一題一課：從基礎知識走向數(shù)學思想——以“函數(shù)視角下的一元二次方程”專題復習為例

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學　蔡映紅

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一題一課：從基礎知識走向數(shù)學思想——以“函數(shù)視角下的一元二次方程”專題復習為例

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學蔡映紅

臨近中考，教師教和學生學的時間都非常緊.要想在短期內提升學生的認知水平，教師就必須從“茫茫題海”中精挑細選，選擇出合適的題目作為例題原型，通過適度改編呈現(xiàn)出符合學生認知需求和認知規(guī)律的教學活動.在二輪復習中，筆者所在的九年級備課組就進行了這樣的嘗試.我們采用“一題一課”的形式選擇和設計例題，以一道綜合性較強的例題承載多種基礎知識，教學過程就是由基礎知識的梳理開始，并逐步過渡到數(shù)學思想方法的歸納提升.在“一題一課”實施過程中，取得了一定的成效，當然也存在著這樣那樣的問題.現(xiàn)結合“函數(shù)視角下的一元二次方程”專題復習課的例題教學談談筆者的做法及思考，希望對您有所幫助.

一、例題分析

例題關于x的一元二次方程mx2-（4m+1）x+3m+3= 0的兩實根分別為x1，x2，n=x1-x2-2，設A（1，a），B（b，2）兩點在動點P（m，n）所形成的曲線上，求直線AB的解析式.

簡析：本題以一元二次方程為載體，將代數(shù)式化簡與待定系數(shù)法融入其中，考查了一元二次方程的解法（根與系數(shù)的關系）、代數(shù)式的化簡、待定系數(shù)法、二元一次方程（組）的解法等知識點，涉及分類討論、模型、化歸等數(shù)學思想，這些知識都是初中學段的核心知識.這些知識點的組合，自然合理，是學生認知的自然延伸.解題時，應緊扣一元二次方程的基礎知識和代數(shù)式的恒等變形，充分應用分類討論思想、模型思想、數(shù)形結合思想，力求將函數(shù)問題化歸為代數(shù)問題.本題的條件環(huán)環(huán)相扣，緊密鏈接，抓住了函數(shù)問題與代數(shù)知識的聯(lián)系，有效拓展了學生的思維空間，提高對知識的遷移與應用能力，對日常教學有很好的指導與引領作用.

二、教學簡錄及分析

1.審題指導

教師呈現(xiàn)例題，讓學生認真讀題，將重要的條件畫下來，并思考這些條件在解題中有什么作用.

（學生讀題，并在試題上做標記）

學生1：我標記的是“一元二次方程mx2-（4m+1）x+ 3m+3=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2”.

教師：是的，這個一元二次方程就是這道試題的背景，在這個背景之上又生成了哪些條件呢？

學生2：兩個實數(shù)根分別為x1，x2；n=x1-x2-2.

學生3：動點P（m，n）形成的曲線；點A（1，a），B（b，2）在曲線上.

教師：要我們求什么呢？

學生（齊）：直線AB的解析式.（教師板書）

簡析：直接從題目中抽取條件和結論是學生審題的第一步，也是最關鍵的一步.教師讓學生初讀例題，并適當標記，意在培養(yǎng)學生獲取題目信息的能力和習慣.

2.思路分析

教師：題目中是否有隱性條件呢？

學生4：點P（m，n）在運動過程中形成了曲線，所以，縱坐標n和橫坐標m之間具備函數(shù)關系.

教師：抓住哪些條件可以讓它“現(xiàn)身”呢？

學生5：一元二次方程mx2-（4m+1）x+3m+3=0和n= x1-x2-2.（板書）

教師：怎么做？

學生6：我想直接解這個方程，求出x1，x2，再代入到n=x1-x2-2中就行了.

教師：怎么解這個方程呢？

學生7：用求根公式求出x1，x2.

教師：有其他求法嗎？

學生8：因式分解法.

教師：非常棒！告訴老師你的答案.

學生9：老師，根據(jù)條件“n=x1-x2-2”，完全可以不解這個方程，用根與系數(shù)的關系求解.

教師：好的，你說說看！

教師：看來利用根與系數(shù)的關系，也可以將n與m關聯(lián)起來.題目中還有其他隱含條件嗎？

學生10：“A（1，a），B（b，2）兩點在動點P（m，n）所形成的曲線上”，告訴我們“當m=1時，n=a；當m=b時，n=2”.

教師：這對我們解題有用嗎？

學生11：根據(jù)這個條件我們可以求出a、b的值，這樣就得到了點A、B的坐標了！

教師：根據(jù)剛剛的分析，該從哪里下手呢？

學生12：點A、B的坐標（板書）.

教師：怎么求這兩個點的坐標呢？

學生13：抓住“當m=1時，n=a；當m=b時，n=2”這個隱含條件，利用我們得出的n與m的函數(shù)關系式，就行了！（教師板書：n與m的函數(shù)關系式）

教師：很好，這樣一來，又回到了我們剛才的思路上來了.你們得出這道試題的解題思路了嗎？

（畫出箭頭，完成圖1中的板書）

圖1

教師：接下來，就請同學們按照剛剛探究出的解題思路，完成這道試題的解答.

簡析：分析問題是解決問題的前提.教師從例題的隱性條件分析入手，圍繞條件和結論展開綜合分析，逐步引導學生發(fā)現(xiàn)問題解決的基本途徑.通過若干個知識的簡單串聯(lián)，最終形成了完整的知識應用和問題解決的鏈接.

3.解法講評

15分鐘后，教師結合學生的部分過程進行解法講評.

投影一名學生的部分解題過程（下稱解法1），如圖2.

圖2

教師：這里為何不按照平常的“x1=…，x2=…”寫解呢？

學生14：說不清誰是x1，誰是x2.

教師：那該怎么辦呢？

學生15：對這兩個解分類討論！

教師：很好！怎么分？

教師：說得真好！在這兩種情形下，我們該怎么解呢？（投影一名學生給出的完整、規(guī)范的過程，并進行簡單點評）

教師：還有其他解法嗎？

（投影學生的另外兩種解法，這里只呈現(xiàn)不同解法部分的解題過程）

簡析：解法講評是復習教學的核心環(huán)節(jié)，在學生自主解答結束后，教師提出“為什么要分類”，“怎么分”，“怎么解”，“還有其他解法嗎”等一系列問題，引導學生漸進呈現(xiàn)、積極展示，多樣的解題過程不僅豐富了學生的求解思路，而且對學生的解法的優(yōu)選與優(yōu)化也是非常有利的.

4.總結提升

教師：在剛才的求解中我們用到了哪些知識？

學生16：求AB的解析式用的是“待定系數(shù)法”，求x1，x2用的是因式分解法.

學生17：解這個方程我用的是公式法.

學生18：我沒有解方程，直接用根與系數(shù)的關系將n=x1-x2-2轉化成只含有n、m的式子.

教師：看來，這道題目給出的方程是解題繞不開的“坎”，將方程中的條件轉化到n=x1-x2-2中去，是我們解題的關鍵.這種轉化思想在本題中得到了很好的應用，除此之外，本題中還用到了哪些數(shù)學思想呢？

學生19：分類討論.

教師：對！與轉化一樣，分類討論思想是初中的核心數(shù)學思想，在問題解決中有著非常廣泛的應用.

學生20：還用到了函數(shù)思想和數(shù)形結合思想.

教師：對！我們從題中可以抽象出“n與m是一種函數(shù)關系”，點P（m，n）所形成的曲線正是這個函數(shù)的圖像.

教師：非常棒！從這樣一道小題中，我們挖掘出如此豐富的“思想內涵”，看來，我們的探索與交流是值得的！

簡析：數(shù)學思想是數(shù)學留給學生最后的財富，是與學生后續(xù)學習生活息息相關的數(shù)學核心知識.因此，數(shù)學思想的教學也是初中數(shù)學教學的最重要的內容之一.為了讓學生知曉這些核心知識的應用價值，教者引導學生回顧解題與交流過程，不僅梳理了用到的基礎知識，還將所涉及的數(shù)學思想一并明晰.在例題教學的末端，這樣的歸納總結是十分必要的.

三、三點思考

1.精選細磨，關注例題的質量

從上面的例題教學不難看出，“一題一課”對例題的要求還是很高的.首先，例題所蘊含的知識要是數(shù)學的核心知識（主干知識）；其次，知識的含量應該比較大，或者知識的延展性應該較強，能進行必要的拓展；還有，例題所包含的知識種類也應是多樣的，既要有基礎知識，又要有基本技能和基本數(shù)學思想.所以，我們應學會精挑細選，學會從眾多的考題、經典試題中挑選出符合上述要求的題目出來.當然，對所選題目進行必要的打磨還是不可缺少的.例題打磨的主要任務是將選擇的題目與課時目標進行關聯(lián)，剔除無關的考點，增加核心考點，從而保證最終呈現(xiàn)出的例題具有很高的“含金量”.

2.合理設計，提升教學的效度

想要上好一節(jié)專題復習課，不僅要選擇與打磨例題，還應對例題的教學過程進行精心設計.“一題一課”不能因為例題少而讓某一應有環(huán)節(jié)缺失，為了達成“做一題，得一法，會一類，通一片”的目標，在中考二輪復習課上，我們一般以一道例題為載體，開展一次詳實分析，組織一次獨立練習，進行一次有效講評，完成一次深度小結.整個教學過程，學生應是活動的主體，教師應以問題（組）引領學生展開探索與交流，努力將能力的形成建構在知識的梳理之上，通過知識的網絡化推動學生問題解決能力的提升.所以，在形成教學例題后，應對教學例題進行精心設計，找出例題教學的最佳“切入點”，形成知能提升的適合“爆發(fā)點”，以實現(xiàn)例題教學效益的最大化.

3.指向核心，確保復習的方向

數(shù)學核心知識是學生問題解決應用最多的知識，也是教師在課堂教學中應高度關注的知識.這些知識不只是數(shù)學基礎知識，還包括很多的隱性知識，比如一些重要的數(shù)學思想，以及那些來自于學生生活與學習的活動經驗，這些都是潛移默化中影響著學生成長的知識.在課堂上，這些知識的出鏡率應該是最高的，無論是學生的探索，還是全班的交流，抑或是教師的點評，都應以這些知識為話題，讓它們真正走上前臺，成為教學的主角.只有這樣，我們才能讓核心知識的價值落在實處，也只有這樣，才能保證我們的復習方向準確，成效顯著.