新課程背景下數(shù)學(xué)對(duì)比教學(xué)的探討

吳慧琴

【摘要】為實(shí)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的在數(shù)學(xué)教學(xué)中揭示數(shù)學(xué)概念、定理和公式的背景及相關(guān)知識(shí)與多方的聯(lián)系的目標(biāo)要求，可以在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施對(duì)比教學(xué)來予以實(shí)現(xiàn)。本文結(jié)合一定的實(shí)際案例和自身多年的教學(xué)實(shí)踐探索，提出了對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)比教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)和教學(xué)實(shí)施策略的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐思考。

【關(guān)鍵詞】新課程標(biāo)準(zhǔn) 初中數(shù)學(xué) 對(duì)比教學(xué) 教學(xué)策略

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）04-0079-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“數(shù)學(xué)的概念、定理和公式都是有背景的，有來龍去脈的，與其他的數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有聯(lián)系的，與其他的學(xué)科知識(shí)之間是有關(guān)聯(lián)的，與學(xué)生的日常生活，社會(huì)生活是有聯(lián)系的。”[1]初中學(xué)生理性思維欠缺，要實(shí)現(xiàn)如上的教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相似概念的理解和知識(shí)的深層次掌握，為其解題提供優(yōu)化策略，就必須實(shí)施以一定的教學(xué)方式與方法。筆者經(jīng)過一定時(shí)期的實(shí)際教學(xué)探索，認(rèn)為行之有效的一個(gè)方法是在教學(xué)中實(shí)施對(duì)比教學(xué)。

所謂對(duì)比教學(xué)，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將兩個(gè)或兩個(gè)以上的有聯(lián)系的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，從某些視角出發(fā)，對(duì)它們進(jìn)行觀察、比較和交流，找出它們的區(qū)別和聯(lián)系，能夠加深對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的正確應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。對(duì)比教學(xué)法的運(yùn)用，有助于培養(yǎng)學(xué)生整合知識(shí)和透過事物表象找出本質(zhì)異同的深層分析探究的能力，它給學(xué)生創(chuàng)造了深入思考、積極聯(lián)想和生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)氛圍，讓他們輕松、愉快地掌握知識(shí)和技能特別是方法。如果教師能正確運(yùn)用這種教學(xué)方法，那么將會(huì)獲得事半功倍的課堂教學(xué)效果。[2]

本文以下試結(jié)合筆者近幾年在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際案例，談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)對(duì)比教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)和教學(xué)實(shí)施策略的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐思考，以期與同仁進(jìn)行交流。

一、數(shù)學(xué)對(duì)比教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)

（一）對(duì)比對(duì)象的問題設(shè)計(jì)要合理

進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，首先要以增進(jìn)理解對(duì)比對(duì)象的需要進(jìn)行問題設(shè)計(jì)。在內(nèi)容的選擇上要注意選材得當(dāng)，教學(xué)適時(shí)，難易適度。初中階段很多數(shù)學(xué)內(nèi)容都可以作為對(duì)比教學(xué)的對(duì)象，包括數(shù)學(xué)概念、公式、定理、符號(hào)、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)解題過程等，只要是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對(duì)象和用來發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的對(duì)象都能作為對(duì)比教學(xué)的內(nèi)容。作為對(duì)比教學(xué)的材料，在問題設(shè)計(jì)時(shí)要遵循兩個(gè)原則，一是問題能否增進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步理解；二是問題要具有開放性，結(jié)論不唯一，這樣才有利于學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行思考，發(fā)展學(xué)生思維的廣度和深度。

（二）對(duì)比對(duì)象的觀察切入點(diǎn)要明確

進(jìn)行數(shù)學(xué)對(duì)比教學(xué)，必須找到數(shù)學(xué)對(duì)象對(duì)比的切入點(diǎn)，交流時(shí)需要清楚地表達(dá)對(duì)比的結(jié)論，這是對(duì)比教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。觀察產(chǎn)生智慧，觀察是對(duì)比教學(xué)的起點(diǎn)，是結(jié)論形成的開端。在問題的指引下，學(xué)生對(duì)所要比較的數(shù)學(xué)對(duì)象必須進(jìn)行仔細(xì)地區(qū)分，從考察對(duì)象的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)尋找數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從細(xì)節(jié)入手，能夠通過已知的事實(shí)推理出未知的事實(shí)，也就找到了數(shù)學(xué)對(duì)象對(duì)比的切入點(diǎn)。交流在對(duì)比教學(xué)中承上啟下，要緊緊抓住數(shù)學(xué)對(duì)象對(duì)比的切入點(diǎn)，進(jìn)行合理比較，這是生成結(jié)論的重要方式。教學(xué)中，應(yīng)開放課堂，把話語權(quán)還給學(xué)生，交流成果的生成必將豐富而精彩。

（三）對(duì)比對(duì)象的對(duì)比結(jié)果要系統(tǒng)化

總結(jié)是交流結(jié)果的升華，應(yīng)用能夠鞏固交流的結(jié)果，增進(jìn)理解數(shù)學(xué)知識(shí)。將交流的結(jié)果及時(shí)歸納能夠展示對(duì)比教學(xué)的成果，讓知識(shí)系統(tǒng)化。通過練習(xí)，可以是模仿，也可以是變式訓(xùn)練，應(yīng)用總結(jié)的成果，能夠檢測(cè)學(xué)生是否達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，檢驗(yàn)對(duì)比教學(xué)是否有效，這是對(duì)比教學(xué)的必要環(huán)節(jié)。

案例1： 浙教版八（上） “三角形全等的條件”復(fù)習(xí)

問題設(shè)計(jì)：判定兩個(gè)三角形全等的四種方法SSS、SAS、ASA、AAS相互之間有哪些異同點(diǎn)？引導(dǎo)學(xué)生從邊與角的特點(diǎn)觀察，比較邊與角的數(shù)量和位置。經(jīng)過學(xué)生討論和交流，總結(jié)它們的共同點(diǎn)有：①這四種判定三角形全等的條件都是三個(gè)；②這四種判定三角形全等的條件中至少要有一條邊對(duì)應(yīng)相等；③這四種判定三角形全等的條件都適合于任何類型的三角形，包括銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。發(fā)現(xiàn)不同點(diǎn)有：①角相等的條件不同，SSS中沒有角對(duì)應(yīng)相等，SAS有一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等、ASA、AAS有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等；②邊相等的條件不同，SSS有三對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，SAS有兩對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，ASA、AAS只有一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；③ASA與AAS中邊的位置不同，ASA中的邊是兩個(gè)角的夾邊，AAS中的邊不是兩個(gè)角的夾邊，而是其中一個(gè)角的對(duì)邊。這四種三角形全等的條件在逐一學(xué)習(xí)之后，適時(shí)梳理，配備幾道應(yīng)用三角形全等來說明對(duì)應(yīng)邊或角相等的練習(xí)，檢測(cè)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗳切稳鹊哪芰κ潜匾摹?/p>

通過對(duì)比教學(xué)，既知道了三角形全等條件的共同點(diǎn)，又知道了它們的不同點(diǎn)，在增進(jìn)理解三角形全等條件中對(duì)比教學(xué)有效地發(fā)揮了整合作用，將零散的知識(shí)整合到知識(shí)鏈上，使得知識(shí)結(jié)構(gòu)更加有序，更加牢固。在后續(xù)碰到利用全等三角形解決問題的過程中解決問題的方向明確了，解題正確率有明顯提高。

二、數(shù)學(xué)對(duì)比教學(xué)的教學(xué)實(shí)施策略

在初中數(shù)學(xué)課堂中，可以通過多種教學(xué)載體來實(shí)施對(duì)比教學(xué)，發(fā)揮其在幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，區(qū)分運(yùn)算類型，提高解題思維水平，加深對(duì)各種數(shù)學(xué)知識(shí)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)等方面的作用。

（一）對(duì)比數(shù)形差異，增進(jìn)數(shù)學(xué)概念的理解

“用數(shù)來表達(dá)和交流信息，用圖形形象地描述問題”是新課標(biāo)對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)的一項(xiàng)重要目標(biāo)。在初中數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)概念都可以依賴于數(shù)、形的解釋來獲得學(xué)生的理解。

案例2：浙教版七（上） “2.7近似數(shù)”

問題：下列由四舍五入法得到的近似數(shù)各精確到哪一位？

（1）1.20×104 （2）1.20 （3）1.20萬 （4）1.2萬

教學(xué)設(shè)計(jì)：課本對(duì)精確度的表述為“一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位”，沒有對(duì)應(yīng)的例題展示，學(xué)生通過對(duì)課本的學(xué)習(xí)收獲甚微。為了讓學(xué)生掌握這一易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，我利用了對(duì)比教學(xué)法，對(duì)課本“做一做”的練習(xí)進(jìn)行改編，補(bǔ)充了科學(xué)計(jì)數(shù)法表示的數(shù)。課堂中首先呈現(xiàn)第（1）個(gè)數(shù)1.20×104，讓學(xué)生在草稿紙上寫下答案，巡視時(shí)發(fā)現(xiàn)，寫下“百分位”的同學(xué)在三分之一左右，我讓大家繼續(xù)看第二個(gè)數(shù)（2）1.20，前面寫錯(cuò)的學(xué)生開始發(fā)現(xiàn)問題，開始涂改答案。繼續(xù)完成后面的兩個(gè)數(shù)的精確度解答后，讓學(xué)生再次體驗(yàn)課本上關(guān)于精確度的闡述，體會(huì)數(shù)的表達(dá)形式對(duì)精確度的影響。繼續(xù)給學(xué)生補(bǔ)充發(fā)現(xiàn)不同點(diǎn)有：①它們的有效數(shù)字不同，（1）（2）（3）有三個(gè)有效數(shù)字，（4）有二個(gè)有效數(shù)字；②它們的精確度不同，（1）、（3）精確到百位，（2）精確到百分位，（4）精確到千位。

通過以上的對(duì)比教學(xué)，學(xué)生從有效數(shù)字、精確度的視角去比較它們的差異，不僅提高了對(duì)近似數(shù)不同表達(dá)形式的認(rèn)識(shí)水平，而且通過知識(shí)的應(yīng)用增進(jìn)理解近似數(shù)精確度的概念。

這樣的例子還有很多。除了用數(shù)的對(duì)比教學(xué)來促進(jìn)概念的理解外，還能用圖形的對(duì)比教學(xué)鞏固數(shù)學(xué)概念，提高學(xué)生畫圖水平和讀圖能力。：

案例3：浙教版七（上）“6.2線段、射線和直線”

教學(xué)設(shè)計(jì)：通過讓學(xué)生對(duì)“延長線段AB”和“延長線段BA”進(jìn)行畫圖訓(xùn)練，讓學(xué)生在比較反饋中會(huì)進(jìn)行正確的畫圖，理解兩種延長方向的不同導(dǎo)致圖形結(jié)果的不一樣。而讓學(xué)生畫“點(diǎn)C在線段AB上”、“點(diǎn)C在線段AB外”、“點(diǎn)C在線段AB的延長線上”、“點(diǎn)C在線段BA的延長線上”幾種不同的圖形，為后面線段的和差計(jì)算提供分類討論奠定基礎(chǔ)。

在初學(xué)幾何知識(shí)階段，這種讓學(xué)生通過根據(jù)要求畫出符合題意的不同圖形的對(duì)比教學(xué)，能更好的理解相似幾何圖形的不同表述，能加深對(duì)幾何圖形的直觀印象。

（二）對(duì)比數(shù)學(xué)符號(hào)，提高運(yùn)算能力和表達(dá)能力

將兩個(gè)相像的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，既要找出它們的相同點(diǎn)，說明聯(lián)系，更要找出它們的不同點(diǎn)加以區(qū)分，便于更好的識(shí)別與應(yīng)用，提高計(jì)算水平和表達(dá)能力。

案例4：浙教版七（上）“2.5有理數(shù)的乘方（1）”

教學(xué)設(shè)計(jì)：讓學(xué)生說出（-3）2和-32的聯(lián)系和區(qū)別？引導(dǎo)學(xué)生觀察，不難發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系有：①都是由負(fù)號(hào)、3和2構(gòu)成；②都是冪的運(yùn)算。但由于（-3）2比-32增加了一個(gè)小括號(hào)，二者的區(qū)別就大了，不同點(diǎn)有：①讀法不同，（-3）2讀作“負(fù)3的平方”，-32讀作“3的平方的相反數(shù)”；②底數(shù)不同，（-3）2的底數(shù)是-3，-32的底數(shù)是3；③意義不同，（-3）2表示“兩個(gè)-3相乘”，-32表示“兩個(gè)3相乘的相反數(shù)”； ④結(jié)果不同，（-3）2=9，-32=-9。

通過（-3）2和-32的對(duì)比教學(xué)，學(xué)生能從四種視角認(rèn)識(shí)二者的區(qū)別，并通過模仿練習(xí)，達(dá)到觸類旁通，這對(duì)于和他人交流，或者是進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算都是有好處的。

這種數(shù)學(xué)符號(hào)的對(duì)比教學(xué)還能推廣到其他的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)。譬如：二次根式的性質(zhì) 和 有哪些聯(lián)系和區(qū)別？正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式有哪些區(qū)別和聯(lián)系？一次方程和一次不等式有哪些區(qū)別和聯(lián)系？……實(shí)踐證明，通過相像數(shù)學(xué)符號(hào)的比較，能夠有效地提高計(jì)算水平和表達(dá)能力。

（三）對(duì)比函數(shù)圖象，提高函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)

函數(shù)圖象是函數(shù)的直觀反映，蘊(yùn)含了方程、不等式、坐標(biāo)和函數(shù)等知識(shí)，將函數(shù)圖象自身分段進(jìn)行對(duì)比，或者兩個(gè)函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比，能從不同的側(cè)面揭示函數(shù)的性質(zhì)，提高學(xué)生應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)分析問題和解決問題的能力。

案例5：浙教版九年級(jí)“二次函數(shù)復(fù)習(xí)課”

問題：寫出函數(shù) 與函數(shù) 的三個(gè)共同點(diǎn)和三個(gè)不同點(diǎn)（如圖1）。

教學(xué)過程：給出問題后，學(xué)生首先從函數(shù)表達(dá)形式上指出了不同點(diǎn)，前者是一次函數(shù)，后者是二次函數(shù)，這是基本問題。接下去從函數(shù)的性質(zhì)入手又可以進(jìn)行哪些方面的比較呢？引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生通過對(duì)比函數(shù)圖形，總結(jié)出多個(gè)方面的異同點(diǎn)。例如，三個(gè)共同點(diǎn)：①圖象都經(jīng)過兩點(diǎn)（0，0），（1， 2）；②當(dāng) 時(shí)，函數(shù)值y都隨著x的增大而增大；③自變量x的取值范圍相同，都是全體實(shí)數(shù)；三個(gè)不同點(diǎn)：①圖象形狀不同， 的圖象是直線， 的圖象是拋物線；②當(dāng) 時(shí)，它們的增減性不同， 的函數(shù)值y都隨著x的增大而增大， 的函數(shù)值y都隨著x的增大而減??；③函數(shù)值y的取值范圍不同， 的函數(shù)值y是全體實(shí)數(shù)， 的函數(shù)值 。

該問題中，學(xué)生從圖象間的交點(diǎn)、取值范圍、增減性和圖象形狀等方面認(rèn)識(shí)和應(yīng)用了函數(shù)性質(zhì)。當(dāng)然，還可從圖象經(jīng)過的象限、對(duì)稱性、最值等側(cè)面來描述二者的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)一步地完善學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。實(shí)踐證明，這樣的對(duì)比教學(xué)滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、思維能力，而且還把觀察的方法、描述數(shù)學(xué)對(duì)象的方法示范給學(xué)生，能提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的交流能力。

當(dāng)然，還可以通過對(duì)幾何圖形的對(duì)比教學(xué)，提高學(xué)生對(duì)幾何圖形的表示能力，提高學(xué)生對(duì)幾何圖形的性質(zhì)認(rèn)識(shí)。例如，將線段、直線和射線進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，能從用字母的表示方法、端點(diǎn)數(shù)量、方向、長度和可延長性等角度去認(rèn)識(shí)它們的性質(zhì)和區(qū)別。

（四）對(duì)比解法對(duì)錯(cuò)與優(yōu)劣，提高解題水平，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

學(xué)生在解題中存在著對(duì)錯(cuò)，或者解法有優(yōu)有劣的現(xiàn)象，通過比較，引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤的原因，比較解法優(yōu)劣的差距，能夠完善學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)、拓寬學(xué)生視野，對(duì)提高解題水平和發(fā)展思維能力大有好處。

案例6：浙教版八（下）“平行四邊形的復(fù)習(xí)”

問題：如圖2，在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，OE⊥AD，垂足為E，OF⊥BC，垂足為F，求證：OE=OF。

學(xué)生感覺題目比較簡單，很快有了證明方法，讓兩名學(xué)生代表將證明過程寫在黑板上，再讓學(xué)生比較下列兩種證法，看看兩種證明方法是否有問題。

問題呈現(xiàn)之后，學(xué)生通過思考與比較，認(rèn)為兩種方法都是正確的?？墒抢蠋熥寣W(xué)生找證明的錯(cuò)誤，說明肯定有一種證法是錯(cuò)誤的，哪一種呢？教師的引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生仔細(xì)閱讀題目條件，幫助學(xué)生分析，“OE⊥AD，垂足為E，OF⊥BC，垂足為F”這個(gè)條件可以用來說明“∠AEO=∠CFO=90°”的理由是什么？“∠AOE=∠COF”成立的理由又是什么？在進(jìn)一步思考的情況下，學(xué)生想到了題目中并未給出E、O、F在一直線上，所以把∠AOE和∠COF看為對(duì)頂角是不正確的，這不符合對(duì)頂角的定義。證法一是錯(cuò)誤的，說明了學(xué)生對(duì)“對(duì)頂角”的概念理解不透切，證明過程中出現(xiàn)了“想當(dāng)然”，思維不嚴(yán)密。

通過對(duì)證明方法對(duì)錯(cuò)的對(duì)比教學(xué)，有助于杜絕學(xué)生“自以為是”的想法，培養(yǎng)思維縝密性。實(shí)踐證明，如果對(duì)解法優(yōu)劣進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，就能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的解題水平。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)過程是師生雙方各自實(shí)現(xiàn)自身價(jià)值和自身發(fā)展，不斷積累數(shù)學(xué)體驗(yàn)的過程。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法和學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，而不僅僅是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)解題。在教學(xué)過程中，教師恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用對(duì)比教學(xué)，將會(huì)對(duì)教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維達(dá)到事半功倍的效果。[3]

長期的教學(xué)實(shí)踐，讓筆者體會(huì)到，在初中數(shù)學(xué)中實(shí)施對(duì)比教學(xué)，不僅可以將新舊知識(shí)、事物關(guān)系溝通組織起來，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，活躍學(xué)生的思維，還能創(chuàng)造良好的教學(xué)氣氛和秩序，是一種非常適合學(xué)生汲取知識(shí)的學(xué)習(xí)方法。對(duì)比教學(xué)的運(yùn)用可以使學(xué)生在面對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)，有效擺脫陌生感，迅速找到輕松入門的途徑，增加學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，提高學(xué)習(xí)效率，優(yōu)化學(xué)習(xí)效果。

參考文獻(xiàn)：

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