗與導(dǎo)體內(nèi)部磁場儲能公式的高度相似性，并且和微擾法一樣也基于微小擾動的前提，即傳輸線上的損耗足夠小以至于有耗傳輸線的電磁場分布與無耗情況下基本一致。

1.1增量電感和分布電阻

傳輸線TEM模的分布電感定義與單位長度內(nèi)的磁場儲能有關(guān)，即[3]

(1)

其中Ht為橫向磁場，I0為模式電流，μ為磁導(dǎo)率，S表示橫截面。對良導(dǎo)體構(gòu)成的導(dǎo)波結(jié)構(gòu)，部分電磁場會進(jìn)入導(dǎo)體內(nèi)部。由此，L可分為原電感L0(導(dǎo)體之間磁場貢獻(xiàn)的電感)和增量電感ΔL(導(dǎo)體內(nèi)磁場貢獻(xiàn)的電感)。增量電感ΔL為

(2)

其中Hs為導(dǎo)體表面切向磁場，t和δs為導(dǎo)體厚度和趨膚深度，C表示導(dǎo)體表面，n是導(dǎo)體表面內(nèi)法線方向變量。式(2)后一個(gè)積分項(xiàng)源于良導(dǎo)體中平面波按指數(shù)衰減，良導(dǎo)體內(nèi)電磁波衰減常數(shù)為1/δs的事實(shí)，當(dāng)t>>δs時(shí)該積分趨于δs/2。式(2)可化為

(3)

其中Rs=1/σδs為導(dǎo)體表面電阻，ω為角頻率。通常δs遠(yuǎn)小于導(dǎo)波結(jié)構(gòu)特征尺寸，式(3)視為所有導(dǎo)體表面縮進(jìn)δs/2時(shí)分布電感變化量，由一階近似得

(4)

與導(dǎo)體損耗相關(guān)的傳輸線分布電阻為[3]

(5)

其中Js為導(dǎo)體表面電流密度。由此可得如下關(guān)系：

R=ωΔL

(6)

式(6)表明單位長度增量電感的電抗值剛好等于分布電阻值，這是由于進(jìn)入導(dǎo)體內(nèi)部的磁場在提供額外磁場儲能的同時(shí)也引入了導(dǎo)體損耗。而且，良導(dǎo)體中平面波的相位常數(shù)與衰減常數(shù)相等，當(dāng)導(dǎo)體足夠厚時(shí)良導(dǎo)體的表面阻抗Zs的實(shí)部即表面電阻Rs和虛部即表面電抗Xs相等，該表面電抗是良導(dǎo)體內(nèi)額外磁場儲能和增量電感的一種體現(xiàn)。

1.2導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)

可定義導(dǎo)波結(jié)構(gòu)中TEM或準(zhǔn)TEM模的特性阻抗Z0。導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)可由分布參數(shù)法得到

αc=R/2Z0

(7)

將式(4)和(6)代入式(7)得

(8)

注意，導(dǎo)體損耗主要與磁場儲能的變化量相關(guān)聯(lián)。

增量電感的影響可進(jìn)一步體現(xiàn)為特性阻抗的增量?？諝馓畛鋵?dǎo)波結(jié)構(gòu)的特性阻抗為

(9)

其中v0為空氣中光速，顯然與導(dǎo)體損耗引起的磁場變化無關(guān)。代入式(8)并化簡得到

(10)

其中η0是空氣的本征阻抗。對于均勻填充相對介電常數(shù)為εr介質(zhì)的導(dǎo)波結(jié)構(gòu)，有

(11)

式(10)變換為[3]

(12)

其中η是媒質(zhì)的本征阻抗。

2應(yīng)用實(shí)例與討論

通過上述推導(dǎo)可知，利用增量電感法可將導(dǎo)波結(jié)構(gòu)中TEM模或準(zhǔn)TEM模的導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)問題轉(zhuǎn)化為特性阻抗關(guān)于結(jié)構(gòu)幾何尺寸的偏導(dǎo)問題。已知特性阻抗與幾何尺寸的解析關(guān)系時(shí)，可避免對特定模式的電磁場進(jìn)行積分，計(jì)算過程大為簡化。文獻(xiàn)[5]嚴(yán)格推導(dǎo)了增量電感法的結(jié)論，并提出特性阻抗微擾法，推廣到TM模的分析。

下面以3種常見導(dǎo)波結(jié)構(gòu)為例，對導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)增量電感法的應(yīng)用進(jìn)行具體說明。

2.1同軸線中的TEM模

圖1所示為同軸線的橫截面，其中a為內(nèi)導(dǎo)體的半徑，b為外導(dǎo)體內(nèi)徑，εr為填充介質(zhì)的相對介電常數(shù)，對于空氣填充同軸線有εr=1。嚴(yán)格求解TEM模標(biāo)量電位Φ滿足的橫向Laplace方程，容易得到其電磁場分布，根據(jù)唯一定義的模式電壓V和模式電流I得到TEM模的特性阻抗為

(13)

圖1　同軸線的橫截面

由式(13)可以發(fā)現(xiàn)，特性阻抗與a、b兩個(gè)幾何尺寸有關(guān)。又如圖1所示，當(dāng)金屬表面縮進(jìn)小量Δ=δs/2時(shí)，a減小Δ，b增加Δ。由此，式(12)對同軸線TEM模導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)表現(xiàn)為

(14)

將式(13)代入可得下式：

(15)

這與分布參數(shù)法、微擾法得到的結(jié)果完全一致[3]。由于式(13)中特性阻抗是嚴(yán)格推導(dǎo)的結(jié)果，基于其偏導(dǎo)的增量電感法得到的也是嚴(yán)格的結(jié)果。

2.2帶狀線中的TEM模

圖2所示為均勻填充對稱帶狀線的橫截面，其中W和t分別為導(dǎo)帶寬度和厚度，b為上下金屬板間距，εr為基板相對介電常數(shù)。該導(dǎo)波結(jié)構(gòu)可以傳輸TEM模，可利用保角變換嚴(yán)格求解導(dǎo)帶厚度為0時(shí)的電磁場分布，但對于有限金屬厚度的場景要嚴(yán)格求解則較為困難。

圖2　帶狀線的橫截面

文獻(xiàn)[5]給出一組經(jīng)驗(yàn)公式近似表征帶狀線TEM模的特性阻抗。對窄薄導(dǎo)帶情況即W/(b-t)<0.35，t/b<0.25且t/W<0.11時(shí)，有

(16)

(17)

如圖2所示，當(dāng)金屬表面縮進(jìn)Δ時(shí)，W和t均減小2Δ，b增加2Δ。由此，式(12)對帶狀線TEM模導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)表現(xiàn)為

(18)

針對窄薄導(dǎo)帶和寬導(dǎo)帶兩種情況，分別將式(16)和(17)代入式(18)，可以得到其導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)的近似公式。本文省去推導(dǎo)過程，僅給出最終結(jié)果[6]。當(dāng)W/(b-t)<0.35，t/b<0.25且t/W<0.11時(shí)，

(19)

當(dāng)W/(b-t)>0.35時(shí)，

(20)

式(19)和(20)是用不同參數(shù)范圍的特性阻抗近似計(jì)算得到的。雖然特性阻抗的擬合誤差較小，但基于偏導(dǎo)的導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)誤差會被放大。如圖3上部一根曲線所示，兩式在W/(b-t)=0.35處的結(jié)果不連續(xù)(虛線)，可在其中間插值(實(shí)線)近似。

圖3　帶狀線和微帶線導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)計(jì)算結(jié)果

2.3微帶線的準(zhǔn)TEM模

圖4所示為微帶線的橫截面，其中W和t分別為導(dǎo)帶寬度和厚度，h和εr為基板厚度和相對介電常數(shù)，方塊標(biāo)記1～5分別表示導(dǎo)帶頂面、底面、左側(cè)、右側(cè)和地面。微帶線主模是準(zhǔn)TEM模，工作頻率較低時(shí)可仿照TEM模用準(zhǔn)靜態(tài)分析并定義其特性阻抗(常用功率/電流定義)，有近似公式[1]：

Z0=

(21)

其中εre為有效相對介質(zhì)常數(shù)[1]。應(yīng)用式(10)可得

(22)

式(22)中標(biāo)記1～5表示不同導(dǎo)體表面以及地面上的部分損耗，每項(xiàng)均對應(yīng)該導(dǎo)體表面內(nèi)縮時(shí)引起的特性阻抗變9化，導(dǎo)帶底面損耗同時(shí)與對h和t的偏導(dǎo)有關(guān)。

圖4　微帶線的橫截面

將式(21)代入式(22)得微帶線導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)近似公式[1]：

(23)

式(23)也是根據(jù)幾何參數(shù)范圍分段計(jì)算的，如圖3所示結(jié)果也存在不連續(xù)，需對其進(jìn)行插值處理。同時(shí)應(yīng)注意，微帶線的準(zhǔn)TEM模在高頻時(shí)存在色散，準(zhǔn)靜態(tài)分析將失效。由此，式(23)只能用于較低頻段，可忽略色散效應(yīng)的頻率范圍參見文獻(xiàn)[2]。

此外，工程上經(jīng)常對微帶線表面進(jìn)行處理，如鎳金、鍍銀等，為增加導(dǎo)體與基板界面的結(jié)合力也會有意引入粗糙度，這都會不同程度地改變導(dǎo)體的等效表面電阻。此時(shí)，式(22)寫為

(24)

其中Rsi(i=1～5)為導(dǎo)體表面i的等效電阻。

3結(jié)語

本文分析了用于計(jì)算傳輸線TEM或準(zhǔn)TEM模導(dǎo)體損耗衰減常數(shù)的增量電感法，將特定模式導(dǎo)體損耗的電磁場分析轉(zhuǎn)化為特性阻抗對幾何尺寸的偏導(dǎo)問題，簡化計(jì)算過程。通過同軸線、帶狀線、微帶線等應(yīng)用實(shí)例，表明該方法不僅適用于TEM金屬波導(dǎo)，也可用于平面?zhèn)鬏斁€的分析。

參考文獻(xiàn):

[1]I. J. Bahl, R. Garg, M. Bozzi. Microstrip Lines and Slotlines, 3rd ed.[M]. Boston, USA: Artech House, 2013.4

[2]周希朗. 微波技術(shù)與天線[M]. 南京: 東南大學(xué)出版社, 2009年8月

[3]D. M. Pozar. Microwave Engineering, 4th ed.[M]. New York, USA: John Wiley & Sons, 2011.11

[4]梁昌洪, 謝擁軍, 官伯然. 簡明微波[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006年7月

[5]H. A. Wheeler. Formulas for the skin effect [J]. USA: Proceedings of the IRE, 1942, 30(9):412-424

[6]S. B. Cohn, Problems in strip transmission line [J]. USA: IRE Trans. Microw. Theory Tech., 1955, 3(2): 119-126

Incremental Inductance Method in Fundamentals of Microwave Technology Course

WU Lin-sheng, TANG Min, MAO Jun-fa

(SchoolofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShanghaiJiaoTongUniversity,Shanghai200240,China)

Abstract:The attenuation constant is an important characteristic parameter of a microwave transmission line. In order to accurately calculate the attenuation constant due to conductor loss, the analysis of electromagnetic fields modal and the integration on conductor surfaces are required. The incremental inductance method can significantly simplify the analysis by transforming the field calculation to the partial differential of characteristic impedance to the geometric parameters. With the examples of coaxial line, stripline and microstrip line, this paper explains the principle of incremental inductance method and discusses its applications and corresponding applicable scopes.

Keywords:incremental inductance method; transmission line; conductor loss

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1008-0686(2016)01-0049-04

中圖分類號：G423.07;TN015

作者簡介：吳林晟(1981-)，男，博士，副教授，主要從事電磁場與微波技術(shù)教學(xué)、射頻與微波電路科研工作，E-mail：wallish@sjtu.edu.cn唐旻(1980-)，男，博士，副教授，主要從事電磁場與微波技術(shù)教學(xué)、高速電路科研工作，E-mail：tm222@sjtu.edu.cn毛軍發(fā)(1965-)，男，博士，教授，主要從事電磁場與微波技術(shù)、射頻系統(tǒng)級封裝研究工作，E-mail：jfmao@sjtu.edu.cn

收稿日期:2015-04-28;修回日期:2015-09-18