對(duì)多邊形對(duì)角線條數(shù)的探究

吳桂紅

初中數(shù)學(xué)的幾何知識(shí)學(xué)習(xí)中，探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式的過程是個(gè)難點(diǎn)，但它也是初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。

北師大版七年級(jí)上冊(cè)第四章第五節(jié)多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)的教學(xué)中，不僅要求學(xué)生掌握多邊形的對(duì)角線概念，還要會(huì)求多邊形的對(duì)角線的條數(shù)。筆者在教授這節(jié)課時(shí)運(yùn)用了兩種方法來探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式，學(xué)生接受的也不錯(cuò)。

在探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式之前，應(yīng)該先把對(duì)角線的概念講清楚，否則學(xué)生后面探索對(duì)角線條數(shù)時(shí)會(huì)很難理解。筆者探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式用的主要思想是探索規(guī)律，因?yàn)樵趯W(xué)這章之前的第三章最后一節(jié)課剛好是學(xué)習(xí)探索規(guī)律，這樣的方法他們比較容易接受，也更有利于鞏固復(fù)習(xí)舊知識(shí)。

第一種方法：先探索過多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線條數(shù)，再分析出n邊形的對(duì)角線條數(shù)公式。

讓學(xué)生們合作探究

過多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)

有幾條對(duì)角線。

讓學(xué)生分別作出上面圖形經(jīng)過頂點(diǎn)A的所有對(duì)角線，然后數(shù)數(shù)對(duì)角線條數(shù)并填入下表。

學(xué)生由畫圖很容易就能得出邊數(shù)是4、5、6的多邊形的對(duì)角線條數(shù)分別是1、2、3，于是根據(jù)表格數(shù)據(jù)探索規(guī)律就能觀察出n邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)有（n-3）條對(duì)角線。其實(shí)這里還可以問下學(xué)生為什么過n邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)有（n-3）條？根據(jù)對(duì)角線的概念，知道多邊形的對(duì)角線是不相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間的連線。而n邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)除了該頂點(diǎn)本身和兩個(gè)相鄰的點(diǎn)外共有（n-3）個(gè)點(diǎn)不相鄰，所以過該頂點(diǎn)有（n-3）條對(duì)角線。

由于n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)乘法法則得共有n（n-3）條對(duì)角線，可是我們發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)不相鄰的點(diǎn)連接時(shí)會(huì)重復(fù)一次，于是最后得出n邊形的對(duì)角線條數(shù)公式是n-（n-3）/2。

第二種方法：先探索邊數(shù)少的多邊形的對(duì)角線條數(shù)，再探索規(guī)律得出n邊形的對(duì)角線條數(shù)公式。

學(xué)生們很容易由上面的4、5、6邊形的對(duì)角線條數(shù)分別是2、5、9，那么根據(jù)數(shù)字的特征可以觀察出5=2+3，9=2+3+4，于是可以猜想7邊形的對(duì)角線條數(shù)是2+3+4+5=14。所以n邊形的對(duì)角線條數(shù)公式是2+3+4+5+......+（n-2），這里首項(xiàng)是2，尾項(xiàng)是n-2，項(xiàng)數(shù)是n-3，這里的項(xiàng)數(shù)對(duì)于學(xué)生不太容易看出來，老師可以提醒學(xué)生先考慮從1+2+3+……+（n-2）的項(xiàng)數(shù)是n-2，再得出2+3+4+……+（n-2）應(yīng)該前面的少一項(xiàng)是（n-3）項(xiàng)。根據(jù)連續(xù)自然數(shù)相加的公式1/2（首項(xiàng)+尾項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)，從而得出對(duì)角線條數(shù)是2+3+4+5+……+（n-2）=（2+n-2）（n-3）/2=n（n-3）/2。

下面我們利用以上兩種思路分析一道2008年浙江省中考數(shù)學(xué)題：

[2008年浙江杭州第19題]

19.（本小題滿分6分）在凸多邊形中，四邊形有2條對(duì)角線，五邊形有5條對(duì)角線，經(jīng)過觀察、歸納，你認(rèn)為凸八邊形的對(duì)角線條數(shù)應(yīng)該是多少條？簡(jiǎn)單扼要地寫出你的思考過程。

這道題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中明確規(guī)定：（如果直接利用公式： 得到20而沒有思考過程， 全題只給3分），所以學(xué)生一定要明白公式怎么來的。

解：凸八邊形的對(duì)角線條數(shù)應(yīng)該是20。

思考一： 從凸八邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以作出（8-3）條對(duì)角線， 8個(gè)頂點(diǎn)共8×（8-3）條， 但其一條對(duì)角線對(duì)應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)一次， 所以有條對(duì)角線，即凸八邊形的對(duì)角線條數(shù)是20。

思考二： 可以通過列表歸納分析得到： 多邊形 4、 5、 6 、7、 8 的對(duì)角線條數(shù)分別是 2、 2+3、 2+3+4 、2+3+4+5 、2+3+4+5+6 ，所以凸八邊形的對(duì)角線條數(shù)是20。

通過思考上面的中考題，我們知道學(xué)生不僅要會(huì)用公式，還要掌握公式的推導(dǎo)過程，于是如何推導(dǎo)的過程更是學(xué)生要學(xué)會(huì)掌握的能力，而運(yùn)用探索規(guī)律的方法研究一個(gè)新問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，這個(gè)也為學(xué)生今后高中的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。（作者單位：江西省鷹潭實(shí)驗(yàn)中學(xué)）