關(guān)于高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題的探究

趙言喜

摘 要：高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)內(nèi)容極為重要，是歷屆高考的一項(xiàng)必考內(nèi)容，其所占分?jǐn)?shù)比例相對(duì)較高，一般以解答題最為常見(jiàn)，基于此，數(shù)列求和在高中數(shù)學(xué)中所占地位極高。以下，本文將通過(guò)對(duì)高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題相關(guān)概述，探討有效的解題思路，實(shí)現(xiàn)對(duì)高中生數(shù)學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)創(chuàng)新性思維模式的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列問(wèn)題；解題思路

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）07-386-01

隨著課程改革的不斷深化，高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)內(nèi)容位置得到持續(xù)提升。高中數(shù)學(xué)數(shù)列內(nèi)容關(guān)乎著人們?nèi)粘Ｉ?，其在?shí)際生活中被廣泛應(yīng)用，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域數(shù)列問(wèn)題一直是重要研究?jī)?nèi)容，特別是高中階段的數(shù)學(xué)，解題思路及方法尤為關(guān)鍵，解題方法是解決數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題的前提，教師應(yīng)積極幫助學(xué)生對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和理解，通過(guò)大量解題技巧的講解，才能利于學(xué)生數(shù)列思維能力提高，進(jìn)而增強(qiáng)解答數(shù)列問(wèn)題的能力。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)列的相關(guān)概述

1、高中數(shù)學(xué)數(shù)列的概念

所謂數(shù)列，即根據(jù)相應(yīng)規(guī)律排序一系列數(shù)字的過(guò)程，其包括各式各樣的數(shù)列形式，如形數(shù)、三角及行列式等，是由若干個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)陣。通常高考試題中出現(xiàn)的數(shù)列問(wèn)題可分為兩種，包括基于泛函分析與實(shí)變函數(shù)之間的壓縮映射，以及高等數(shù)學(xué)定力概念背景下的高考數(shù)列試題。而等差/等比數(shù)列求和等內(nèi)容，即高中數(shù)學(xué)課程中主要涉及的數(shù)列問(wèn)題。根據(jù)上述分析可知，高考中數(shù)列問(wèn)題的解題教學(xué)主要是對(duì)知識(shí)點(diǎn)和解題方法的考查，為此，教師應(yīng)注意數(shù)列教學(xué)的關(guān)鍵問(wèn)題，積極探討培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題能力的策略等。

2、高中數(shù)學(xué)數(shù)列的地位

隨著課程改革的深化，高中數(shù)學(xué)遵循螺旋上升式原則安排課程內(nèi)容，將數(shù)列作為單獨(dú)章節(jié)設(shè)置，共計(jì)占據(jù)12個(gè)課時(shí)，大大提高了數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中的地位，也使其重要性越來(lái)越顯著。數(shù)列并非獨(dú)立存在于數(shù)學(xué)中，其連接著數(shù)、函數(shù)、方程及不等式等一系列的數(shù)學(xué)知識(shí)。同時(shí)，數(shù)列所體現(xiàn)的思想方法十分獨(dú)特，包括許多的重要數(shù)學(xué)方法和思想，如等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、類比歸納等。另外，數(shù)列也與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，聯(lián)系著堆放物品、儲(chǔ)蓄、分期付款等實(shí)際問(wèn)題。

二、解題策略

1、熟記數(shù)列基礎(chǔ)內(nèi)容

無(wú)論高考或普通考試中，基礎(chǔ)數(shù)列考察類型一般對(duì)技巧要求不高，學(xué)生只需牢記并能運(yùn)用各種相關(guān)公式即可。如an=a1+（n-1）d及an=a1qn-1這兩個(gè)常見(jiàn)的等差/等比列數(shù)通項(xiàng)公式，以及其前n項(xiàng)和公式等，學(xué)生只有全面掌握靈活運(yùn)用基礎(chǔ)公式，才能應(yīng)對(duì)更深入的數(shù)列變換學(xué)習(xí)，進(jìn)而深刻理解公式的轉(zhuǎn)換，更好地面對(duì)各類考試。例如，已知等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為{an}，sn，且n* N，若a3=6，s10=26，那么，s5是多少？針對(duì)此題，首先應(yīng)分析已知條件，將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式有機(jī)結(jié)合，然后再將已知數(shù)字帶入公式進(jìn)行求解。而通常在考試中此類題型既是重點(diǎn)內(nèi)容，也是得分點(diǎn)，學(xué)生必須牢固掌握。

2、利用函數(shù)觀點(diǎn)解題

從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，數(shù)列屬于函數(shù)范疇，是最重要的數(shù)學(xué)模型之一，數(shù)列可有機(jī)融合等比/等差數(shù)列與一次/指數(shù)函數(shù)，故而，在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)可充分運(yùn)用函數(shù)思想進(jìn)行解答。例如：已知a>0且a≠1，數(shù)列{an}是首項(xiàng)及公比皆為a的等比數(shù)列，設(shè)bn=anlgan（n N*），若bn

分析：根據(jù)題意可知，an=a.an-1=an，因此bn=anlgan=anlgan=nanlga，故bn1，所以lga>0，即a> ，故a>1（n N*）。

結(jié)果：通過(guò)以上分析可知，當(dāng)0lga，故a< =1- （n N*），即a的取值范圍在0與 （n N*）之間，也就是a （0， ） （1，+ ）。

3、多級(jí)數(shù)列解題思路

所謂多級(jí)數(shù)列即存在于相鄰兩項(xiàng)數(shù)字間的級(jí)別關(guān)系，其通過(guò)或乘、或減、或除、或加后所得結(jié)果可再次構(gòu)成二級(jí)數(shù)列，而第二級(jí)數(shù)列還有構(gòu)成第N級(jí)數(shù)列的可能性，也就是說(shuō)每級(jí)數(shù)列間均存在相應(yīng)的規(guī)律。

例如：已知-8，15，39，65，94，128，170，（？）。

分析：通過(guò)對(duì)該題的觀察，可見(jiàn)數(shù)字特征并不明顯，為此，在引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行合理試探，如兩兩做差得出二級(jí)數(shù)列，并以此類推得出更多數(shù)列，進(jìn)而構(gòu)成多級(jí)數(shù)列。但要注意無(wú)論前減后，還是后減前，都必須確保相減的有序性。

解：對(duì)原數(shù)列進(jìn)行第一次做差，得出23，24，26，29，34，……；對(duì)二級(jí)數(shù)列進(jìn)行第二次做差，得出1，2，3，5，……而根據(jù)多級(jí)規(guī)律，二次做差后的數(shù)列還可構(gòu)成遞推和數(shù)列，進(jìn)而得出（）為225。

總之，不僅可兩兩做差做和，也可兩兩做商，但做商時(shí)要注意數(shù)列的前后次序，達(dá)到對(duì)相鄰兩項(xiàng)間位數(shù)關(guān)系敏銳觀察。

4、其他解題策略

（1）合并求和。對(duì)各類數(shù)列考查題中偶爾出現(xiàn)的特殊題型，要正確引導(dǎo)學(xué)生尋找其中所存規(guī)律，一般可通過(guò)整合這些數(shù)列的個(gè)別項(xiàng)來(lái)解題，便能正確找到其特殊性質(zhì)所在?？傊?，針對(duì)這種類型的題目，教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生合并求和，得出各項(xiàng)特殊性質(zhì)中的和，然后再整合求和，最終解出題目答案。

（2）數(shù)學(xué)歸納法。在眾多數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，最常用的解題技巧即數(shù)學(xué)歸納法，而該方法多被用來(lái)解答關(guān)于正整數(shù)n的題型，特別是在不等式證明中極為常見(jiàn)?；蛟S要求學(xué)生直接求通項(xiàng)公式難度較大，甚至大部分學(xué)生不知如何下手，進(jìn)而導(dǎo)致考試失分等問(wèn)題。但讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，往往可大大降低題目的難度，并且能夠得到較大難度的題目分?jǐn)?shù)，有效解決其對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握失衡的問(wèn)題。

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