外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的TEM波的解析計(jì)算與結(jié)構(gòu)仿真*

賈蘭芳，王福謙

(長治學(xué)院電子信息與物理系，山西長治046011)

外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的TEM波的解析計(jì)算與結(jié)構(gòu)仿真*

賈蘭芳*，王福謙

(長治學(xué)院電子信息與物理系，山西長治046011)

通過保角變換法，研究外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線內(nèi)TEM波的場結(jié)構(gòu)，得到該傳輸線內(nèi)TEM波的解析解，利用軟件MATLAB和HFSS對其進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化和結(jié)構(gòu)仿真，繪制出該傳輸線橫截面及內(nèi)部TEM波的場結(jié)構(gòu)圖，并給出特性阻抗的計(jì)算公式。研究結(jié)論對于計(jì)算該傳輸線的衰減常數(shù)、了解其功率容量、考慮功率耦合及設(shè)計(jì)有關(guān)的有源器件具有一定的參考價(jià)值。

電子技術(shù);外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線;TEM波;保角變換;結(jié)構(gòu)仿真;電磁場結(jié)構(gòu);特性阻抗

外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線為工業(yè)上有用的結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)［1］用保角變換法計(jì)算了該傳輸線的特性阻抗，但此傳輸線內(nèi)TEM波的場結(jié)構(gòu)的研究，相關(guān)文獻(xiàn)還未見涉及，其主要原因是求解傳輸線TEM場分布比求其特性阻抗要困難得多。然而，場分布在工程應(yīng)用上所具有的重要性，又使得場分布的研究成為傳輸線研究的一項(xiàng)重要工作。為此，本文將通過保角變換法并利用軟件MATLAB和HFSS，研究外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的TEM波的場結(jié)構(gòu)，并給出其特性阻抗的計(jì)算公式。

1 外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線橫截面的變換

圖1為外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的橫截面，外圓半徑為R0，相切的兩圓半徑均為Rc。

圖1 外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的橫截面

為了求得該傳輸線內(nèi)TEM波的場分布，先考慮反演變換

的直線，即該傳輸線映射為平行板-圓柱未屏蔽傳輸線，其橫截面如圖2所示。

圖2 經(jīng)變換z1=后的外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的橫截面

對如圖2所示的為兩平行板之間距離為2h、內(nèi)導(dǎo)體圓柱的半徑為R0的變換后的未屏蔽傳輸線，為利用圓同軸傳輸線的場分布結(jié)論來研究外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線內(nèi)TEM波的場結(jié)構(gòu)，再考慮變換函數(shù)

變換函數(shù)，式(3)，可將間距為2h的平行板變換為單位圓，而將兩板之間的半徑為R0的圓變換為半徑為近似圓，如圖3所示。這樣，經(jīng)變換函數(shù)，式(1)和式(3)，z平面上的外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的橫截面就映射為w平面上的兩同心圓，其中

2 外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線內(nèi)TEM波的解

經(jīng)過上述保角變換，傳輸線的橫截面在w平面上的形狀近似為兩同心圓，其內(nèi)部電磁場在該截面上的分布呈軸對稱性，故可在w平面上以同軸傳輸線內(nèi)部的電磁場分布為基礎(chǔ)，討論外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線TEM波電磁場分布規(guī)律，再根據(jù)保角變換函數(shù)，就可以得到該傳輸線內(nèi)的TEM波的分布規(guī)律。

外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線中的TEM波的求解，可由靜態(tài)場在相同邊界條件下的解，得到其電場在此傳輸線橫截面上的分布，乘以波動(dòng)因子e-jβz得到電場的解，再由麥克斯韋方程組所給出的電、磁場關(guān)系得到其磁場的解［2］。

設(shè)外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線內(nèi)的雙根相切圓柱體與外圓筒之間的電壓為V0e-jβz，由于保角變換并不能改變內(nèi)、外兩導(dǎo)體之間的電壓，故對靜態(tài)場而言，變換后的同軸傳輸線內(nèi)、外兩導(dǎo)體間的電壓仍為V0。

對同軸傳輸線，其中的電場分布是徑向的［3］，大小與半徑成反比。即

式中er為同軸傳輸線橫截面上的徑向單位矢，A為與電場幅值有關(guān)的常數(shù)。

而

則

圖3 再經(jīng)分式線性變換后的外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的橫截面

在變換后的w平面上，外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線映射為圓同軸線，其內(nèi)部的電勢分布應(yīng)為

其中|w|表示w平面上的場點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

將式(1)代入上式，即得z平面上的外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線內(nèi)靜態(tài)場的電勢分布為

由場強(qiáng)與電勢梯度的關(guān)系，可得外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線內(nèi)靜態(tài)場的場強(qiáng)Es的分布為

因此，外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線中的TEM波的電場分布為

式中β為沿傳播方向ez上的相位常數(shù)，對于TEM模，波數(shù)為工作頻率)。

TEM波的電場與磁場是由麥克斯韋方程組相互聯(lián)系的，滿足如下規(guī)律［3］

μ及ε為波導(dǎo)內(nèi)填充介質(zhì)的電磁參量，ez為TEM波傳播方向的單位矢。

又由式(6)、式(8)得

式(6)、式(9)為外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線中TEM波的電場與磁場分布的近似表達(dá)式。在得到該傳輸線電磁場的解析解(E，H)之后，由公式［4］P=×式中的積分在傳輸線的橫截面上進(jìn)行)可計(jì)算傳輸線上的傳輸功率，當(dāng)其中的電場強(qiáng)度最大值取不發(fā)生電擊穿的最大值時(shí)，所得到的傳輸功率值即為該傳輸線的功率容量;知道傳輸線中的電磁場的解析解之后，可以根據(jù)電磁場的分布情況，在此傳輸線上的恰當(dāng)位置、選擇恰當(dāng)?shù)鸟詈辖Y(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)該傳輸線與其他電磁結(jié)構(gòu)之間的能量耦合;或在該傳輸線中的恰當(dāng)位置接入有源器件，設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)所需的功能。

圖4～圖7為通過數(shù)學(xué)軟件MATLAB繪制出的外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線橫截面上的TEM波的場結(jié)構(gòu)圖。由該圖可以看出，在此傳輸線橫截面上，電磁場呈對稱分布，且在關(guān)于兩相切圓的連心線上下對稱兩側(cè)的靠近外圓附近空間，場密度較小，而在鄰近內(nèi)雙根相切圓柱表面處，場密度較大。圖中的所有電場線均與磁感線相互垂直，為預(yù)期結(jié)果。但隨著的增大，場分布的邊界符合的情況變差，這說明場分布的表達(dá)式(6)和式(9)為外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線內(nèi)TEM波的近似解析解。

圖4 外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線橫截面上TEM波的場結(jié)構(gòu)圖

圖5 外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線橫截面上TEM波的場結(jié)構(gòu)圖

圖6 外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線橫截面上TEM波的場結(jié)構(gòu)圖

圖7 外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線橫截面上TEM波的場結(jié)構(gòu)圖

圖8為由軟件HFSS仿真得到的外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線橫截面上某一時(shí)刻TEM波的場結(jié)構(gòu)圖，圖中的電場線與雙根相切圓柱表面及外圓筒內(nèi)表面均垂直，在傳輸線靠近內(nèi)芯處，磁感線環(huán)繞雙根相切圓柱且輪廓上逼近圓柱，而在靠近外圓筒處，磁感線的形狀接近于圓。將其與圖4～圖7比較可以看出，MATLAB的數(shù)值模擬結(jié)果，與HFSS的結(jié)構(gòu)仿真結(jié)果一致，這說明本文中研究外圓內(nèi)雙根相切傳輸線內(nèi)TEM波場結(jié)構(gòu)的方法正確，結(jié)論可靠。

圖8 外圓內(nèi)雙根相切傳輸線橫截面上TEM波的場結(jié)構(gòu)圖

圖9和圖10為通過HFSS仿真出的外圓內(nèi)雙根相切傳輸線內(nèi)TEM波的三維電磁場結(jié)構(gòu)圖，可以看出，在傳輸線內(nèi)部，愈靠近內(nèi)導(dǎo)體表面，電磁場的強(qiáng)度越大，場結(jié)構(gòu)仿真圖形象直觀，便于對場結(jié)構(gòu)的整體理解和把握。

圖9 外圓內(nèi)雙根相切傳輸線橫截面上TEM波的場結(jié)構(gòu)圖

圖10 外圓內(nèi)雙根相切傳輸線橫截面上TEM波的場結(jié)構(gòu)圖

由圖4～圖10及式(6)、式(9)可見，在傳輸線內(nèi)部，愈靠近內(nèi)導(dǎo)體表面，電磁場愈強(qiáng)。因此，內(nèi)導(dǎo)體的表面電流密度較外導(dǎo)體內(nèi)表面的表面電流密度大。所以外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的熱損耗主要發(fā)生在截面尺寸較小的內(nèi)相切圓柱導(dǎo)體上。

3 傳輸特性

傳輸線的特性阻抗z0與單位長度電容C0的關(guān)系為［5］

式中ε和μ為傳輸線內(nèi)填充介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率.

上述保角變換實(shí)現(xiàn)了外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的橫截面到同心圓環(huán)形區(qū)域的映射，由于映射前后傳輸線單位長度的電容量保持不變，這樣就可由內(nèi)、外半徑分別為和R=1同軸傳輸2線的電容值，方便地求出此傳輸線的特性阻抗。而同軸傳輸線單位長度的電容為

則外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的特性阻抗為

當(dāng)傳輸線內(nèi)為空氣時(shí)，有

文獻(xiàn)［1］中給出的外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的特性阻抗的計(jì)算公式為

其中

當(dāng)Rc/R0取一定數(shù)值時(shí)，由式(14)計(jì)算出的外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的特性阻抗值與由式(13)計(jì)算結(jié)果比較接近，尤其在Rc/R0＜0.25的范圍內(nèi)(此情形下內(nèi)雙根相切圓柱的寬度占據(jù)傳輸內(nèi)寬度的二分之一)，兩者的相對誤差在僅為0.5%范圍之內(nèi);只是在Rc/R0較大時(shí)，兩式的計(jì)算結(jié)果偏離較大。上述計(jì)算結(jié)果比較表明，將式(13)作為計(jì)算外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的特性阻抗值的計(jì)算公式，在實(shí)用范圍內(nèi)其精確度是很高的。

表1 由式(13)和式(14)計(jì)算出Z0值比較

4 結(jié)束語

本文對外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線TEM波的研究，給出了該傳輸線內(nèi)的電磁場分布規(guī)律，具有物理意義明確、計(jì)算方法簡便的特點(diǎn)。由于傳輸線內(nèi)TEM波的場分布，對于了解傳輸線的功率容量，計(jì)算衰減常數(shù)，考慮功率耦合及設(shè)計(jì)有關(guān)的有源器件等都是不可缺少的，故本文所得結(jié)論對于外圓內(nèi)雙根相切圓柱傳輸線的使用及新產(chǎn)品的設(shè)計(jì)具有一定的實(shí)際意義和理論價(jià)值，其結(jié)論也可作為相關(guān)問題研究的參考。

［1］ 任偉，林為干.特種截面?zhèn)鬏斁€的分析.電子科學(xué)學(xué)刊［J］. 1990.12(1):38-46.

［2］ 沈熙寧.電磁場與電磁波［M］北京:科學(xué)出版社，2006年2月: 375-381.

［3］ 路宏敏等.電磁場與電磁波基礎(chǔ)［M］北京:科學(xué)出版社，2006年7月:323-325.

［4］ 沈熙寧.電磁場與電磁波［M］北京:科學(xué)出版社，2006年2月: 385-386.

［5］ 朱滿座.數(shù)值保角變換及其在電磁理論中的應(yīng)用.［J/OL］. (2008-12-01):http//www.cnki.net/kcms/detail/detail/aspx.100-117.

賈蘭芳(1977- )，山西屯留人，長治學(xué)院電子信息與物理系講師，主要從事電磁場理論與通信技術(shù)方面的研究，jialanfang2005@126.com;

王福謙(1957- )，男，漢族，山西省臨猗縣人，長治學(xué)院電子信息與物理系教授，主要從事電磁場理論、數(shù)值計(jì)算及其 應(yīng) 用 研 究，13935511796@ 163.com。

Analytic Calculation and Structure Simulation of TEM Wave in a Transmission Line with Circular-Outer-Conductor and Tangent Cylindrical-Inner-Conductor*

JIA Lanfang*，WANG Fuqian

(Department of Electronic Information and Physics，Changzhi University，Changzhi Shanxi 046011，China)

The structure of the TEM wave in a transmission line with circular-outer-conductor and tangent cylindricalinner-conductor is calculated by using conformal mapping，the map of structure of TEM wave on its cross section and internal is plotted through MATLAB date visualization and HFSS structure simulation，further more its characteristic impedance is calculated.This research result to calculate the decay constant of the transmission line，realize its power capability，consider its power coupling and design the related active device has certain reference value.

electronic technology;a transmission line with circular-outer-conductor and tangent cylindrical-innerconductor r;TEM wave;conformal mapping;structure Simulation;structure of electromagnetic field;characteristic impedance

10.3969/j.issn.1005－9490.2014.02.013

TN813

A

1005－9490(2014)02－0229－06

項(xiàng)目來源:山西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2012011028-1);山西省高等學(xué)校科技研究開發(fā)自選項(xiàng)目(20121116)

2013-09-15修改日期:2013-10-30

EEACC:1320