實變函數(shù)課程探討—Cantor集，分數(shù)維與分形

【摘要】本文主要探討實變函數(shù)課程中一類重要的集合—Cantor集，并在此基礎(chǔ)上引出相應(yīng)分數(shù)維的概念并指出維度和測度之間的關(guān)系。另外，我們探討現(xiàn)代幾何的一個重要分支——分形幾何并敘述它在實際中的重要應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】Cantor集 分數(shù)維 分形

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0130-02

眾所周知，實變函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)里較為難學(xué)的一門課。由于其抽象性和概念化，學(xué)生往往很難在整體上把握它。在這門課程中[1]，第一章會講集合論的基礎(chǔ)知識。通過掌握一一對應(yīng)的概念，無窮集合有了詳細分類，即以正整數(shù)集為代表的可數(shù)集合以及以實數(shù)集為代表的不可數(shù)集合。在第一章結(jié)束時，學(xué)生已經(jīng)較為熟悉可數(shù)集和不可數(shù)集的特征，并能夠正確給出無窮集合所屬的范疇。但是，第二章中Cantor集的引入使學(xué)生對無窮集合又多了幾分困擾，但是如果對Cantor集有正確的認識，那相應(yīng)的對集合論的認識會有一次質(zhì)的飛躍。為此，本文用比較通俗化的表達方式闡述和解釋Cantor集。

三、分形

由上述構(gòu)造過程，我們發(fā)現(xiàn)Cantor集是通過逐步迭代得出的，而且每一步迭代過程產(chǎn)生的集合和原集合具有相似性，稱之為自相似性，并且隨著迭代次數(shù)的增加，集合會呈現(xiàn)為一種特別的結(jié)構(gòu)。法國數(shù)學(xué)家Mandelbrot[3]首次研究了這類集合，并把這類不規(guī)則的圖形定義為“分形”，開創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支，分形幾何學(xué)。分形幾何方面的一個重要例子是德國數(shù)學(xué)家科赫給出的科赫曲線或者叫雪花曲線。它的構(gòu)造原理類似于Cantor集。 Cantor集和科赫曲線都是理論上的構(gòu)造。事實上，這種不規(guī)則的圖形普遍存在于大自然中，被稱為大自然的幾何。在這方面，最有名的便是布列塔尼海岸線的測量[3]。測繪學(xué)家通過不同的方式（不同尺度下）測量出來的長度差別很大，特別是在尺度越來越小時，發(fā)現(xiàn)海岸線的長度趨向于無窮大。用分形幾何上的解釋可知，布列塔尼海岸線是維數(shù)大于1小于2的一條連通曲線。目前，分形幾何學(xué)作為一種新的研究領(lǐng)域，已經(jīng)受到越來越多的數(shù)學(xué)家的關(guān)注。

參考文獻：

[1]程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，王漱石.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第三版），高等教育出版社，2010。

[2]林琦焜.數(shù)，十進位和Cantor集，數(shù)學(xué)傳播，24（4），1989。

[3]B.Mandelbrot， 分形對象： 形、機遇和維數(shù)，世紀圖書出版社，1999。

作者簡介：

胡玉璽，男，山東人，博士，講師，研究方向：非線性偏微分方程。