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    概率難點(diǎn)輕松突破

    2016-11-12 02:31:06金楊建浦?jǐn)⒌?/span>
    初中生世界 2016年39期
    關(guān)鍵詞:黃球樹狀列表

    金楊建浦?jǐn)⒌?/p>

    概率難點(diǎn)輕松突破

    金楊建浦?jǐn)⒌?/p>

    事件發(fā)生的可能性有大有小.概率是度量事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)量,在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,概率也是初中數(shù)學(xué)較為重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).初中教材中與概率相關(guān)的內(nèi)容共出現(xiàn)了三次∶第一次是在八年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)概率》,從中我們知道了概率的定義,并知道可以用頻率的穩(wěn)定值估計(jì)概率;第二次就是本章《等可能條件下的概率》,從中我們又知道了等可能性的概念,并會(huì)通過合適的方法求等可能條件下的概率;最后一次出現(xiàn)在九年級(jí)下冊(cè)《概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用》,顧名思義,就是運(yùn)用概率進(jìn)行估計(jì)、判斷、決策……幫助我們解決一些實(shí)際問題.可見,本章在整個(gè)初中階段概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)中起到承上啟下的作用.

    一、緊扣概念,精準(zhǔn)判定

    教材中等可能性概念是“一般地,設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個(gè),它們都是隨機(jī)事件,每次試驗(yàn)有且只有其中的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn).如果每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等,那么我們說這n個(gè)事件的發(fā)生是等可能的,也稱這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性.”

    我們可以把這個(gè)概念濃縮成2句話:①試驗(yàn)結(jié)果有多個(gè),但每次有且只有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn);②結(jié)果出現(xiàn)是隨機(jī)的,但每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)機(jī)會(huì)均等.

    結(jié)合這2句話,我們就可以判斷某試驗(yàn)的結(jié)果是否具有等可能性,并可以求出某種結(jié)果發(fā)生的概率.

    例1(2016·江蘇淮安)一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球,這些球除顏色外完全相同,從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球,摸出的球是黃球的概率是________.

    【分析】本題摸到的球有7種不同的結(jié)果:黃1,黃2,黃3,藍(lán)1,藍(lán)2,藍(lán)3,藍(lán)4,并不是只有黃球或藍(lán)球這兩種可能,即摸到黃球和籃球不是等可能的,故摸到黃球的概率不是.

    【解答】因?yàn)橐粋€(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球,而摸出每個(gè)球是等可能的,即所有等可能的結(jié)果數(shù)為7,而摸到黃球的結(jié)果數(shù)為3,所以摸出的球是黃球的概率是.

    二、有無(wú)“放回”,謹(jǐn)慎判斷

    一般地,如果一個(gè)試驗(yàn)有n個(gè)等可能的結(jié)果,當(dāng)其中的m個(gè)結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí),事件A發(fā)生,那么事件A發(fā)生的概率P(A)=,其中m為事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù),n為所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).對(duì)于試驗(yàn)過程并不復(fù)雜的問題,如上例,只要能緊扣概念,便不會(huì)出現(xiàn)問題.而對(duì)于試驗(yàn)步驟較復(fù)雜的問題,則需要謹(jǐn)慎地判斷試驗(yàn)中前一個(gè)步驟與后一個(gè)步驟有無(wú)區(qū)別,即要考慮“摸球有無(wú)放回”.

    例2(2016·江蘇鹽城)一個(gè)不透明的袋子中有大小、質(zhì)地完全相同的4只小球,小球上分別標(biāo)有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字.

    (1)從袋中隨機(jī)摸出一只小球,求小球上所標(biāo)數(shù)字為奇數(shù)的概率;

    (2)從袋中隨機(jī)摸出一只小球,再?gòu)氖O碌男∏蛑须S機(jī)摸出一只小球,求兩次摸出的小球上所標(biāo)數(shù)字之和為5的概率.

    【分析】第(2)問說明試驗(yàn)有兩步,第1步是從4只小球中隨機(jī)摸1只,而第2步是從剩下的小球,也就是3只小球中隨機(jī)摸1只,是“無(wú)放回的摸球游戲”.所以在解答時(shí)要謹(jǐn)慎對(duì)待.

    1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 45 7 4 5 6 7

    共有12種等可能的結(jié)果,其中兩次摸出的小球上所標(biāo)數(shù)字之和為5的可能性有4種,所以P(兩次摸出的小球數(shù)字之和為

    方法二(樹狀圖)

    共有12種等可能的結(jié)果,其中兩次摸出的小球上所標(biāo)數(shù)字之和為5的可能性有4種,所以P(兩次摸出的小球數(shù)字之和為5)=

    三、圖表有別,合理選擇

    從例2中,我們可以看出,對(duì)于步驟為兩次的試驗(yàn),可以通過列表法或樹狀圖的方法找出所有的等可能結(jié)果數(shù)以及事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).但對(duì)于不同情形的問題,是不是都適合用這兩種方法呢?

    例3(2016·蘭州)小明和小軍兩人一起做游戲,游戲規(guī)則如下:每人從1,2,…,8中任意選擇一個(gè)數(shù)字,然后兩人各轉(zhuǎn)動(dòng)一次如圖所示的轉(zhuǎn)盤(轉(zhuǎn)盤被分為面積相等的四個(gè)扇形),兩人轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和等于誰(shuí)事先選擇的數(shù),誰(shuí)就獲勝;若兩人轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和不等于他們各自選擇的數(shù),就再做一次上述游戲,直至決出勝負(fù).若小軍事先選擇的數(shù)是5,用列表或畫樹狀圖的方法求他獲勝的概率.

    【分析】本題是可以用樹狀圖或列表法進(jìn)行研究的,但是因?yàn)樵囼?yàn)有兩個(gè)步驟,且每個(gè)步驟均有4種等可能的結(jié)果,如果用樹狀圖,則答題時(shí)會(huì)因?yàn)椤皹渲Α陛^多,導(dǎo)致答題區(qū)域過大,甚至?xí)霈F(xiàn)雜亂無(wú)章的可能,因此,建議對(duì)于試驗(yàn)步驟是兩次,且每個(gè)步驟有3個(gè)(或以上)結(jié)果時(shí)用列表法(試題有明確要求的除外).

    解答:列表如下:

    1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8

    所有等可能的情況有16種,其中兩次指針?biāo)笖?shù)字的和為5的情況有4種,所以小軍獲勝的概率=

    例4(2009·江蘇)一家醫(yī)院某天出生了3個(gè)嬰兒,假設(shè)生男生女的機(jī)會(huì)相同,那么這3個(gè)嬰兒中,出現(xiàn)1個(gè)男嬰、2個(gè)女嬰的概率是多少?

    【分析】列表法的優(yōu)點(diǎn)在于處理試驗(yàn)步驟僅有2個(gè),且當(dāng)每個(gè)步驟可能的結(jié)果數(shù)較多時(shí),能夠清楚、簡(jiǎn)潔地刻畫所有等可能的結(jié)果數(shù)以及事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù),但對(duì)于步驟超過2的試驗(yàn),則無(wú)能為力.3個(gè)嬰兒的性別,相當(dāng)于試驗(yàn)步驟有三次,因此,只能用樹狀圖來(lái)研究.

    【解答】用樹狀圖分析如下:

    第一個(gè)第二個(gè)第三個(gè)所有結(jié)果

    因此共有8種等可能的結(jié)果,其中1個(gè)男嬰、2個(gè)女嬰的結(jié)果數(shù)為3,所以P(1個(gè)男嬰,2個(gè)女嬰)=.

    四、枚舉之法,不可忽略

    平時(shí)在上課時(shí),可能老師對(duì)列表法或樹狀圖法強(qiáng)調(diào)過多,同學(xué)們往往形成了思維定式,而忽略了使用這兩種方法的目的:找出試驗(yàn)所有的等可能結(jié)果數(shù)以及事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).就如乘船過河,列表法或樹狀圖只是解題(過河)的工具(船),沒有“船”,難道我們過不了“河”嗎?

    例5(2016·江蘇南京)某景區(qū)7月1日-7月7日一周天氣預(yù)報(bào)如圖,小麗打算選擇這期間的一天或兩天去該景區(qū)旅游,求下列事件的概率:

    (1)隨機(jī)選擇一天,恰好天氣預(yù)報(bào)是晴;

    (2)隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天,恰好天氣預(yù)報(bào)都是晴.

    【分析】因?yàn)椋?)中是選擇連續(xù)的兩天,故可以用枚舉法將所有等可能的結(jié)果列出來(lái)解答.

    (作者單位:江蘇省無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校、江蘇省無(wú)錫市新城中學(xué))

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