概率的定義與發(fā)展史

王曉華

概率的定義與發(fā)展史

王曉華

初中階段我們學(xué)習(xí)的概率內(nèi)容比較基礎(chǔ)，到了高中和大學(xué)階段，概率內(nèi)容將進一步豐富和深化，為了讓同學(xué)們對概率知識板塊有個全面的了解，下面就概率的定義和發(fā)展史作一個簡單的介紹.

概率論起源于17世紀(jì)中葉，但是它的嚴(yán)格化卻是在20世紀(jì)完成的.在幾百年的時間里，人們對概率意義的認(rèn)識不斷深化，下面幾個定義就反映了這種認(rèn)識的發(fā)展.

1.古典定義

古典定義中的“古典”表明了這種定義起源的古老.在數(shù)學(xué)史上，概率源于賭博.概率論的創(chuàng)立正是從研究賭博等問題入手，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，并從中逐步抽象出有關(guān)概率的一些初始概念.

17世紀(jì)有個叫保羅的人，一天他與梅累兩個人一起賭錢，賭注是每人拿出6枚金幣，通過擲骰子，先勝三局者得到12枚金幣.剛賭完三局時，賭博因故不能進行，此時保羅勝一局，精通賭博的梅累勝了兩局.因此，他們對賭注如何分配產(chǎn)生了爭吵.保羅認(rèn)為，根據(jù)勝的局?jǐn)?shù)，他應(yīng)得總數(shù)的，即4枚金幣，梅累得總數(shù)的，即8枚金幣.可是梅累卻不這樣想.于是他們一起去請教法國數(shù)學(xué)家帕斯卡.

“賭金分配”問題在幾年里一直困擾著帕斯卡.經(jīng)過反復(fù)研究，1654年帕斯卡終于取得了令人滿意的答案，于是他寫信把自己的心得告訴了好友（法國數(shù)學(xué)家費馬），從此一場更深入的討論在兩人之間展開了.荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯也對他們研究的問題很感興趣，他潛心研究，于1657年出版了《論賭博中的計算》，該書塑造了概率論的雛形.

帕斯卡、費馬、伯努利等數(shù)學(xué)家都在古典概率的計算、公式推導(dǎo)和擴大應(yīng)用等方面做出了重大的貢獻(xiàn).但直到1812年，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯才在《概率的分析理論》中給出了概率的古典定義：如果試驗的全部可能結(jié)果只有n（有限數(shù)）個，每個結(jié)果發(fā)生的可能性大小相等，其中m個結(jié)果發(fā)生時必然導(dǎo)致事件A發(fā)生，那么分?jǐn)?shù)叫做事件A發(fā)生的概率，記作P（A）=.古典定義通過簡單明了的方式定義了事件的概率，并給出了簡單可行的算法.

2.幾何定義

概率的幾何定義提供了某種特殊類型的隨機試驗：試驗的一切可能結(jié)果是無限的且等可能的情形.1777年，法國數(shù)學(xué)家布豐發(fā)表了《或然性算術(shù)試驗》，首先提出并且解決了著名的“布豐投針問題”，開始了幾何概率的早期研究，形成概率的幾何定義.

3.統(tǒng)計定義

概率的古典定義和幾何定義都要求在隨機實驗中基本事件發(fā)生的可能性相等，但人們發(fā)現(xiàn)在相同的條件下做大量重復(fù)試驗，一個事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗次數(shù)N之比，在試驗次數(shù)N很大時，它的值將穩(wěn)定在一個常數(shù)附近.N越大，這個比值“遠(yuǎn)離”這個常數(shù)的可能性越小，這個常數(shù)就稱為這個事件的概率.這個定義與統(tǒng)計有密切的關(guān)系，它建立在頻率穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，所以稱為概率的統(tǒng)計定義.這種概率討論的對象不再限于隨機試驗所有可能的結(jié)果為等可能的情形，因而更具一般性.1919年德國數(shù)學(xué)家馮·米塞斯在《概率論基礎(chǔ)研究》一書中提出了此定義：在相同的條件下，做大量重復(fù)試驗，隨著試驗次數(shù)的增加，某個事件出現(xiàn)的頻率總是在一個固定數(shù)值的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，把這個固定的數(shù)值定義為這一事件的概率.

3.公理化定義

概率的前三種定義屬于“描述性”定義，在敘述中都用了“可能性”一詞，而概率恰是關(guān)于“可能性”的概念，所以這些定義從理論上看是不嚴(yán)格的，有循環(huán)定義之嫌.由于缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，常常被人找到一些可鉆的空子，其中最為典型的要算1889年法國數(shù)學(xué)家貝特蘭提出的概率悖論：在半徑為1的圓上隨機地取一條弦，問所取的弦其長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少？

這個提問者給出了三個不同的答案，產(chǎn)生的根本原因是三種解法所作的等可能假設(shè)是不同的，所對應(yīng)的樣本空間是不同的，它們是三個不同的隨機試驗.因此，在樣本點為無限的情況下，必須對樣本空間及樣本點作具體限定，概率的公理化定義由此應(yīng)運而生.

1900年，38歲的希爾伯特在世界數(shù)學(xué)家大會上提出了建立概率公理系統(tǒng)的問題，這就是著名的“希爾伯特的23個問題”中的第6個問題，從而引導(dǎo)了一批數(shù)學(xué)家投入這方面的工作.在概率公理化的研究道路上，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫的成績最為顯著，1933年他在《概率論基礎(chǔ)》中，運用集合論和測度論表示概率論的方法賦予了概率論以嚴(yán)密性.當(dāng)然理解這個定義，需要一定的預(yù)備知識，故此處不再贅述.公理化定義作為一個數(shù)學(xué)平臺，讓人們在此基礎(chǔ)上進行演繹，得到系統(tǒng)的概率論知識體系.這個定義的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的一座里程碑.

總之，“概率”概念的建構(gòu)，經(jīng)歷了古典概率、幾何概率、統(tǒng)計定義再到公理化定義，體現(xiàn)了概率定義“從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般、從具體到抽象”的逐步變化，反映了人們對概率的認(rèn)識所經(jīng)歷的過程.各種定義產(chǎn)生的過程，也體現(xiàn)了人類認(rèn)識隨機現(xiàn)象所走過的艱難曲折的道路，折射著概率發(fā)展的不同階段和水平，滲透著豐富的數(shù)學(xué)化、模型化思想方法，蘊含了深刻的辯證哲理.

（作者單位：江蘇省無錫市新安中學(xué)）