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    淺談函數(shù)教學中的對稱性問題

    2016-04-12 07:43:06云南省鳳慶縣鳳慶第一中學675900
    數(shù)理化解題研究 2016年22期
    關鍵詞:偶函數(shù)對稱軸對稱性

    云南省鳳慶縣鳳慶第一中學(675900)

    楊志榮 ●

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    淺談函數(shù)教學中的對稱性問題

    云南省鳳慶縣鳳慶第一中學(675900)

    楊志榮 ●

    函數(shù)的性質是高考和競賽的熱點與重點,函數(shù)的對稱性是函數(shù)的基本性質,對稱關系廣泛存在于數(shù)學問題當中,利用對稱性可以更簡單地使問題得到解決.本文就函數(shù)教學中的對稱性問題進行深入探究.

    函數(shù)教學;對稱性;方法

    對稱性問題通常會與其它知識雜揉在一起,如周期性、單調性等,這些都需要學生不斷地去探索.下面進行簡要介紹,不足之處,敬請斧正.

    一、周期巧用,判斷奇偶

    在函數(shù)學習中,與對稱相關的問題有很多,需要學生不斷地去積累經(jīng)驗,只要經(jīng)驗足夠,學生就能夠解決任何相關的問題.

    在某些特殊函數(shù)中,可能會存在n個對稱軸,這就能夠體現(xiàn)出函數(shù)的周期性,因此與對稱相關的問題往往會夾雜著周期的相關知識,所以同學們要將函數(shù)的各個特性都掌握透徹,只有這樣才能夠解決一些復雜的綜合性問題.下面一一道題目為例,講解通過對稱的研究解決奇偶性問題的方法.

    在定義域為R非常函數(shù)滿足:f(10+x)為偶函數(shù),并且f(5-x)=f(5+x),則f(x)一定( ).

    A.是偶函數(shù),也是周期函數(shù)

    B.是偶函數(shù),但不是周期函數(shù)

    C.是奇函數(shù),也是周期函數(shù)

    D.是奇函數(shù),但不是周期函數(shù)

    這道題目就與對稱相關,我們可以逐步分析.由f(10+x)為偶函數(shù),我們可以得出f(10+x)=f(10-x),再加上已知條件f(5-x)=f(5+x),就能夠得出f(x)有兩條對稱軸,即x=5和x=10,由此我們可以繼續(xù)推斷出該函數(shù)是以10為一個周期的周期函數(shù),這樣選項B以及選項D就是錯誤的.然后我們再考慮奇偶性,該函數(shù)的周期為10,其中有一個對稱軸為x=10,所以x=0也是它的對稱軸,即f(x)是一個偶函數(shù).通過上述分析,我們就可以得出正確答案為A.

    在上面這道題我們就可以看出,函數(shù)的對稱性與周期性結合起來會十分完美,會將函數(shù)一些無法直接表現(xiàn)的特性展示在我們眼前.由此可見函數(shù)對稱性的重要性,所以學生一定要學會對稱軸的判定方法,為今后學習打下良好的基礎.

    二、函數(shù)反轉,速求數(shù)值

    在函數(shù)的很多問題中,有一類涉及到反函數(shù),由于反函數(shù)太過抽象,很多學生對此都不是很了解,更不用談反函數(shù)與其他知識結合起來的問題了.為了改變這種現(xiàn)狀,老師要多做努力,幫助學生打好基礎,學好反函數(shù).

    眾所周知,原函數(shù)與反函數(shù)是一種對立的關系,其中某個函數(shù)存在反函數(shù)的條件就是原函數(shù)必須是一一對應的,但是也不一定要在整個數(shù)域內(nèi).其實,對于反函數(shù)大家最熟悉的就是三角函數(shù),如sinx和arcsinx、cosx和arccosx等,實際上也有很多題目脫離三角函數(shù)考查反函數(shù)內(nèi)容.例如,很多同學都會遇到這樣的題目:

    設定義域為R的函數(shù)y=f(x)、y=g(x)都有反函數(shù),并且f(x-1)和g-1(x-2)函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱,若g(5)=1999,那么f(4)=( ).

    A.1999 B.2000 C.2001 D.2002

    反函數(shù)最重要的一個性質就是反函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關于直線y=x對稱,而根據(jù)題干我們可以看出,函數(shù)y=f(x-1)和函數(shù)y=g-1(x-2)的圖象關于直線y=x對稱,由此可以看出二者互為反函數(shù),而根據(jù)數(shù)學知識,我們可以算出y=g-1(x-2)的反函數(shù)是y=2+g(x),所以可以推斷出2+g(x)=f(x-1),即f(4)=f(5-1)=2+g(4)=1999+2=2001.

    因此本題的正確答案為選項C.

    這道題目也是一個對稱問題,雖然是與反函數(shù)結合起來,但也并不是十分困難,只要學生用心思考,就一定能夠解決.只不過不同的是上個例題研究的是一個函數(shù)的自身對稱,而這道題目是兩個函數(shù)的對稱,二者存在本質的區(qū)別.

    三、對稱討論,分析零值

    函數(shù)的問題不僅僅存在于選擇題目中,在一些考試中,也會以大型計算題的形式出現(xiàn),考查學生的計算能力以及邏輯推理能力.

    對稱性的題目也是高考的重點目標,下面以一道高考真題為例,進行分析.

    設函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間上滿足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),并且在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0,試求出f(x)=0在閉區(qū)間[-2005,2005]上根的個數(shù)并證明你的結論.

    解題前我們一定要學會研究題干給出的已知條件,由f(2-x)=f(2+x),可以推出f(x)=f(4-x),同理由f(7-x)=f(7+x),可以推出f(x)=f(14-x),二者合并,就能夠分析出f(4-x)=f(14-x),即f(x)=f(x+10).所以該函數(shù)是以10為周期的周期函數(shù).又因為f(1)=f(3)=0,可以得出f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,所以函數(shù)f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有兩個解.再結合問題中所給出的定義域,就會輕松地算出一共有802個解.

    這道題目解題的關鍵還是在于對稱,只要將對稱分析出來,之后的解題過程也會自然而然地展示出來,更加體現(xiàn)了對稱分析的重要性.

    [1] 牛拴銀. 淺談坐標轉移法在函數(shù)對稱性問題中的應用[J]. 數(shù)學教學研究,2002(07).

    [2] 孟繁平. 函數(shù)的對稱性和周期性的關系[J].數(shù)學教學通訊,2007(05).

    G632

    B

    1008-0333(2016)22-0027-01

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